Universit`a degli Studi di Padova – Facolt`a di Ingegneria Prof. F. Albertini, M. Motta, F. Paronetto
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, sede di Vicenza
FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2
Vicenza, 26-01-2010
TEMA
1
Esercizio 1 Dato l’insieme D = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ xy ≤ 3}, calcolare il seguente integrale doppio
Z Z
D
y2exydx dy
Esercizio 2 Dati gli insiemi
M =(x, y, z) : z2− x2− y2= 0 , C =(x, y, z) : (x + 1)2+ y2 ≤ 4 calcolare l’area della superficie S ottenuta dall’intersezione M ∩ C.
Esercizio 3 Determinare eventuali punti di massimo e di minimo assoluto per la funzione f (x, y) = arctan(x2− y2) su D =
n
(x, y) : −p
4 − y2 ≤ x ≤√
2|y| ≤ 2√ 2
o
e calcolare il valore del massimo e del minimo assoluto di f su D.
Esercizio 4 Dato il campo vettoriale F (x, y, z) = a + 2
x2y − sin(x + y + az),a2− 4
xy2 − sin(x + y + az), −3 sin(x + y + az)
(a) determinare il dominio di F per ogni a ∈ R;
(b) determinare i valori di a ∈ R per cui il rotore di F , rotF , risulta nullo nel dominio di F ; (c) verificare che in corrispondenza ai valori di a determinati nel punto (b), F `e conservativo
nell’insieme D = {(x, y, z) : x > 0, y > 0} e calcolare un potenziale di F su D per tali a.
Esercizio 5 Sia f `e una arbitraria funzione di classe C∞da R in R e si consideri l’equazione h(x, y, z) = ex+ f (3x + y) + ez− 1 = 0.
(a) Determinare delle condizioni sufficienti su f affinch`e l’equazione definisca in un intorno dell’origine una superficie di equazione y = g(x, z) tale che g(0, 0) = 0;
(b) verificare che f (t) = sin(t) − 1 soddisfa le condizioni determinate nel punto (a) e per tale scelta di f determinare il piano tangente e un versore normale in (0, 0, 0) alla superficie implicitamente definita dall’equazione assegnata.
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo ci`o che `e scritto sul foglio intestato. `E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
Universit`a degli Studi di Padova – Facolt`a di Ingegneria Prof. F. Albertini, M. Motta, F. Paronetto
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, sede di Vicenza
FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2
Vicenza, 26-01-2010
TEMA
2
Esercizio 1 Dati gli insiemi
E =(x, y, z) : x2+ (y + 1)2≤ 4 , F =(x, y, z) : x2+ y2− z2 = 0 calcolare l’area della superficie S ottenuta dall’intersezione E ∩ F .
Esercizio 2 Determinare eventuali punti di massimo e di minimo assoluto per la funzione f (x, y) = 3(y2−x2) su C = n
(x, y) : −√
4 − x2 ≤ y ≤√
2|x| ≤ 2√ 2o
e calcolare il valore del massimo e del minimo assoluto di f su C.
Esercizio 3 Dato l’insieme E = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ y ≤ 3, 1 ≤ xy ≤ 2}, calcolare il seguente integrale doppio
Z Z
E
x2exydx dy
Esercizio 4 Dato il campo vettoriale F (x, y, z) = a + 3
x2y + cos(x + y + az),a2− 9
xy2 + cos(x + y + az), 4 cos(x + y + az)
(a) determinare il dominio di F per ogni a ∈ R;
(b) determinare i valori di a ∈ R per cui il rotore di F , rotF , risulta nullo nel dominio di F ; (c) verificare che in corrispondenza ai valori di a determinati nel punto (b), F `e conservativo
nell’insieme D = {(x, y, z) : x > 0, y > 0} e calcolare un potenziale di F su D per tali a.
Esercizio 5 Sia f `e una arbitraria funzione di classe C∞da R in R e si consideri l’equazione h(x, y, z) = cos x + f (5x + y) + cos z − 1 = 0.
(a) Determinare delle condizioni sufficienti su f affinch`e l’equazione definisca in un intorno dell’origine una superficie di equazione y = g(x, z) tale che g(0, 0) = 0;
(b) verificare che f (t) = sin(t) − 1 soddisfa le condizioni determinate nel punto (a) e per tale scelta di f determinare il piano tangente e un versore normale in (0, 0, 0) alla superficie implicitamente definita dall’equazione assegnata.
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo ci`o che `e scritto sul foglio intestato. `E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
