prova scritta del 18 giugno 2008 – Compito A
ESERCIZIO 1. Si consideri la proiettivit`a, f : P3(R) → P3(R), di matrice
A =
6 1 −4 2
0 −2 0 0
4 1 −2 2
0 0 0 −2
nel riferimento canonico {e0, . . . , e3}.
(a) [3 punti] Si determinino punti, rette e piani uniti rispetto ad f .
(b) [3 punti] Si determinino i sottospazi proiettivi su cui f induce un’omologia (speciale o non-speciale) e si determinino in ogni caso asse e centro dell’omologia. Si determinino i sottospazi proiettivi su cui f induce un’involuzione.
(c) [3 punti] Dato un punto Q ∈ P3(R) sia Qn = fn(Q), per ogni intero n ≥ 1. Si discuta il limite della successione di punti, al variare del punto Q.
Svolgimento. (a) Il polinomio caratteristico di A `e det(x1 − A) = (x + 2)2(x − 2)2 e si ha
A + 21 =
8 1 −4 2
0 0 0 0
4 1 0 2
0 0 0 0
e A − 21 =
4 1 −4 2
0 −4 0 0
4 1 −4 2
0 0 0 −4
(A − 21)2=
0 −4 0 −8
0 16 0 0
0 −4 0 −8
0 0 0 16
.
Il polinomio minimo `e quindi (x − 2)2(x + 2). Scelta la base v0 = e0− 4e1+ e2, v1 = e0+ e2− 2e3, v2= 4e0+ 4e2, v3= e1, la matrice di una soprastante di f , rispetto a tale base, `e
J =
−2 0 0 0
0 −2 0 0
0 0 2 1
0 0 0 2
da cui si vede che vi `e una retta di punti uniti, r = σ hv0, v1i ed il punto unito P2 = σ hv2i. I piani uniti sono quelli del fascio di asse s = σ hv2, v3i ed il piano π = σ hv0, v1, v2i. Le rette unite, distinte da r ed s, si ottengono unendo P2 = σ hv2i con i punti della retta r. Le stesse rette si ottengono anche intersecando i piani del fascio di asse s con il piano π.
(b) Il piano π = σ hv0, v1, v2i `e unito e contiene la retta di punti uniti, r. Dunque, su π resta indotta da f un’omologia non-speciale, di asse r e centro P2. Su ogni retta unita, `e indotta da f un’omologia non speciale di asse P2e centro il punto di intersezione con la retta di punti uniti. Fanno eccezione la retta r su cui viene indotta l’identit`a e la retta s su cui viene indotta un’omologia speciale di centro ed asse P2.
Tutte le omologie indotte su piani e rette, ad eccezione di r ed s, sono involutorie perch´e diagonalizzabili e con gli autovalori opposti tra loro.
(c) Dato un generico punto Q = σ hx0v0+ · · · + x3v3i, si ha
fn(Q) = σ(−2)n(x0v0+ x1v1) + 2n(x2v2+ x3v3) + 2n−1nx3v2 =
= σ
(−1)n2
n(x0v0+ x1v1) +2
n(x2v2+ x3v3) + x3v2
.
Dunque, al crescere di n, se x36= 0, il punto tende a P2= σ hv2i. Se, invece x3= 0, allora o Q `e un punto unito (x2= 0 = x3o Q = P2) e quindi la successione `e costantemente uguale a Q, oppure il punto Q non `e unito ed i termini della successione oscillano tra Q = σ hx2v2+ (x0v0+ x1v1)i e Q1= f (Q) = σ hx2v2− (x0v0+ x1v1)i.
1
2 MAURIZIO CANDILERA e FRANCESCO ESPOSITO
ESERCIZIO 2. In P2(R) si considerino i punti
P1=
1
−2 1
, P2=
1
0 1
, P3=
1
2
−1
, P4=
1
0
−3
.
(a) [3 punti] Si determinino le equazioni cartesiane delle rette, r, passanti per P0=
1
0 0
, tali che P1, P2, P3, P4 siano i vertici di un parallelogramma nel piano affine P2(R) r r.
(b) [3 punti] Si fissi una delle possibili rette, r, del punto precedente e si determinino due punti (complessi coniugati) C e C tali che il quadrilatero P1P2P3P4 sia un quadrato per la metrica euclidea sul piano affine P2(R) r r che ha C e C come punti ciclici.
(c) [3 punti] `E vero o falso che il fascio di coniche di punti base P1P2P3P4`e formato da coniche concentriche nel piano affine P2(R) r r? In caso affermativo, qual’`e il centro comune alle coniche non degeneri del fascio?.
Svolgimento. (a) I quattro punti sono i vertici di un quadrangolo piano completo e le coppie di lati opposti si incontrano nei tre punti diagonali del quadrangolo che diventa un parallelogramma se, e solo se, i lati opposti sono a due a due paralleli, ovvero se prendiamo come retta impropria una retta che contenga due punti diagonali (lato diagonale del quadrangolo). I punti diagonali sono
D1= (P1∨P2)∩(P3∨P4) =
1
4 1
, D2= (P1∨P3)∩(P2∨P4) =
1
0 0
, D3= (P1∨P4)∩(P2∨P3) =
1
−4 5
,
e quindi solo due lati diagonali passano per P0, ovvero
r = D1∨ D2: X1− 4X2= 0 ed s = D2∨ D3: 5X1+ 4X2= 0.
(b) Per fissare le idee, scegliamo come retta impropria la retta s, lasciando al lettore lo svolgimento dei calcoli nell’altro caso. Un quadrangolo `e un quadrato se i lati che congiungono vertici consecutivi sono a due a due ortogonali cos`ı come i rimanenti due lati che congiungono i vertici opposti. Le direzioni dei lati consecutivi sono i due punti diagonali su s, mentre le intersezioni dei rimanenti lati con s sono i punti Q1 =
5
−4 5
e Q2 =
3
4
−5
. Nel riferimento che ha come punti base D3, D2 e come punto unit`a Q1, indicata con x la relativa coordinata affine, si ha x(D2) = ∞, x(D3) = 0, x(Q1) = 1, x(Q2) = −1. I punti ciclici, C e C, devono quindi avere coordinate affini i e −i, quindi si ha C =
1+4i
−4 5
e C =
1−4i
−4 5
.
(c) Il triangolo di vertici D1, D2, D3`e autopolare per ogni conica del fascio (perch´e?) e tutte le coniche non degeneri del fascio sono a centro, che quindi coincide con il punto D1.
ESERCIZIO 3. In P2(R), si consideri il fascio di coniche di equazioni
C(λ,µ): 36µX02− 2λX0X1− 24µX0X2+ (λ − µ)X12+ 4µX22= 0 al variare dei parametri omogenei (λ, µ).
(a) [3 punti] Si determinino i punti base, le coniche degeneri del fascio ed eventuali rette tangenti a tutte le coniche del fascio. Al variare di (λ, µ), si classifichino le coniche del fascio nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X1− 2X0= 0.
(b) [3 punti] Al variare di (λ, µ), si classifichino le coniche del fascio nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X0= 0. Ponendo su questo piano l’usuale metrica euclidea, si determinino asse, vertice, equazione canonica e fuoco per le le eventuali parabole, non degeneri, appartenenti al fascio.
(c) [3 punti] Si determini, se esiste, una retta, r, tale che le coniche non degeneri del fascio siano tutte iperboli aventi lo stesso centro in P2(R) r r.
Svolgimento. (a) La generica conica del fascio ha matrice
A(λ,µ)=
36µ −λ −12µ
−λ λ − µ 0
−12µ 0 4µ
e det A = −16λ2µ.
Dunque vi sono due coniche degeneri distinte nel fascio, ovvero
C(0,1): X12− 2X0X1= 0, C(1,0): (6X0− 2X2)2− X12= 0.
I punti base del fascio sono
P =
1
0 3
(molteplicit`a 2), Q =
1
2 2
, R =
1
2 4
.
Si conclude che tutte le coniche del fascio sono tangenti alla retta X1= 0 nel punto P . Nel piano affine che si ottiene mandando all’infinito la retta X1− 2X0= 0, vi sono due punti base all’infinito, Q ed R, e quindi si ha un fascio di iperboli.
(b) Nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X0= 0, il tipo di conica
`
e determinato dal segno di detλ−µ 0
0 4µ
= 4µ(λ − µ). Quindi la situazione
`
e descritta nel diagramma a fianco, ove la zona ombreggiata rappresenta i valori (λ, µ) per cui si ottengono ellissi, mentre la zona bianca, rappresenta i valori per cui si ottengono iperboli. Le linee tratteggiate corrispondono alle due parabole del fascio, delle quali una `e degenere (µ = 0). La parabola non degenere `eC(1,1) : 36X02− 4X0X1− 24X0X2+ 4X22 = 0. ovvero X0X1 = (3X0− X2)2. Dunque ha asse h : 3X0− X2 = 0, vertice in P , equazione canonica 2Y = 2X2 e fuoco nel punto F =
4
1 12
.
µ=0 λ−µ=0
λ µ
(c) La retta r : 3X0− X2= 0 `e la polare di R =
0
0 1
per tutte le coniche non degeneri del fascio e contiene il punto P . Quindi ogni conica del fascio interseca r in due punti reali. `E questa la retta cercata.
ESERCIZIO 4. In P3(R), si consideri la quadrica
Q : 2X0X2+ 3X12− 4X1X3− X22+ 3X32= 0.
(a) [3 punti] Si classifichi la quadrica in P3(R) e nello spazio affine che si ottiene togliendo il piano X0= 0.
Posta la consueta metrica euclidea, si determinino l’equazione canonica e gli assi diQ.
(b) [3 punti] Si determini l’equazione del cono,V , tangente a Q ed uscente dal centro o dal vertice di Q, a seconda che si tratti di una quadrica a centro o di un paraboloide. Si dica quali tra gli assi intersecano il supporto di Q in punti reali. `E vero che gli assi di Q formano un sistema ortonormale che porta in forma diagonale anche l’equazione del conoV ?
(c) [3 punti] Si determinino, se esistono, i piani che tagliano cerchi suQ. `E vero che questi piani tagliano cerchi anche sul conoV ? In tal caso, i cerchi su Q ed i cerchi su V han gli stessi centri?
Svolgimento. (a) La quadrica ha matrice
A =
0 0 1 0
0 3 0 −2
1 0 −1 0
0 −2 0 3
e det A = −5 = det A0.
4 MAURIZIO CANDILERA e FRANCESCO ESPOSITO
Si tratta quindi di una quadrica non degenere, a punti ellittici (dato che vi sono dei punti reali, ad esempio
t(1, 0, 0, 0)). la restrizione al piano improprio non `e definita, quindi nel piano affine `e un iperboloide ellittico.
Il centro `e il punto C =
1 0 1 0
! .
Il polinomio caratteristico det(A0− λ13) = (λ + 1)(λ − 1)(λ − 5) e quindi gli autovalori sono −1, 1, 5, che determinano le direzioni degli assi, ovvero
P1=
0 0 1 0
!
, P2=
0 1 0 1
!
, P3=
0 1 0
−1
! .
Gli assi hanno quindi equazioni affini
h1: x = 0
z = 0, h2: y − 1 = 0
x − z = 0, h3: y − 1 = 0 x + z = 0.
Infine, l’equazione canonica `e X2− Y2− 5Z2= 1 nel riferimento ortonormale che ha gli assi della quadrica come assi coordinati.
(b) Il cono asintotico (cono tangente uscente dal centro) ha equazione omogenea V : (X0)2− (2X0X2+ 3X12− 4X1X3− X22+ 3X32) = 0.
L’asse h1 interseca la quadrica nei punti
1 0 0 0
! e
1 0 2 0
!
mentre gli altri due assi la intersecano in punti non reali. I tre assi sono tali anche per il cono asintotico (perch´e?) che ha equazione canonica X2− Y2− 5Z2= 0 in quel sistema di coordinate (spiegare il perch´e!).
(c) Le intersezioni traQ e l’assoluto sono le soluzioni del sistema
Q ∩ H :
X0= 0
X12+ X22+ X32= 0
3X12− 4X1X3− X22+ 3X32= 0 .
Il fascio di coniche determinato daQ ed H sul piano improprio contiene la conica
X0= 0
(X1− X3)2− X22= 0
che si spezza nel prodotto di due rette reali che danno quindi le giaciture dei piani che tagliano cerchi sulla quadrica. Si han quindi i due fasci di piani (paralleli) di equazioni affini τt: x + y − z = t e σs: x − y − z = s, al variare di s e t in R. Poich´e V `e il cono asintotico, ovvero il cono tangente nei punti impropri di Q le due quadriche hanno la stessa intersezione col piano improprio; dunque i piani in questione tagliano cerchi anche sul cono ed i luoghi dei centri sono le stesse due rette per il centro diQ (perch´e? Scrivere l’equazione
delle due rette!).
prova scritta del 18 giugno 2008 – Compito B
ESERCIZIO 1. Si consideri la proiettivit`a, f : P3(R) → P3(R), di matrice
A =
3 0 −1 1
0 3 0 −1
5 0 −3 5
0 1 0 1
nel riferimento canonico {e0, . . . , e3}.
(a) [3 punti] Si determinino punti, rette e piani uniti rispetto ad f .
(b) [3 punti] Si determinino i sottospazi proiettivi su cui f induce un’omologia (speciale o non-speciale) e si determinino in ogni caso asse e centro dell’omologia. Si determinino i sottospazi proiettivi su cui f induce un’involuzione.
(c) [3 punti] Dato un punto Q ∈ P3(R) sia Qn = fn(Q), per ogni intero n ≥ 1. Si discuta il limite della successione di punti, al variare del punto Q.
ESERCIZIO 2. In P2(R) si considerino i punti
P1=
1
−1 0
, P2=
1
1 2
, P3=
1
3 0
, P4=
1
−1
−2
.
(a) [3 punti] Si determinino le equazioni cartesiane delle rette, r, passanti per P0=
1
0 0
, tali che P1, P2, P3, P4 siano i vertici di un parallelogramma nel piano affine P2(R) r r.
(b) [3 punti] Si fissi una delle possibili rette, r, del punto precedente e si determinino due punti (complessi coniugati) C e C tali che il quadrilatero P1P2P3P4 sia un quadrato per la metrica euclidea sul piano affine P2(R) r r che ha C e C come punti ciclici.
(c) [3 punti] `E vero o falso che il fascio di coniche di punti base P1P2P3P4`e formato da coniche concentriche nel piano affine P2(R) r r? In caso affermativo, qual’`e il centro comune alle coniche non degeneri del fascio?.
ESERCIZIO 3. In P2(R), si consideri il fascio di coniche di equazioni
C(λ,µ): −3λX02+ 2(λ − 3µ)X0X1− 2λX0X2+ (λ + 4µ)X12+ 2(2µ − λ)X1X2+ λX22= 0 al variare dei parametri omogenei (λ, µ).
(a) [3 punti] Si determinino i punti base, le coniche degeneri del fascio ed eventuali rette tangenti a tutte le coniche del fascio. Al variare di (λ, µ), si classifichino le coniche del fascio nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X1− 2X0= 0.
(b) [3 punti] Al variare di (λ, µ), si classifichino le coniche del fascio nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X0= 0. Ponendo su questo piano l’usuale metrica euclidea, si determinino asse, vertice, equazione canonica e fuoco per le le eventuali parabole, non degeneri, appartenenti al fascio.
(c) [3 punti] Si determini, se esiste, una retta, r, tale che le coniche non degeneri del fascio siano tutte iperboli aventi lo stesso centro in P2(R) r r.
ESERCIZIO 4. In P3(R), si consideri la quadrica
Q : 2X0X2+ X12− 4X1X2− 2X1X3+ 4X22+ 4X2X3+ 2X32= 0.
(a) [3 punti] Si classifichi la quadrica in P3(R) e nello spazio affine che si ottiene togliendo il piano X0= 0.
Posta la consueta metrica euclidea, si determinino l’equazione canonica e gli assi diQ.
(b) [3 punti] Si determini l’equazione del cono,V , tangente a Q ed uscente dal centro o dal vertice di Q, a seconda che si tratti di una quadrica a centro o di un paraboloide. Si dica quali tra gli assi intersecano il supporto di Q in punti reali. `E vero che gli assi di Q formano un sistema ortonormale che porta in forma diagonale anche l’equazione del conoV ?
(c) [3 punti] Si determinino, se esistono, i piani che tagliano cerchi suQ. `E vero che questi piani tagliano cerchi anche sul conoV ? In tal caso, i cerchi su Q ed i cerchi su V han gli stessi centri?
