PROGRAMMA di Fondamenti di Analisi Matematica 2
(Versione estesa del 14/1/’10)
A.A. 2009-2010, canali 1 e 2, proff.: Francesca Albertini e Monica Motta Ingegneria gestionale, meccanica e meccatronica, Vicenza
Testo Consigliato:
Analisi Matematica, M. Bertsch, R. Dal Passo & L. Giacomelli, McGraw-Hill Editore.
Appunti di lezione.
Complementi in rete (http://www.math.unipd.it/∼motta/Didattica/analisi2.html).
PARTE 3: Funzioni di pi`u variabili e funzioni vettoriali SETTIMANE 1-3
Cap. 10: Limiti e continuit`a
• Richiami sullo spazio vettoriale Rn: somma, prodotto per scalari e prodotto scalare.
Norma di un vettore e distanza (definizioni e propriet`a)
• Intorni sferici e intorni in Rn.
• Insiemi aperti, chiusi, limitati e illimitati. Punti di accumulazione e punti isolati. Frontiera di un insieme.
• Definizione di limite: limx→x0f (x) = l con x0∈ Rn e l ∈ Rm.
• Formula (10.2), cio`e la Proposizione: ”limx→x0f (x) = l se e solo se limx→x0fi(x) = li per i = 1, . . . , m” (dim. facoltativa).
• Infinito in Rn: intorni di infinito e definizione di limx→x0f (x) = l con x0= ∞ e/o l = ∞.
• Propriet`a dei limiti: teoremi generali, validi per f : X → Rm con X ⊂ Rn e m ≥ 1;
teoremi validi solo per m = 1.
• Successioni a valori vettoriali: limiti, sottosuccessioni, caratterizzazione dei punti di accu- mulazione di un insieme. Teorema ponte.
• Definizione di funzione continua.
• Teoremi sulle funzioni continue. Propriet`a delle funzioni continue sugli insiemi compatti e sugli insiemi connessi per archi di Rn.
• Calcolo dei limiti per funzioni reali di pi`u variabili: teoremi di confronto e passaggio alle coordinate polari (per n = 2)
Cap. 11: Calcolo differenziale
• Derivate direzionali, derivate parziali e definizione di gradiente di una funzione per f : X → R con X ⊂ Rn. Generalizzazione al caso f : X → Rm con m ≥ 1: definizione di matrice Jacobiana.
• Differenziabilit`a di f : X → R con X ⊂ Rn. Generalizzazione al caso f : X → Rm con m ≥ 1.
• Teoremi sulle funzioni differenziabili: Teorema su: continuit`a delle funzioni differenziabili, relazione con la matrice Jacobiana e formula per il calcolo delle derivate direzionali 11.1 (con dim.); Teorema del differenziale totale 11.3 (con dim. per n = 2 ed m = 1). Teoremi sul calcolo del differenziale; differenziale di funzione composta.
• Significato geometrico della differenziabilit`a: costruzione del piano tangente e definizione di vettore normale. Relazione tra direzione di massima crescita, curve di livello e gradiente di f (per n = 2 ed m = 1).
• Teorema di Passaggio al limite sotto il segno di integrale (11.5, solo enunciato).
• Derivate successive per f : X → R con X ⊂ Rn. Matrice Hessiana.
• Teorema di Schwarz sulle derivate miste (con dim. per n = 2). Funzioni Ck(X) con k ∈ N.
• Formula di Taylor con il resto di Peano, solo fino al secondo ordine (con dim. per n = 2)
• Estremi liberi di funzioni a valori scalari: definizione di minimo e massimo locale; definizione di punto stazionario o critico.
• Teorema: ogni punto di estremo locale interno dove f `e derivabile `e critico, 11.14 (con dim.).
• Richiami sulle matrici simmetriche e sulle forme quadratiche: matrici definite positive, definite negative, semidefinite e indefinite.
• Teoremi su condizioni necessarie e condizioni sufficienti di secondo ordine affinch`e un punto critico sia di estremo locale.
• Insiemi convessi e funzioni convesse: definizioni (solo per f differenziabile, cio`e Teorema 11.12 preso come definizione).
• Teorema sulle funzioni convesse 2 volte differenziabili, 11.13; Teorema sull’esistenza e unicit`a del minimo globale per funzioni convesse, 11.15.
SETTIMANE 4-5
Cap. 12: Curve e integrali curvilinei
• Definizione di curva in Rn: curva piana, curva nello spazio, sostegno di una curva. Orien- tazione di una curva.
• Curva chiusa e curva semplice in Rn; curve piana di Jordan e suo orientamento posi- tivo/negativo.
• Curva di classe C1. Definizione di velocit`a vettoriale e di velocit`a scalare.
• Curva regolare in Rn. Significato fisico e geometrico della definizione. Costruzione del versore tangente e della retta tangente in forma parametrica in Rn. Definizione del versore normale ed equazione implicita della retta tangente per le curve piane.
• Curve di classe C1 a tratti e curve regolari a tratti.
• Lunghezza di una curva e rettificabilit`a. Teorema sulla formula della lunghezza per curve C1, 12.2.
• Definizione di curve equivalenti e di curve equiorientate. Teorema sulla lunghezza di curve equivalenti 12.3 (con dim.)
• Integrale curvilineo di prima specie: definizione e propriet`a.
• Definizione di ascissa curvilinea e sue propriet`a (con dim.) Definizione di baricentro (appunti)
• Definizione di forma differenziale lineare e di integrale curvilineo di seconda specie.
Teorema 12.4 su come varia l’integrale curvilineo di seconda specie per curve equivalenti (con dim.)
• Definizione di forma differenziale esatta, e di potenziale.
Teorema 12.5 sul valore dell’integrale di una forma esatta su una curva (con dim.).
Teorema 12.6 di caratterizzazione delle forme esatte, tramite gli integrali sulle curve (con dim.)
• Definizione di forma differenziale chiusa e relazione con la definizione di forma esatta.
• Definizione di omotopia e di curve omotope.
Definizione di insieme semplicemente connesso, con alcuni esempi.
Teorema 12.8 sull’integrale di una forma chiusa su curve omotope.
Teorema 12.7 sulle forme chiuse negli insiemi semplicemente connessi.
• Nel caso di forme e campi vettoriali nello spazio tri-dimensionale (n = 3), definizione di campo conservativo e di campo irrotazionale.
SETTIMANE 6-7
Cap. 13: Funzioni implicite ed estremi vincolati
• Teorema del Dini per f : X → R con X ⊂ Rn e n = 2, 13.3 (con dim.)
• Per n = 2: definizione di punto regolare per f ; definizione di curva di livello. Retta tangente alla curva di livello.
• Teorema del Dini per f : X → R con X ⊂ Rn e n = 3, 13.5.
• Per n = 3: definizione di punto regolare per f ; definizione di superficie di livello. Piano tangente alla superficie di livello.
• Teorema del Dini per i sistemi: f : X → R2 con X ⊂ Rn e n = 3, 13.6.
• Per il sistema di 2 equazioni, 2 incognite: definizione di punto regolare per f ; definizione di curva di livello. Retta tangente alla curva di livello.
• Teorema di invertibilit`a locale per f : X → Rn con X ⊂ Rn, 13.1.
• Definizione di punto di minimo o massimo vincolato per f : X → R con X ⊂ R2.
• Teorema dei moltiplicatori di Lagrange per f : X → R con X ⊂ R2, 13.7 e 13.8 (con dim.)
• Definizione di punto di minimo o massimo vincolato per f : X → R con X ⊂ Rn, con vincoli gi : X → R, gi(x) = ci ∈ R, i = 1, . . . , m (m < n) e relativo Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. (par. 13.6).
SETTIMANE 8-9
Cap. 14: Integrali multipli
• Definizione di integrale doppio su un rettangolo Q = [a, b] × [c, d]: suddivisione di Q, somme inferiori e superiori, definizione di integrale doppio di Riemann di f limitata su Q;
f ∈ R(Q).
• Significato geometrico diRQf per f ≥ 0.
• Teorema: f continua su Q `e in R(Q).
• Formule di riduzione per f ∈ R(Q), 14.4.
• Caso particolare: formule di riduzione per f ∈ R(Q) a variabili separabili.
• Definizione di integrale doppio nel caso generale: Ω ⊂ R2, Ω limitato e f : Ω → R, f limitata.
• Definizione di funzione caratteristica e di misurabilit`a secondo Peano-Jordan di Ω ⊂ R2, Ω limitato. Definizione di area di Ω, |Ω|.
• Teorema: Ω ⊂ R2, Ω limitato `e misurabile secondo Peano-Jordan se e solo se |∂Ω| = 0.
• Teorema: il grafico di g ∈ R([a, b]), il sostegno di una curva continua γ : [a, b] → R2 sono insiemi di misura nulla.
• Teorema: dato Ω ⊂ R2, Ω limitato e misurabile secondo Peano-Jordan, ogni funzione limitata su Ω continua su Ω, eccettuato al pi`u un insieme di punti di misura nulla, `e integrabile su Ω.
• Propriet`a dell’integrale doppio: linearit`a, monotonia, additivit`a, propriet`a del modulo, integrale su insiemi di misura nulla, teoremi della media 1 e 2. Propriet`a della misura (area).
• Definizione di dominio semplice o normale e di dominio regolare. Formule di riduzione per gli integrali doppi su domini normali, 14.12.
• Teorema di cambiamento di variabili per gli integrali doppi, 14.14
• Cambiamenti di variabili pi`u comuni: trasformazioni lineari, coordinate polari, coordinate ellittico-polari, altri cambiamenti (par. 14.3.1 e 14.3.2)
• Definizione di integrale triplo su un parallelepipedo. Definizione di integrale triplo nel caso generale: Ω ⊂ R3, Ω limitato e f : Ω → R, f limitata.
• Definizione di funzione caratteristica e di misurabilit`a secondo Peano-Jordan di Ω ⊂ R3, Ω limitato. Definizione di volume di Ω, |Ω|.
• Definizione di dominio semplice o normale e di dominio regolare. Formule di riduzione per gli integrali tripli per parallelepipedi, 14.15, e su domini normali, 14.16.
• Volume dei solidi di rotazione (Teorema di Guldino), Esempio 14.23.
• Teorema di cambiamento di variabili per gli integrali tripli e cambiamenti di variabili pi`u comuni: coordinate cilindriche e sferiche (par. 14.4.2).
SETTIMANE 10-11
Cap. 15: Superfici e integrali di superficie; teoremi della divergenza e del rotore
• Definizione di parametrizzazione regolare di una superficie e di superficie regolare.
• Superficie in forma parametrica; cartesiana; implicita
• Costruzione del versore normale e del piano tangente ad una superficie regolare per una superficie regolare in forma parametrica.
• Versore normale e piano tangente nel caso di una superficie cartesiana regolare.
• Definizione di area di una superficie. Formula dell’area nel caso di una superficie cartesiana.
• Definizione di integrale superficiale e sue propriet`a.
• Definizione di parametrizzazioni equivalenti ed equiorientate di una superficie regolare.
• Definizione di superficie di rotazione e Teorema di Guldino.
• Orientamento positivo del bordo di un dominio regolare del piano.
• Formule di Gauss-Green nel piano (con dim. di una formula nell’hp. che D sia dominio normale sia rispetto ad x che ad y e regolare)
• Teorema della divergenza nel piano (con dim.)
• Teorema di Stokes nel piano (con dim.)
• Definizione di superficie orientabile; orientazione della superficie.
• Definizione di flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie orientabile.
• Teorema della divergenza in R3.
• Definizione di superficie con bordo; orientazione positiva del bordo.
• Teorema di Stokes o del rotore in R3. SETTIMANE 12-13
Serie di funzioni (appunti)
• Definizione di serie di funzioni reali convergente puntualmente, assolutamente e totalmente.
Relazione tra i tre tipi di convergenza.
• Teorema sulla continuit`a della somma di una serie di funzioni continue.
• Teorema di derivabilit`a termine a termine.
• Teorema di integrabilit`a termine a termine (con dim.) Capp. 5, 8 e 9: Serie di potenze e serie di Taylor
• Definizione di serie di potenze di centro x0.
• Teorema sul raggio di convergenza R della serie di potenze: insieme di convergenza as- soluta; di non convergenza e di convergenza totale della serie (con dim., parte fatta a lezione)
• Teorema di Abel sulla continuit`a della serie di potenze sul bordo dell’insieme di conver- genza.
• Teorema sulle propriet`a delle serie di potenze con R > 0: derivabilit`a ed integrabilit`a termine a termine.
• Serie di Taylor di una funzione C∞: convergenza della serie di Taylor.
• Funzioni analitiche o sviluppabili in serie di Taylor; relazione tra serie di potenze e serie di Taylor.
• Condizione sufficiente sulle derivate di f ∈ C∞ per la sviluppabilit`a in seire di Taylor.
Cap. 19: Serie di Fourier
• Definizione di polinomio trigonometrico e di serie trigonometrica.
• Determinazione dei coefficienti di Fourier per una funzione periodica, di periodo 2π inte- grabile e limitata in [−π, π].
• Teorema sulla convergenza puntuale della serie di Fourier per le f regolari a tratti.
• Teorema sulla convergenza totale della serie di Fourier per le f regolari a tratti e continue.
• Integrabilit`a termine a termine della serie di Fourier.
• Serie di Fourier per funzioni periodiche di periodo T > 0; definizione della frequenza fondamentale.
N.B. I teoremi da sapere con dimostrazione sono solo quelli in cui viene specificato ”(con dim.)”.
Per gli altri teoremi citati, lo studente deve essere in grado di esporre rigorosamente l’enunciato, spiegare il significato e le applicazioni del risultato. Lo studente deve inoltre saper enunciare tutte le definizioni in modo rigoroso. Gli esempi inclusi nel testo non fanno parte del programma di teoria, ma se ne consiglia vivamente la lettura per una migliore comprensione degli argomenti svolti. Tutti i teoremi e le definizioni del testo non menzionati, non sono in programma. Qualche definizione e qualche dimostrazione fatta a lezione differisce da quella del testo; in tal caso lo studente pu`o studiare una o l’altra, a scelta.
