Appunti di Geometria affine a.a. 2018-2019

Appunti di Geometria affine a.a. 2018-2019

Definizione Un insieme S non vuoto si chiama spazio affine su un K- spazio vettoriale V se esiste un’applicazione

S × V → S

(P, v) → Q = P + v tale che siano soddisfatte le seguenti condizioni:

(1) per ogni P, Q in S esiste un unico v tale che Q = P + v.;

(2) se Q = P + v e R = Q + w per P, Q, R ∈ S e v, w ∈ V , allora R = P + (v + w), dove v + w `e l’usuale somma in V .

Se S `e uno spazio affine su un K-spazio vettoriale V , chiamiamo gli e- lementi di S punti e lo spazio vettoriale V giacitura o direzione di S. Lo spazio giacitura di uno spazio affine S viene indicato con Dir(S).

Se S `e uno spazio affine con Dir(S) = V , chiamiamo dimensione di S la dimensione di Dir(S) = V (in particolare se V non `e finitamente generato, diciamo che S non `e finitamente generato).

Se S `e uno spazio affine di dimensione 1, diciamo che `e una retta.

Se S `e uno spazio affine di dimensione 2, diciamo che `e una piano.

Osservazione Sia S uno spazio affine su un K-spazio vettoriale V . Per ogni P ∈ S si ha P = P + 0. Infatti dall’assioma 1 della definizione di spazio affine sappiamo che esiste unico v tale che P = P + v. Dall’assioma 2 della definizione, applicato a P = P , Q = P , R otteniamo che se P = P + v, R = P + w allora R = P + (v + w). Poich´e il vettore u tale che R = P + u

`e unico, otteniamo che u = w = v + w da cui si ottiene che v = 0.

Osservazione Sia S uno spazio affine su un K-spazio vettoriale V . Per ogni P, Q ∈ S, se Q = P + v allora P = Q + (−v) (dove −v `e l’opposto di v in V ). Infatti applicando l’assioma 2 a P , Q, R = P si ottiene che Q = P + v, P = Q + w implica P = P + v + w. Ma dall’osservazione precendente si ha che P = P + 0, quindi v + w = 0 da cui w = −v.

Notazione Sia S uno spazio affine sul K-spazio vettoriale V . Se Q = P + v, indichiamo con Q − P in vettore v.

Esempio. Sia S = V . Sia l’applicazione S × V → S la somma di vettori in V , cio`e dato P ∈ S (vettore in V ) e v ∈ V , l’applicazione S × V → S `e (P, v) 7→ P + v, dove P + v `e la somma di vettori in V . Lo spazio S = V `e spazio affine su V (con la mappa S × V → V appena definita).

Esempio. Sia S = V = Kⁿ. Lo spazio affine S come nell’esempio precendente ha dimensione n e si indica con Aⁿ_K.

Esempio. Sia S = {P } un insieme con un solo elemento. S `e spazio affine sulla spazio vettoriale V = {0} scegliendo come applicazione S × V → S la mappa (P, 0) 7→ P .

Esempio. Sia Ax = b un sistema lineare compatibile. Sia a una soluzione particolare. Allora si ha che

Sol(Ax = b) = a + Sol(Ax = 0).

Pertanto l’insieme delle soluzioni di un sistema lineare compatibile `e uno spazio affine con Dir(Sol(Ax = b)) = Sol(Ax = 0). In particolare Sol(Ax = b) `e un spazio affine di dimensione n − r, dove n `e il numero delle incognite ed r `e il rango della matrice A.

Definizione Un sistema di riferimento R = R(O, v1, . . . , vn) per uno spazio affine di dimensione n `e il dato di un punto O ∈ S e da un insieme ordinato {v₁, . . . , v_n} che sia base di V .

Osservazione Sia S uno spazio affine su un K-spazio vettoriale V . Un sistema di riferimento induce una bigezione tra S e Kⁿ: al punto P viene associata la n-pla (x₁, . . . , x_n) tale che

P = O +

n

X

i=1

xivi.

Gli scalari x_i per 1 ≤ i ≤ n vengono dette le coordinate del punto P . Esempio Se S = Aⁿ_K (cio`e S = V = Kⁿ) chiamiamo sistema di riferimento canonico (o standard) il sistema di riferimento (O, v_i) tali che O = (0, . . . , 0) e v_i = e_i.

Definizione. Un sottoinsieme L di S `e un sottospazio affine se esistono un punto P<sub>0</sub>∈ L e un sottospazio U di V tale che ogni punto P di L si scrive nella forma P = P<sub>0</sub> + u con u ∈ U . Il sottospazio U `e detto sottospazio direzione o giacitura del sottospazio affine L, e viene indicato con Dir(L).

La dimensione di L `e definita come la dimensione di Dir(L).

Se L `e un sottospazio affine di S some sopra, L spesso si indica con L(P₀, U ).

Se la giacitura ha dimensione n − 1, si parla di un iperpiano.

Definizione Dati due sottospazi affini L0 e L1 di giaciture rispettiva- mente U₀= Dir(L₀) e U₁ = Dir(L₁), diremo che:

• L₀ e L₁ sono paralleli se U₀ ⊆ U₁ o U₁⊆ U₀;

• i due sottospazi L₀ ed L1 sono incidenti se la loro intersezione L0∩ L₁ non `e vuota.

• i due sottospazi L₀ ed L1 sono sghembi se i) non sono paralleli e ii) L0

e L₁ non si intersecano.

Osserviamo che le relazioni ”essere paralleli”, ”essere incidenti” e ”essere sghembi” sono simmetriche. Le relazione di parallelismo non e’ transitiva fra sottospazi di dimensioni differenti.

Ossarviamo inoltre che se L₀e L₁sono paralleli e incidenti allora L₀⊆ L₁ o L1 ⊂ L₀.

Un sottospazio affine pu`o essere rappresentato in due modi diversi.

Rappresentazione parametrica di un sottospazio affine. Sia S uno spazio affine con un sistema di riferimento fissato R = (O, v₁, . . . v_n).

Sia L(P0, U ) un sottospazio affine di S. Sia P ∈ L. Siano (x1, . . . , xn) le coordinate di P e (y1, . . . , yn) le coordinate di P0, cio`e P = O +Pn

i=1xivi

e P₀ = O +Pn

i=1y_iv_i. Il vettore P − P₀∈ V `e P − P₀ =

n

X

i=1

(x_i− y_i)v_i.

Poich´e P e P0 sono punti dello stesso sottospazio L, P − P0 `e un vettore in U . Sia {u₁. . . u_m} una base di U . Poich´e P − P₀ ∈ U , esistono λ_i ∈ K tali che P − P₀=Pm

i=1λ_iu_i. Inoltre uj =Pn

i=1aijvi, perch´e U `e sottospazio di V . Quindi abbiamo:

P − P0=

n

X

i=1

(xi− y_i)vi =

m

X

j=1

λjuj =

m

X

j=1

λj n

X

i=1

aijvi.

Considerando il secondo e il quarto termine dell’uguaglianza si ha

n

X

i=1

(x_i− y_i)v_i =

n

X

i=1 m

X

j=1

λ_ja_ijv_i

da cui si ottiene che per ogni i tale che 1 ≤ i ≤ n x_i = y_i+

m

X

j=1

λ_ja_ij. (1)

Definiamo i vettori

aj :=





 a1j

... a_nj





. Da (1) otteniamo

x = y +

m

X

j=1

λ_ja_j. (2)

Al variare di λj otteniamo cos`ı tutti i punti di L (infatti P era stato scelto come un qualsiasi punto in L). Queste equazioni vengono dette equazioni parametriche di L.

Esempio. Consideriamo la seguente retta r in A³_K passante per il punto P0 = (1, 0, 1) e con giacitura lo spazio vettoriale generato dal vettore di componenti tutte uguali a 1. Le equazioni parametriche di tale retta sono date da



 x₁ x₂ x3



=



 1 0 1



+ t



 1 1 1



.

Equazioni cartesiane di un sottospazio affine. Dato il sottospazio L = L(P0, U ) di uno spazio affine S, sia P ∈ L. Per definizione di sottospazio affine P − P₀ ∈ U . Sia {u₁, . . . , u_m} una base di U . Il rango della matrice che ha come colonne u₁, . . . , u_m, P − P₀ `e m, infatti il rango `e almeno m perch´e gli ui formano una base, ma non `e pi´u di m, perch´e P − P0 ∈ U . La condizione che questa matrice abbia rango esattamente m fornisce la forma cartesiana del sottospazio. Osserviamo che la condizione sul rango della matrice [ u1| . . . |u<sub>m</sub>|P − P<sub>0</sub>] `e equivalente alla condizione, che si ricava da (2), che la matrice [a₁| . . . |a_m|x − y] abbia rango m.

Inoltre, risolvendo il sistema lineare omogeneo associato alla matrice [a₁| . . . |a_m|x−y] si ottiene una descrizione parametrica del sottospazio affine i cui punti hanno coordinate che soddisfano il sistema.

In generale, per ricavare le equazioni cartesiane da quelle parametriche occorre applicare il Teorema di Rouch´e-Capelli, utilizzando la teoria di Kro- necker o la teoria di Gauss.

Esempio. Nel caso della retta r dell’esempio precedente, si passa facil- mente dalla rappresentazione parametrica a quella cartesiana risolvendo rispetto a t. In altri termini, sostituiamo x₂ nelle altre due relazioni ot- tenendo le due equazioni x1− x₂= 1 e x3− x₂= 1.

Esempio. Si consideri la retta r⁰ nello spazio affine tridimensionale di equazioni parametriche

x₁= 1, x₂= t, x₃= t, e il piano π di equazioni

x1= 2u + 2v, x2 = 2 + u, x3 = 2u + v.

La retta ha per giacitura il sottospazio generato, ad esempio, dal vettore di coordinate w = (0, 1, 1); il piano ha per giacitura il sottospazio generato dai vettori u1 = (2, 1, 2) e u2 = (2, 0, 1). Dato che w = u1− u₂, la giacitura di r⁰ `e contenuta in quella di π, cio`e r⁰ `e parallela a π.