su C. Si faccia lo stesso studio per il funzionale int : C → R tale che int(f ) = R

Tutorato di Geometria 3 del 17-10-2012 (P. Salvatore)

(1) Sia cl : P(X) → P(X) un operatore tale che cl(∅) = ∅, cl(A ∪ B) = cl(A) ∪ cl(B), cl(cl(A)) = cl(A), e A ⊆ cl(A) per ogni A, B ⊆ X. Si dimostri che i sottoinsiemi C di X tali che cl(C) = C sono i chiusi di una topologia su X, e cl(A) = A per ogni A.

(2) Si dimostri che gli spazi metrici (0, 1) e R con la topologia euclidea sono omeomorfi ma non sono isometrici. Si dica se tali spazi metrici sono com- pleti.

(3) Sia C lo spazio delle funzioni continue da [0, 1] a valori reali. Si consideri il funzionale ev : C → R tale che ev : f 7→ f (0). Si studi la continuit´a di ev rispetto alla topologia della convergenza uniforme, della convergenza puntuale e la topologia L

su C. Si faccia lo stesso studio per il funzionale int : C → R tale che int(f ) = R

0

f (x)dx.

(4) Si dica se esiste ed in tal caso si calcoli il limite della successione intera {2

− 1} in Q rispetto alla metrica 2-adica. Si ricorda che d

(x, y) = 2

se x − y = 2

, con p, q ∈ Z dispari.

(5) Si dimostri che la funzione r : Q → Q definita da r(x) = 2x + 1 rispetto alla metrica d

` e una contrazione. E rispetto alla metrica euclidea standard?

(6) Sia f : X → Y una funzione continua iniettiva. Si dimostri che se Y ` e di Hausdorff, anche X lo ` e.

(7) Si consideri lo spazio R con la topologia tale che U ⊂ R `e aperto se e solo se 0 ∈ U oppure U = ∅. Si dimostri che R `e separabile ma il sottospazio R

non lo ` e.

(8) Proiezione stereografica. Sia L ⊂ R la retta L = {(t, −1)|t ∈ R} e sia S

= {(x, y)|x

+ y

= 1}. Dato il punto Q = (0, 1) ∈ S

, sia π : S − Q → L la proiezione tale che π(P ) = L ∩ r, dove r denota retta passante per P e Q. Si dimostri che π ` e un omeomorfismo. E’ possibile estendere π ad un omeomorfismo π

: S → L

con L

⊂ R

?

(9) E’ sempre vero che in uno spazio metrico (X, d) la chiusura del disco aperto D

(x

) ` e uguale a {x|d(x, x

) ≤ r} ?

(10) Dimostrare che una funzione f : X → Y ` e continua se e solo se per ogni

B ⊆ Y vale F r(f

(B)) ⊆ f

(F r(B)), dove F r ` e l’operatore di frontiera.