232238 vtRERRREREV ()()() =⋅+=⋅== ∀≤<= tvtEV :()0238

ESERCIZIO 1:

La tensione v_IN(t) in ingresso al circuito in figura 1 è costituita da un’onda triangolare periodica con valore di picco VP=24V, offset 12V e frequenza 1 KHz. Sapendo che EO = 12V, si tracci l’andamento temporale della tensione d’uscita vO(t) e la transcaratteristica v_O = ƒƒƒƒ(Vin) indicando, inoltre, per ciascuno dei suoi tratti, la condizione di funzionamento dei diodi, supposti ideali

.

Si tratta di un circuito con due diodi D₁ e D₂, supposti ideali, alimentato da un segnale in tensione a forma d’onda triangolare unidirezionale con un valore medio VM = offset = VP/2 = 12 V. Per i due diodi verrà utilizzato il modello lineare a tratti fra loro perpendicolari intersecantesi nell’origine degli assi delle coordinate V_AK, I_D. In sostanza si considera nulla sia la tensione di soglia Vγγγγ, sia la tensione di conduzione VDON

dei due diodi D₁ e D₂.

Una delle strategie iniziali di analisi del circuito è quella di ritenere, contemporaneamente, i due diodi interdetti e verificare se la rete circuitale che ne deriva sia elettricamente compatibile e coerente con i valori che nel tempo assume il segnale di ingresso. L’ipotesi relativa ai diodi D₁ e D₂ entrambi interdetti conduce a verificare, per ispezione diretta, la validità elettrica o meno della rete di seguito riportata come figura 1a, in cui i due diodi sono modellati con due interruttori aperti e si considera inizialmente VIN(t) = 0.

In tali ipotesi, per ispezione diretta della rete, si evince che: V_A2 = E_O ; V_K2 = 0, cioè V_AK2 > 0 e questo costituisce una stridente contraddizione con l’aver supposto D2 interdetto.

Dunque, per V_IN(t) = 0 il diodo D₁ è interdetto, cioè è OFF, mentre D₂ conduce, cioè è ON. Ne consegue che:

∀ t : 0 ≤ v _in ( ) t < 2 E _o = V

3 8

D₁ è OFF mentre D₂ è ON. Il circuito che deve essere esaminato è quella mostrata in figura 1b in cui D₁ è modellato con un circuito aperto e D₂ con un corto circuito. La tensione di uscita vO(t) è determinata dalla ripartizione della tensione del generatore indipendente E_O operata dal partitore

resistivo costituito dalle due resistenze R/2 ed R; si ottiene la relazione di seguito riportata:

v t R E

R R

R E R

E V

o o o

( ) o

( ) ( )

= ⋅

+ = ⋅

= =

2 3 2

2

3 8

In conclusione si osserva che fino a che la tensione di ingresso non raggiunge il valore di V_IN = 2·E_O/3

=8V il diodo D₁ è interdetto e D2 conduce.

Quando VIN = 2·EO/3 =8V, il diodo D1 si porta nello stato di conduzione in quanto risulta V_A1 = V_IN = 8V e V_K1 = V_O = 8V. Poiché V_AK1 È NON negativa, D₁

si porta anch’esso in conduzione; tale stato è garantito dall’aumentare del segnale di ingresso VIN. In tali ipotesi, per ispezione diretta della rete di figura 1c, si evince che:

++ ++

−

−

−

− R/2 R/2

R D1

D2

E_O

V_O(t) Vin(t)

(figura - 1)

+ + + +

−−

−− R/2 R/2

R A₁

A2

E_O

VO(t) V_in(t)

(figura - 1a) K2

K₁

+ + + +

−−

−− R/2 R/2

R A₁

A2

EO

VO(t) V_in(t)

(figura - 1b) K₂ K₁

∀ t : 2 E _o ≤ v _in ( ) t < E _o = V 3

3

2 18

D₁ è ON e pure D₂ è ON. Il circuito che deve essere esaminato è quella mostrata in figura 1c in cui D₁ e D₂ sono entrambi modellizzati con un corto circuito. Si tratta di una rete classica a due nodi la cui tensione comune di nodo v_O(t) è determinabile con il noto principio dei

“potenziali di nodo” che nel contesto è dato come principio di Millman. Si ricava poi, per la tensione comune a tutti i lati posti fra loro in parallelo, con riferimento alla rete di figura 1c, la relazione seguente:

v t

v t R

E R

R R R

R

v t E

R R

R

v t E

v t E

o

in o

in o

in o

in o

( )

( )

[ ( ) ]

( ) [ ( ) ]

( )

=

+

+ +

= ⋅ +

= ⋅ ⋅ + =

= +

2 2

2 2 1

2

5

2 5 2

5

2 5

Il legame ottenuto caratterizza una retta con coefficiente angolare m= tagαααα = 2/5. Osserviamo che per vIN(t) = 8V viene riconfermato il valore vO = (2EO/3) = 8V. Pertanto, la tensione di uscita risulta una funzione continua e tale sarà anche la transcaratteristica vO = ƒƒƒƒ(VIN).

Resta ora da chiedersi fino a quali valori del segnale d’ingresso v_IN(t) la rete di figura 1c resta elettricamente compatibile con le ipotesi fatte.

Il diodo D₁, all’aumentare di v_IN(t) resterà sicuramente in conduzione mentre il diodo D₂ si interdirà allorché il potenziale del catodo K2 tenderà a superare quello dell’anodo A2. La rete di figura 1d, in

cui D2 viene modellato con un circuito aperto, mostra chiaramente che l’interdizione di D₂ inizia e si mantiene quando il segnale di ingresso v_IN ha raggiunto e superato il valore necessario a far si che la tensione del catodo V_K2 uguagli e superi la tensione dell’anodo V_A2 = E_O. Ciò si verifica per il particolare valore v*IN(t) della tensione d’ingresso per cui risulta soddisfatta la relazione seguente:

v _o ( ) t = E _o = 2 v _in ^* ( ) t + E _o 5

2 5

da cui si ricava la scrittura di seguito riportata:

E _o − 2 E _o = v _in t ⇒ E _o = v _in t ⇒ v _in t = E _o = V 5

2 5

3 5

2 5

3

2 18

* ( ) * ( ) * ( )

Quanto premesso, l’ispezione diretta della rete di figura 2d consente di esplicitare che:

∀ t : 3 E _o ≤ v _in ( ) t ≤ V _P

2

^con

V

_P

= 24V

⇒⇒⇒ ⇒

D

1

è ON

mentre

D

2

è OFF

Dal circuito mostrata in figura 1d, in cui D1 è ancora modellato con un corto circuito mentre D2, come già detto, viene ora modellato da un circuito aperto, si evince che la tensione di uscita è data dalla ripartizione della tensione v_IN(t) di ingresso fra le due resistenze R/2 ed R; si ottiene, pertanto,

+++ +

−

−−

− R/2 R/2

R A₁

A₂ E_O

V_O(t) Vin(t)

(figura - 1c) K₂ K1

+ + + +

−

−

−

− R/2 R/2

R A₁

A₂ E_O

VO(t) V_in(t)

(figura - 1d) K2

K₁

la relazione di seguito riportata:

v t R

R R

v t R

R

v t v t

o ( ) in in in

( ) ( )

( ) ( ) ( )

= + ⋅ = ⋅ =

2 3 2

2 3

Il legame ottenuto caratterizza una retta con coefficiente angolare m= tagβββ = 2/3. Osserviamo che β per vIN(t) = (3·E_O)/2 = 18V viene riconfermato il valore v_O = (2/3)·(3E_O/2) = E_O = 12V. Pertanto, la tensione di uscita risulta una funzione continua e tale sarà anche la transcaratteristica v_O = ƒƒƒƒ(VIN).

La transcaratteristica v_O = ƒƒƒƒ(VIN) è mostrata in figura 1e nella quale sono evidenziati per ciascuno dei tratti della spezzata, che definisce la curva in oggetto, lo stato di conduzione dei diodi, e la pendenza di ciascun tratto.

Nella figura 1f, invece, sono evidenziati i due andamenti temporali del segnale d’ingresso

V

i

(t)

e del segnale di uscita

V

O

(t)

. La forma d’onda triangolare allo ingresso subisce sia una deformazione sia un’attenuazione frutto dei tratti con pendenza diversa fra loro nonché di valore diverso da un angolo di 45°.

ESERCIZIO 2:

La tensione v_IN(t) in ingresso al circuito in figura 2 è un’onda triangolare periodica con valore di picco VP =150V, offset75V e frequenza 1KHz. Sapendo che E1 =25V, E₂ =100V, R₁=100KΩΩΩ, RΩ 2 =200KΩΩΩΩ si determini la transcaratteristica VO =ƒƒƒƒ(VIN) indicando, per ciascuno intervallo, la condizione di funzionamento dei diodi supposti ideali e si tracci il grafico accurato della tensione v_O(t).

Si tratta di un circuito con due diodi D₁ e D₂, supposti ideali, alimentato da un segnale in tensione a forma d’onda triangolare unidirezionale con un valore medio V_M = offset = V_P/2 = 75 V. Per i due diodi verrà utilizzato il modello lineare a tratti fra loro perpendicolari ed intersecantesi nell’origine degli assi delle coordinate V_AK, I_D. In sostanza si considera nulla sia la tensione di soglia Vγγγγ, sia la tensione di conduzione VDON

dei due diodi D1 e D2.

Una delle strategie iniziali di analisi del circuito è quella di ritenere, contemporaneamente, i due R₁

V_O(t) V_in(t)

(figura - 2)

E

1

+ + + +

−

−

−

−

R₂

E

₂

+ + + +

−−

−−

D1 D₂

t

Vi(t) VO(t)

8 V 12 V 16 V 24 V

(figura - 1f) β

β β β αα

αα

V_O V_IN

2E_O/3 3E_O/2 V_P =24V 2E_O/3

12 V 16 V

D₁ OFF D₂ ON

D₁ ON

D₂ ON D1 ON

D2 OFF (figura 1e)

diodi D₁ e D₂ interdetti e verificare se la rete circuitale che ne deriva è elettricamente compatibile e coerente con i valori che nel tempo assume il segnale di ingresso. L’ipotesi relativa ai diodi D₁ e D₂ entrambi interdetti conduce a verificare, per ispezione diretta, la validità elettrica o meno della rete di seguito riportata come figura 2a, in cui i due diodi sono modellati da due interruttori aperti e si considera inizialmente VIN(t) = 0. In tale contesto si deduce che:

♦ VA1=Vin=0V, mentre VK1=E1=25V, per cui risulta VAK1=VA1−−−−VK1=−−−−25V, ovvero si conferma che D₁ è interdetto cioè OFF;

♦ V_K2=V_K1=25V, mentre V_A2=E₂=100V, per cui risulta V_AK2=V_A2−−−−V_K2=75V>0, il che, contraddicendo l’ipotesi che il diodo D₂ sia interdetto, sancisce in realtà che D2 si trova in conduzione, cioè ON.

Il circuito da esaminare è mostrato in figura 2b, in cui il diodo D₁ viene modellato da un circuito aperto, ed il diodo D₂ è modellato da un corto circuito. La tensione di uscita vO(t) resta determinata dall’applicazione alla rete binodale del noto principio di Millman che consente di relazionare così come segue:

v t E R E R

R R

o

( ) ( ) ( )

( ) ( )

= +

+

1 1 2 2

1 2

1 1

^{, ovvero:}

v t E R E R

R R

o

( )

( )

= +

+

1 2 2 1

1 2

Sostituendo i dati forniti dalla traccia ed effettuati i relativi calcoli si giunge alle seguenti scritture:

v t E R E R

R R

o

( ) V

( ) ( )

( )

= +

+ = ⋅ + ⋅

+ = ⋅ ⋅ +

= =

1 2 2 1

1 2

25 200 100 100 100 200

100 25 2 100 300

150 3 50

Dalla rete di figura 2b, per ispezione diretta, si evince che VK1=V_K2=V_A2=v_O(t); pertanto il diodo D1 è OFF ed il diodo D2 è ON finché il segnale di ingresso non raggiunge il valore vin(t) = 50 V; si conclude, pertanto che:

∀ t : 0 ≤ v

_in

( ) t ≤ 50 V

⇒

D

₁

è OFF, D

2

è ON

⇒

v

_O

(t) = 50V

Quando il segnale d’ingresso v_in(t) supera il valore di 50V anche il diodo D₁ si porta in conduzione:

la rete da esaminare è mostrata in figura 2c, in cui anche il diodo D1 viene modellato con un corto circuito. Per ispezione diretta si evince che la tensione d’uscita v_O(t) costituisce la trasparenza della tensione d’ingresso v_in(t), di rimando vale la relazione che di seguito si riporta:

v

_o

( ) t = v

_in

( ) t

Al crescere di v_in(t) la situazione non cambia finché la tensione di ingresso, che coincide con la tensione V_K2 del catodo del diodo D₂, non riesce a superare il valore E2 = 100 V, valore che porta il diodo D2 all’interdizione. Si conclude, così, che:

∀ t : 50 ≤ v

_in

( ) t ≤ ( E

₂

= 100 V )

⇒

D

1

è ON, D

2

è ON

⇒

v

O

(t) = v

in

(t)

Quando la tensione di ingresso v_in(t) supera il valore della tensione del generatore E₂ il diodo D₂ si porta in interdizione e la rete da esaminare è mostrata in figura 2d in cui il diodo D2 viene modellato

R₁

VO(t) Vin(t)

(figura - 2a)

E

₁

+ ++ +

−

−−

−

R₂

E

2

+++ +

−

−−

− A1 K₁ K₂ A₂

R1

VO(t) V_in(t)

(figura - 2b)

E

₁

+ + + +

−

−

−

−

R₂

E

2

+ ++ +

−

−−

− A1 K1 K₂ A₂

R₁

V_O(t) Vin(t)

(figura - 2c)

E

₁

+ + + +

−

−

−

−

R₂

E

2

+ + + +

−

−

−

− A1 K₁ K₂ A₂

con un circuito aperto. Per ispezione diretta si evince che l’apertura del diodo D₂ fa si che la tensione di uscita v_O(t) coincida col valore della tensione del generatore E₂; si perviene, pertanto, alla relazione di seguito esplicitata:

∀ t : ( E

₂

= 100 V ) ≤ v

_in

( ) t ≤ 150 V

D

1

è ON, D

2

è OFF

⇒

v

O

(t) = E

2

La transcaratteristica, con evidenziate le varie condizioni di conduzione dei diodi D1 eD_2, è mostrata in figura 2e. Nella figura 2f vengono evidenziate le forme d’onda sia della tensione di ingresso v_in(t), sia della tensione di uscita v_O(t). Si evince che il circuito in esame costituisce un limitatore a doppio livello, con livello inferiore L_F = 50V e livello superiore pari a L_S = 100V.

ESERCIZIO 3:

La tensione vIN(t) in ingresso al circuito in figura 3 è un’onda triangolare periodica con valore di picco V_P =150V, offset 75V e frequenza 1KHz. Sapendo che E₂ =25V, E₁ =100V, R₁ =100KΩΩΩ, RΩ ₂ =200KΩΩΩΩ si vuole determinare la transcaratteristica V_O =f(V_IN), indicando, per ciascuno intervallo, la condizione di funzionamento dei diodi supposti ideali e si tracci il grafico accurato della tensione v_O(t).

Si tratta di un circuito con due diodi D₁ e D₂, supposti ideali, alimentato da un segnale in tensione a forma d’onda triangolare unidirezionale con un valore medio VM = offset = V_P/2 = 75 V. Per i due

R1

VO(t) Vin(t)

(figura - 2d)

E

1

+ + + +

−

−

−

−

R₂

E

2

+ + + +

−

−

−

− A1 K₁ K₂ A₂

50V

50V E2

E₂

VP=150V V_in V_O

α α α α

D₁ OFF D₂ ON

D₁ ON

D₂ ON D₁ ON D₂ OFF

(figura - 2e)

m = tag α α α α = 1 α α α

α = 45°

v

O

(t) = v

in

(t)

50V

T=1ms E₂

Vin

(figura - 2f) VO

V_P

t

diodi verrà utilizzato il modello lineare di prima specie, a tratti fra loro perpendicolari che si intersecano proprio all’origine degli assi coordinati V_AK, I_D.

In sostanza si considera nulla sia la tensione di soglia Vγγγγ, sia la tensione di conduzione VDON

dei due diodi D1 e D2.

Una delle strategie iniziali di analisi del circuito è quella di ritenere contemporaneamente i due diodi D₁ e D₂ interdetti e verificare se la rete circuitale che ne deriva è elettricamente compatibile e coerente con i valori che nel tempo assume il segnale d’ingresso. L’ipotesi relativa ai diodi D₁ e D₂ entrambi interdetti conduce a verificare, per

ispezione diretta, la validità elettrica o meno della rete, di seguito riportata come figura 3a, in cui i due diodi vengono modellati come due interruttori aperti e si considera inizialmente V_IN(t) = 0. In tale contesto si deduce che

♦ VA1 =V_in =0V, mentre V_K1 =E₁ =100V, per cui risulta V_AK1=V_A1−−−− V_K1 =−−−−100V, cioè si conferma che D1 è interdetto. cioè OFF;

♦ VK2 =25V, mentre VA2 =VA1 =Vin =0V, per cui risulta: VAK2 = VA2 −−− V− K2 = −75 V < 0, il che, conferma l’ipotesi che anche il diodo D2 sia interdetto, cioè OFF.

Il diodo D₂ uscirà dallo stato di interdizione ed entrerà in conduzione allorché il potenziale del suo anodo raggiungerà il valore della tensione fornita dal generatore E2 = 25 V. Consegue la seguente posizione:

∀ t : 0 ≤ v

_in

( ) t ≤ ( E

₂

= 25 V ) D

1

è OFF, D

2

è OFF

⇒

v

O

(t) = E

2

= 25 V

All’aumentare del segnale d’ingresso v_IN(t), per tensioni superiori a E₂ = 25 V, il diodo D₂ si porta nello stato di conduzione, mentre il diodo D₁ persiste nello stato d’interdizione finché il potenziale dell’anodo A1 non raggiunge il valore dato da V_A1 = V_K1 = E₁ = 100 V. La rete da esaminare viene mostrata in figura 3b, in cui il diodo D₂ è modellato con un corto circuito ed il diodo D₂ conserva la rappresentazione equivalente data dal circuito aperto. In questo contesto, la tensione di uscita v_O(t) è determinata dalla applicazione del principio di Millman alla rete binodale di figura 3b; è così lecito relazionare nella forma che di seguito si riporta:

v t v t R E R

R R

v t R E R

R R

R v t

R R

R E

R R

o

in in in

( ) ( ( ) ) ( )

( ) ( )

( )

( )

= + ( )

+ = +

+ = ⋅

+ +

+

1 2 2

1 2

2 2 2

1 2

2

1 2

1 2

1 2

1 1

Sostituendo i dati forniti dalla traccia ed operando i dovuti calcoli, si perviene alle seguenti scritture:

v t R v t

R R

R E

R R

v t

v t

o

in in

( ) ( ) ( )

in

= ⋅ ( )

+ +

+ = ⋅

+ + ⋅

+ = ⋅ +

2

1 2

1 2

1 2

200

100 200

100 25 100 200

2 3

25 3

Dalla relazione appena ricavata si può verificare che per vin(t) = 25 V viene confermato il valore, già precedentemente calcolato, di vO(t) = 25 V; il che esplicita che la transcaratteristica è una funzione continua. Si può concludere affermando quanto segue:

R1

D1

D₂

v

_in

(t)

+ ++ +

−−−

−

E

1

++ ++

−

−

−

−

E

2

R2

v

₀

(t)

(figura - 3)

R₁ A₁ A2

v

in

(t)

+ ++ +

−

−−

−

E

₁ ⁺⁺⁺⁺₋₋₋₋

E

2

R₂

v

0

(t)

(figura - 3a) K₂ K₁

R1 A1

A₂

v

_in

(t)

+ ++ +

−−−

−

E

1

++ ++

−

−

−

−

E

₂

R₂

v

0

(t)

(figura - 3b) K₂ K₁

∀ t : ( E

₂

= 25 V ) < v

_in

( ) t ≤ v

_in^*

( ) t ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ D

₁

è OFF, D

2

è ON

⇒

v t v t

o

( ) = 2 ⋅

in

( ) + 3

25 3

La rete di figura 3b risulta essere coerente con i valori del segnale di ingresso v_in(t) finché questi si mantiene ad un valore inferiore al valore v^*_in(t) che porta il potenziale dell’anodo di A₁ ad assumere il valore vA1 = E1 = 100 V; in tale circostanza, infatti, il diodo D1 esce dallo stato di interdizione ed inizia a condurre. Il diodo D₂, invece, a maggior ragione, al crescere di v_in(t) persiste nello stato di conduzione. La rete da esaminare è mostrata nella figura 3c in cui il diodo D₁ viene modellato da un

corto circuito. Il valore del segnale d’ingresso da ricercare è quel particolare valore v*IN(t) della tensione d’ingresso per cui, nella rete di figura 3b, risulta soddisfatta la relazione seguente:

v t E v t

o

( ) =

₁

= 2

in^*

( ) + 3

25 3

da cui si ricava la scrittura di seguito riportata:

3 E

₁

= ⋅ 2 v

_in^*

( ) t + 25

ovvero:

v t E

in

V

*

( ) = − ,

= ⋅ −

= =

3 25

2

3 100 25 2

275

2 137 5

1

Con riferimento alla figura 3b, si completa l’analisi asserendo quanto segue:

∀ t : ( E

₂

= 25 V ) < v

_in

( ) t ≤ ( v

_in^*

( ) t = 137 5 , V ) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ D

₁

è OFF, D

2

è ON

⇒

v t v t

o

( ) = 2 ⋅

in

( ) + 3

25 3

Con riferimento alla figura 3c vale la seguente posizione:

∀ t : ( v

_in^*

( ) t = 137 5 , V ) < v

_in

( ) t ≤ ( V

_P

= 150 V ) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ D

1

è ON, D

2

è ON

⇒

v

_o

( ) t = E

₁

= 100 V

La transcaratteristica v_O = ƒƒƒƒ(vin), con evidenziate le varie condizioni di conduzione dei diodi D₁ e D₂, viene mostrata in figura 2d. Nella figura 2e sono evidenziate le forme d’onda sia della tensione di ingresso vin(t), sia della tensione di uscita vO(t). Si evince che il circuito in esame costituisce un limitatore a doppio livello, con livello inferiore L_F = 25V e livello superiore pari a L_S = 100V.

R1 A1

A₂

v

_in

(t)

+ + + +

−−

−−

E

1

+ + + +

−−

−−

E

2

R2

v

0

(t)

(figura - 3c) K₂ K₁

25V

137,5V E₂ =25V

E₁

V_P=150V V_in V_O

α α α α

D₁ OFF D₂ OFF

D₁ OFF D₂ ON

D₁ ON D₂ ON

(figura - 3d)

m = tag α α α α = 2/3 α α

α α = arctag (2/3) = 33,69°

v

O

(t) = (2/3)·v

in

(t) + (25/3)

ESERCIZIO 4:

La tensione v_IN(t) in ingresso al circuito di figura 4 è un’onda triangolare periodica con valore massimoV_M =16V, minimo V_m =0V e frequenza ƒƒƒƒs=1KHz. Sapendo che i diodi sono ideali e che EO =12V si tracci il grafico accurato della tensione vO(t) (6 punti). Si indichi, inoltre, per ciascun tratto della trascaratteristica v_O =ƒƒƒ(vƒ IN) la condizione dello stato di funzionamento dei diodi (3 punti). (Prima Prova in Itinere - 23 novembre 2007)

Si tratta di un circuito con due diodi D₁ e D₂, supposti ideali, alimentato da un segnale in tensione ad onda triangolare unidirezionale con un valore medio o di offset V_P/2=8V.

Per entrambe i diodi sarà utilizzato il modello lineare a tratti di prima specie, formato da tratti fra loro perpendicolari che, appunto, si intersecano nell’origine degli assi coordinati V_AK, I_D. In sostanza si considera nulla sia la tensione di soglia Vγγγγ, sia la tensione VDON di conduzione dei due diodi D₁ e D₂. Una delle strategie iniziali d’analisi del circuito consiste nel considerare che entrambe i diodi D1 e D2

siano contemporaneamente interdetti e verificare se la rete circuitale che ne deriva è compatibile e coerente elettricamente con i valori che assume nel tempo il segnale d’ingresso.

L’ipotesi attinente ai due diodi D1 e D2 entrambi interdetti porta a verificare, per ispezione diretta, la validità elettrica o meno della rete, riportata di seguito come figura 4a, in cui i due diodi vengono modellati come due interruttori aperti nonché si considera inizialmente V_IN(t)=0V. In tale contesto, NON circolando corrente in alcuna delle resistenze si ha vO =0V; consegue che la legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia (αααεεεεδα δδδββββααα) α consente di scrivere:

E

_o

− v

_o

− V

_{A K2 2}

= 0

, da cui segue:

E

_o

− V

_{A K2 2}

= 0 ⇒ E

_o

= V

_{A K2 2}

> 0

25V

T=1ms E1

V_in

(figura - 2e) VO

V_P

t

137,5V

v*

in

(t)

R/2

D₁

D₂

v

_in

(t)

+ + + +

−−

−− E_O

R/2

v

0

(t)

(figura - 4)

R

R

R/2

A₂ ++ ++

−

−

−

− E_O

R/2

v

0

(t)

(figura - 4a)

R R

A₁ K₁ K2

α α α α

δ δδ δ

β β β β

εεεε

V_A2K2

Poiché la tensione fra l’anodo A₂ ed il catodo K₂del diodo D₂ risulta maggiore di zero, si deve concludere che la rete di figura 4a smentisce l’ipotesi del diodo D₂ nello stato di interdizione, ma stabilisce, invero, che il diodo D₂ è certamente in conduzione.

Pertanto, sempre nella condizione di segnale d’ingresso vIN =0V, la rete da esaminare è mostrata in figura 4b in cui D2 viene modellato da un corto circuito mentre per D1 si ipotizza ancora lo stato di interdizione. L’ispezione diretta della rete evince che la tensione vO è positiva cioè Vααααδδδδ=VA1K1>0

e ciò contraddice assolutamente l’ipotesi che con V_IN=0Vil diodo D₁ sia nello stato d’interdizione.

Il calcolo della tensione di uscita v_O(t) è fornito dalla legge del partitore resistivo di tensione che di seguito si riporta:

v t R E

R R

R E R

E

o

o o o

( ) = ⋅ ( ) ( )

+ = ⋅

2 3 2 = 2

3

v t V

o

( ) = ⋅ 2 12 =

3 8

Si termina l’analisi affermando che per vIN =0V i due diodi sono entrambe in conduzione e la rete da esaminare è mostrata in figura 4c in cui i diodi sono modellati dagli equivalenti corto circuiti.

La rete di figura 4c, che ammette l’equivalente configurazione esplicitata in figura 4c bis, consente di calcolare la tensione in uscita vO(t) con la regola del partitore resistivo di tensione che consente, così, di relazionare come segue:

v t R R

R R R

o

( ) ( ) E

o

( ) ( )

= + 2 ⋅

2 2

, ovvero:

v t R E

R R

R E

R

E

o

o o o

( ) ( )

( ) ( )

= ⋅

+ = ⋅ =

3

2 3 3

6 5

2 5

Con i valori assegnati dalla traccia si ha: vO(t)=4,8V.

Si è, ora, nella possibilità di valutare l’evoluzione del segnale di uscita vO(t) al variare del segnale d’ingresso v_IN(t). Dall’analisi precedentemente sviluppata si può asserire che:

∀ t : 0 ≤ v

_in

( ) t < v

_in^*

( ) t

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ D

₁

è ON, D

2

è ON

La rete da esaminare è mostrata in figura 4d che evidenzia la presenza del generatore di segnale vIN

e i due diodi modellati dal bipolo corto circuito. L’applicazione del “principio dei potenziali di nodo”, considerando come riferimento il nodo δδδδ, consente di relazionare come segue:

R/2

A2

++ ++

−

−

−

− EO

R/2

v

0

(t)

(figura - 4b)

R R

A₁ K₁ K₂

α α α α

δ δδ δ

β β β β

εεεε

VA1K1

R/2

A₂ +++ +

−

−−

− E_O

R/2

v

0

(t)

(figura - 4c)

R R

A1 K₁ K₂

α α α α

δ δδ δ

β β β β

εεεε

^R/2

A2

++ ++

−

−

−

− E_O

R/2

v

0

(t)

(figura - 4d)

R R

A₁ K₁ K₂

α α α α

δ δδ δ

β β β β

εεεε

+ + + +

−−

−− vIN

I_R I_G

I

R/2

R/2

v

0

(t)

(figura - 4c bis)

R R

++ ++

−

−

−

− E_O

δ δδ δ β

β β

β

I v t v t R

I v t E

R

I v t

G

R

o in o o

R

= −

o

= −

( ) ( ) =

( ) ; ( )

( ) ; ( )

2 2 ;

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo δδδδ consente di esplicitare quanto segue:

I I I v t v t

R

v t E R

v t

G R

R

o in o o o

+ + = ⇒ −

+ −

+ =

0 ( ) 2 ( ) 2 0

( )

( )

( )

( )

Svolgendo i dovuti passaggi algebrici e lenecessariesemplificazionisigiungealleseguenti scritture:

2 2 2 2

v t 0 R

v t R

v t R

E R

v t R

o

( )

in

( )

o

( )

o o

( )

− + − + =

5 2 2

0 2

5

2 5 v t

R

v t R

E R

v t v t E

o in o

o in o

( ) ( )

( ) ( )

− − = ⇒ = ⋅ +

Utilizziamo la relazione ora ricavata quale conferma dei risultati già conseguiti e verifichiamo che pervIN(t)=0Vsiribadiscequantodedottodall’analisidellaretedifigura4cefigura4cbis;si ottiene:

v

_o

t v t E v E E V

t in o

t

in o o

( )

₌

( ) ( ) ,

=

=  ⋅ +

  

  = ⋅ + = = =

0

0

2 5

2 5

2

5 0 2

5

2 5

24

5 4 8

Al variare del segnale di ingresso vIN(t) il diodo D₁ persisterà nello stato di conduzione finché la tensione fra anodo e catodo sarà non negativa; se D1 cessa di condurre allora è certamente IG=0A, come del resto è suggerito dalla figura 4d. Ne consegue che, indicato con v*_IN(t) il particolare valore della tensione di ingresso per il quale il diodo D₁ cessa di condurre ed inizia ad interdirsi, si dovrà verificare quanto segue:

I v t v t

R

v t v t v t v t

G

o in

o in o in

= −

= − = ⇒ =

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

* * *

2 0 0

Imponendo tale condizione nella relazione che fornisce il legame fra la tensione di uscita v_O(t) e la tensione di ingresso vIN(t) si ottiene la scrittura che di seguito si esplicita:

v

_in^*

( ) t = 2 ⋅ v

_in^*

( ) t + E

_o

⇒ v

_in^*

( ) t = E

_o

⇒ v

_in^*

( ) t = E

_o

= V 5

2 5

3 5

2 5

2

3 8

Atteso quanto premesso, è assolutamente dimostrato l’asserto che segue:

∀ t : 0 ≤ v

_in

( ) t < v

_in^*

( ) t = 8 V

⇒ D ⇒ ⇒ ⇒

₁

e D

₂

sono ON ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ v

_o

( ) t = 2 v

_in

( ) t + E

_o

5

2 5

∀ t : [ v

_in^*

( ) t = 8 V ] < v

_in

( ) t ≤ ( V

_M

= 16 V )

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ D

₁

è OFF e D

₂

è ON

La rete da esaminare è mostrata nella figura 4e che, per quanto attiene il calcolo della tensione di uscita vO(t), è da ritenersi sostanzialmente del tutto equivalente alla rete riportata in figura 4b e già ampiamente esaminata. Per questo motivo si riportano le risultanze in precedenza espresse:

v t R E

R R

R E R

E

o

o o o

( ) = ⋅ ( ) ( )

+ = ⋅

2 3 2 = 2

3 v

_o

( ) t = ⋅ V

2 12 =

3 8

La tensione d’uscita v_O(t) assume, pertanto, un valore costante. La transcaratteristica è costituita R/2

A2

+ + + +

−−

−− EO

R/2

v

0

(t)

(figura - 4e)

R R

A₁ K1

K2

β β β β

+ ++ +

−−−

− v_IN(t)

da due tratti come mostrato in figura 4f e del primo tratto viene anche indicata la pendenza fornita tramite l’angolo αα e la condizione dello stato di funzionamento dei diodi Dαα 1 e D2 nei corrispondenti intervalli dei valori del segnale di ingresso oggetto di analisi. L’evoluzione temporale del segnale di uscita vO(t) relativo alla transcaratteristica espressa in figura 4f, viene mostrato nella figura 4g.

4,8V

T=1ms 8V

V_in

(figura – 4g) V_O

VM

t v*

in

(t)

m = tag α α α α = 2/5 α

α α

α = arctag (2/5) = 21,80°

v

_O

(t) = (2/5)·v

_in

(t) + (24/5)

4,8V

V^*_IN =8V 8V

V_M=16V V_in V_O

α α α α

D₁ ON D₂ ON

D₁ OFF D₂ ON

(figura - 4f)