Equazioni differenziali ordinarie

(1)

Equazioni differenziali ordinarie

Equazioni differenziali ordinarie

• Equazioni differenziali del 1° ordine a variabili separabili,

• Equazioni differenziali lineari del 1°_ordine

• Equazioni differenziali del 1° ordine non lineari:

• Equazione di Bernoulli

• Equazione di Clairaut

• Problema di Cauchy per le eq. diff. del 1° ordine in forma normale,

• Equazioni differenziali lineari di ordine

n  2

(2)

Equazioni differenziali ordinarie di ordine n Definizione

Sia si definisce equazione differenziale ordinaria di ordine n, un’equazione in cui compaiono la funzione

incognita e le sue derivate fino all’ordine n:

Con

e g funzione reale.

) ( ),...,

( ),

(x y y x y⁽ ⁾ y⁽ ⁾ x y

y    ⁿ  ⁿ

R

I 

,

),

( x x I

y

y  

0 ) ,...., ,

, ,

( x y y  y  y

⁽ⁿ⁾

 g

Equazioni differenziali ordinarie di ordine n

Se g è un polinomio in cui sono di primo grado, allora l’equazione si dice

equazione differenziale lineare

(l’ordine dell’equazione è dato dall’ordine massimo di derivazione che compare)

)

,....,

(

,

, y y y

ⁿ

y  

(3)

è soluzione dell’equazione differenziale di ordine n se, y(x) insieme alle sue derivate soddisfa l’equazione, cioè

)

(x y y 

I x x

y x

y x y x y

g ( ( ),  ( ),  ( ),....,

⁽ⁿ⁾

( ))  0 ,  

Un'equazione differenziale è in forma normale se è esplicitata rispetto alla derivata di ordine massimo:

altrimenti si dice in forma non-normale

, 0 ) ,....,

, , ,

(

⁽ ¹⁾

)

(ⁿ

 f x y y  y  y

ⁿ^

 y

Integrare un'equazione differenziale significa trovare tutte le soluzioni. L'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale di ordine n dipende da n parametri reali: le costanti :

INTEGRALE GENERALE Fissando i parametri si ottiene una soluzione particolare dell'equazione differenziale e viene chiamata INTEGRALE PARTICOLARE.

Nel caso di un’eq. diff. del 1° ordine:

c

n

c c

₁

,

₂

,....,

) ,..., ,

,

( x c

₁

c

₂

c

_n

y

y 

c

n

c c

₁

,

₂

,....,

) , ( c x y y 

0 ) , ,

( x y y  

g

(4)

Nel caso di un’eq. diff. del 1° ordine:

forma non normale

forma normale o esplicita integrale generale

) , ( x y f y  

) , ( c x y y 

0 ) , ,

( x y y   g

NOTA Non sempre ogni soluzione dell'equazione

differenziale data è anche un integrale particolare: ci sono casi di equazioni differenziali che ammettono anche

INTEGRALI SINGOLARI, cioè integrali non ottenibili per nessun valore della costante c.

(5)

Equazioni differenziali a variabili separabili

Con funzioni continue

)

( ) ( x g y f

y  

) ( )

( x e g y f

soluzione è

y y y

g y

se 

₀

: (

₀

)  0  

₀

ma

Se allora si divide l’equazione per g(y) e si integra:

), ) (

( f x

y g

y  

, 0 )

( y y

g  

 ^ 

 dy f x dx

y

g ( )

) (

1 dx , y   dy

costante c

c x F y

G ( )  ( )  , 

(6)

Esempio. Integrare la seguente equazione differenziale

2

2 x xy

y    )

1 ( 2 x y

²

y   





 _ ^

 xdx

y

dy 2

1

²

c x arctgy 

²



) ( x

²

c tg

y  

Integrale generale

y y

y

g ( )  1 

²

 0 

Equazioni differenziali a variabili separabili Esempio. Risolvere

y   xy

²

x c xdx y

y dy      

 2

1

²

2

soluzione è

y  0

c y x

2 2

2









Integrale singolare

 0

y

:

0 y 

se

(7)

Se b(x)=0 allora si dice omogenea Equazioni differenziali lineari del 1°_ordine

) ( )

( x y b x a

y   

con a(x) e b(x) funzioni continue in I.

0 )

( 

  a x y y

Teorema

Tutte le soluzioni dell’eq. diff. lineare del 1° ordine non omogenea

sono date da

Equazioni differenziali lineari del 1° ordine

) ( )

( x y b x a

y   

 ^e ^b ^x ^dx ^c 

e x

y ⁽ ⁾ 

^^A⁽^x⁾



^A⁽^x⁾

⁽ ⁾ 

con A(x) primitiva di a(x)

(8)

Dimostrazione

Sia A(x) una primitiva di a(x), cioè

Moltiplicando entrambi i membri dell’eq. diff. per il fattore si ha

Equazioni differenziali lineari del 1°_ordine

) ( )

( x a x

A  

) ( )

( ) ( )

(

⁽ ⁾ ⁽ ⁾

)

(

y x e a x y x e b x

e

^A ^x

 

^A ^x



^A ^x

) ( x

e

A

cioè

 ^e

⁽ ⁾

^y ⁽ ^x ⁾  ^e

⁽ ⁾

^b ⁽ ^x ⁾

dx

d

A x



A x

Integrando membro a membro si ha

Equazioni differenziali lineari del 1° ordine

c dx x b e x

y

e

^A⁽^x⁾

⁽ ⁾  

^A⁽^x⁾

⁽ ⁾ 

 ^e ^b ^x ^dx ^c 

e x

y 

^A ^x ^A ^x



 ⁽ ⁾

^ ⁽ ⁾



⁽ ⁾

Se b(x)=0 allora

y ( x )  ce

^^A⁽^x⁾

(9)

Esempio Integrare la seguente equazione differenziale Equazioni differenziali lineari del 1°_ordine

2

2 xy xe

^x

y   

^

 ^e ^xe ^dx ^c 

e x

y 

^x ^x ^x



 ⁽ ⁾

^ ²



² ^ ²

2 2

) ( , )

( 2

)

( x x A x x b x xe

^x

a    

^

 

 



 





^

x c

e x

y

^x

) 2 (

2 2

Esercizi Integrare le seguenti equazioni differenziali Equazioni differenziali lineari del 1° ordine

0 )

cos(  

  x y y

arctgx y

y

x   

 ) 1

(

²

(10)

a(x), b(x) funzioni continue, α ≠ 0,1 altrimenti si ricade nelle eq. lineari.

(Se 𝛼>0 allora 𝑦=0 è una soluzione: integrale singolare) Se y è diverso da zero, si divide tutto per 𝑦^𝛼 :

Equazioni differenziali del 1° ordine non lineari

Equazione di Bernoulli

1 , 0 con ,

, ) ( )

(   

a x y b x y^  R  y

𝑦

^′

𝑦

^−𝛼

+ 𝑎 𝑥 𝑦

^1−𝛼

= 𝑏(𝑥)

Si ha:

Equazioni differenziali del 1° ordine non lineari Equazione di Bernoulli

Posto:

𝑧 𝑥 = 𝑦

^1−𝛼

e sostituendo nella eq. precedente si ottiene un’equazione differenziale lineare del primo ordine rispetto a 𝑧.

𝑧′ 𝑥 = (1 − 𝛼)𝑦

^−𝛼

𝑦′

𝑧

^′

(𝑥) + (1 − 𝛼)𝑎 𝑥 𝑧(𝑥) = (1 − 𝛼)𝑏(𝑥)

(11)

Equazioni differenziali del 1° ordine non lineari Esercizio . Integrare la seguente eq diff

xy

2

y y   

soluzione è

y  0 : 0 y  se

y y z

y x

z x

y y

y 

^²



^¹

  ( ) 

^¹

,   

^²

 ,

z   z   x

Eq diff. lineare in z(x)

 ^xe ^dx ^c 

e x

z 

^x



^x



 ⁽ ⁾

^



Quindi



^x ^x



^x

x

xe e c z x ce

e x

z ( ) 

^

       1 

^

Ed essendo si ha

z ( x )  y

^¹

ce

x

y x z

x

y

^ _



 



 1

) 1

(

¹

ce

x

y x y







 



1 1 0

Integrale generale Integrale singolare

(12)

Esercizio

senx y

y

y   2  

Equazione di Clairaut

) ( y g y x

y    

con g funzione derivabile.

Si tratta di un’equazione differenziale del primo ordine in forma non normale.

(13)

Equazioni differenziali del 1°ordine non lineari Equazione di Clairaut

Derivando rispetto a x primo e secondo membro dell’eq.

differenziale si ha:

𝑦

^′

= 𝑦

^′

+ 𝑥𝑦

^′′

+ 𝑔

^′

𝑦

^′

𝑦′′

𝑦

^′′

𝑥 + 𝑔

^′

𝑦

^′

= 0

1)

𝑦

^′′

= 0 → 𝑦

^′

= 𝑐

sostituendo nell’equazione diff. di partenza

𝑖) 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑔(𝑐)

ottengo una famiglia di rette al variare di c

(14)

Equazione di Clairaut 2)

𝑥 + 𝑔

^′

𝑦

^′

= 0

Posto 𝑡 = 𝑦^′ dalla precedente si ricava:

𝑖𝑖) 𝑥 𝑡 = −𝑔′(𝑡) 𝑦 𝑡 = −𝑡𝑔

^′

𝑡 + 𝑔(𝑡)

Tale soluzione è un INTEGRALE SINGOLARE ed è l’inviluppo della famiglia di rette (𝑖)

Equazioni differenziali del 1° ordine non lineari Esercizio

   

²

3

1 y y y x



 



Si ha

^y ^ ^x ^y ^ ^   ^y ^

^² Equazione di Clairaut

  ⁽ ²   ⁾ ⁰

2 

³

    

³



 

 

  y x y y

^

y y x y

^

y

  0 2

0

3



  





y x

y

(15)

  0 2 

³



 y

^

x

da

y   0

si ottiene

y   c 

2

1 cx c

y  

famiglia di rette

da ponendo

y   t

si ottiene

 ^x _y ^ _ ^ _tx ² _ ^t

^

₂

³

_t

^²

_ _y _ _ ₄ _t

^² Integrale singolare o curva inviluppo del fascio di rette

Equazioni differenziali del 1° ordine non lineari Equazione di Clairaut

  ^y

sen y

x

y    

La soluzione è

  ^c

sen cx

y  

fascio di rette

 ^x _y ^ _ ^cos _t _cos ^t _t _ _sent

Integrale singolare o curva inviluppo del fascio di rette

(16)

Equazioni differenziali del 1° ordine non lineari Graficamente:

Equazioni differenziali ordinarie