Equazioni differenziali: formule

(1)

Equazioni differenziali: formule

Equazioni a variabili separabili

   

'

y  A x B y

Vale teorema esistenza e unicità locale

  ^'  

y dy A x dx

B y 

 

Problema di Cauchy

   

 

0 0

'

y A x B y y x y

 

 



Si applicano le condizioni alla fine dei due integrali indefiniti, oppure

   

0 0

y

'

x

y x

y dy A x dx

B y 

 

Equazioni lineari del primo ordine

   

'

y  A x y  B x

Per il teorema di struttura le soluzioni sono tutte e sole le funzioni del tipo

 

0

   

y x  y x  y x

Dove

y

0

  x

è l’integrale dell’omogenea associata e

^{y x}  

una soluzione particolare dell’equazione completa.

L’integrale dell’omogenea associata è

'

^{a t dt} 

y  e 

La soluzione particolare dell’equazione completa si trova col metodo di variazione delle costanti arbitrarie, applicando la seguente formula:

 

^{a x dx}^{ }

 

y x   e

^

 b x dx

La soluzione completa è quindi

 

^{a x dx}^{ } ^{a x dx}^{ }

 

y x e c



e^ b x dx

Problema di Cauchy

   

 

0 0

'

y A x y B x y x y

 

 

 

Si applicano le condizioni all’integrale finale

 

⁰ ^{ } ⁰ ^{ }

 

0

x x

a x dx x a x dx

x

y x y e c e b x dx







   

    

 

 



(2)

Equazioni lineari del secondo ordine

 

'' '

y  ay  by  f x

E’ possibile risolverle solo se i coefficienti sono costanti

La soluzione è uno spazio vettoriale in due dimensioni: se y1 e y2 sono infatti due soluzioni dell’omogenea associata e k1, k2 due scalari appartenenti a R, k1y1+k2y2 è ancora soluzione dell’omogenea, ma anche y1- y2 è ancora soluzione.

Per il teorema di struttura le soluzioni sono sempre e comunque del tipo

 

0

   

y x  y x  y x

Partendo dall’omogenea associata, cerco soluzioni della forma:

 

^x

y x  e

^ per cui

 

'

^x

y x   e

^

 

²

''

^x

y x   e

^

L’equazione diventa una cosa del tipo

2 a b 0







  (1)

Una volta trovati i valori di



la soluzione sarà

 

¹ ²

0 1 2

x x

y x  c e

^

 c e

^

Se ho due autovalori uguali dovrò cercare la seconda primitiva come:

 

^x

y x  xe

^

E la soluzione sarà quindi

   

0 1 2 1 2

x x x

y x  c e

^

 c xe

^

 c  c x e

^

Per trovare la soluzione particolare abbiamo due metodi:

1) Metodo di variazione delle costanti arbitrarie Ci dà la formula:

     

   

²

   

' '

2 1 1 2

y x f x y x y x y x y x y x

 





2) Metodo di verosimiglianza

Se f(x) è fatta bene, cerchiamo di associarla a un polinomio di questo genere

 

m

 

^t

^sin

f x  P t e

^

 t

Prendo due valori di



:

1 2

i i

  

 

 

Se nessuno di questi due è soluzione del polinomio caratteristico (1) allora

 

m

 

^x

^sin

m

 

^x

^cos

y x  Q x e

^

 x  R x e

^

 x

Dove

Q

m

  x

ed

R

m

  x

sono due polinomi completi di grado m di cui si devono determinare i coefficienti

Problema di Cauchy

 

0 0

'' '

' '

y ay by f x y x y

y x y

  

 

 

 



Si applicano le condizioni alla fine

(3)

Equazioni lineari di ordine superiore al secondo e sistemi non omogenei

       

'

y x  A x y x  b x

Supponiamo di avere una equazione più complicata della precedente in forma lineare

 

1

 

¹

  ...   '  

n n

y x  a x y

^

x   a

n

x y  b x

L’equazione può essere ricondotta in un sistema di equazioni del primo ordine tramite la seguente sostituzione

 

1

2 1

3 2

1 ' 1

' '

' ''

...

'

ⁿ

n n

y y

y y y

y y

_

y

^

  

 

   

 

   



Il sistema si può quindi scrivere come:

       

'

y x  A x y x  B x

Dove la matrice A sarà costruita come segue

 

1

 

1

 

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1

n n

A x

a x a

_

x a x

 

 

  

 

 

 

1 2 3 4

' ' ' '

'

n

' y y y x y

y

 

 

  

 

 

 

0 B x 0

b x

 

 

  

 

 

Sappiamo risolvere il sistema solo se è a coefficienti costanti, ovvero A(x) è A.

Cominciamo a risolvere il sistema omogeneo:

^{y x} ^'   ^ ^{Ay x}  

Si ricorre al calcolo della matrice esponenziale:

1) Si determinano gli autovalori della matrice

 ^A ^ ^ ^I 

dove I è la matrice identica

2) Si determinano gli autovettori relativi agli autovalori trovati (NB devono essere tutti diversi, se ci sono autovalori ripetuti il caso non è stato trattato a lezione)

3) La soluzione del sistema è

 

1 ¹ 1 2 ² 2

1

... ⁿ ⁱ

n

x x

n i

O n i

i

y x c e v^ c e^ v c e^ v c e v^



    



dove v1, v2 ecc

sono gli autovettori associati agli autovalori

Per trovare una soluzione particolare è necessario il calcolo della matrice esponenziale

(4)

La matrice esponenziale è, detta S la matrice degli autovalori e^Ax Se S^^x ^¹ dove

e

^^xè la matrice sulla cui diagonale compare l’esponenziale degli autovalori.

A questo punto

 

^ ^

 

0 x

x s A

yp x 



e ^ b s ds

Problema di Cauchy

 

0 0

' '

0 0

'' '

' '

'' ''

n n

y ay by f x y x y

y x y

  

 

 

 

 

 

 



Anche qui le condizioni si applicano alla fine.

(5)

Equazione di Eulero Secondo ordine

 

2

0 1 2

1 2

2 0

'' '

'' ' 0

a x y a xy a y f x f x a xy a y

y x

a x

  

 

 

Si risolve mediante la sostituzione

0

t t

e x

x

e

^

x

 

  

 

Calcolo la funzione in t e le sue derivate (caso x positivo)

   

        ^{ }

   

2 2

0 1 0 2

' '

'' '' ' '' '

'' '

t

t t

t t t t t t

t

u t y e u t y e e

u t y e e y e e y e e u t a u a a u a u f e



   

    

Da qui ci si riconduce al caso lineare

Terzo ordine

 

3 2

0

'''

1

''

2

'

3

a x y  a x y  a xy  a y  f x

Si risolve mediante la sostituzione

0 0

t t

e x

x

e^ x

 

 

 

Calcolo la funzione in t e le sue derivate (caso x positivo)

   

        ^{ }

    ^{ }

     

2 2

3

0 1 0 2 1 3

' '

'' '' ' '' '

''' ''' ''

''' '' '

t

t t

t t t t t t

t t

t

u t y e u t y e e

u t y e e y e e y e e u t u t y e e u t

a u a a u a a u a u f e



   

 

      

Da qui in poi ci si riconduce al caso lineare del terzo ordine

Equazioni differenziali: formule