La stranezza

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

La stranezza

Lezione 12

La “stranezza”

•  Esperimenti coi raggi cosmici dimostrarono anche la presenza di altre nuove particelle,

•  confermate da esperimenti agli acceleratori.

•  Vennero chiamate strane:

–  Prodotte con sezione d’urto forte

–  Decadimento con tempi tipici delle interazioni deboli

•  Si osservava che venivano sempre prodotte in coppie:

–  Un nuovo numero quantico: stranezza –  Conservato nelle interazioni forti

–  Violato nelle interazioni deboli

•  Consistente con l’introduzione di un nuovo quark: s

–  Le interazioni deboli di questo quark apriranno la strada alla

sistematizzazione delle interazioni deboli degli adroni.

Particelle strane

•  Nell’esposizione di camera a nebbia a raggi cosmici, si misero in evidenza decadimenti di nuove particelle.

–  Si poteva ricavare il momento dalla curvatura in campo magnetico –  Ma non sufficiente capacità di identificare la massa

Rochester e Butler 1947

Decadimento di una particella carica Decadimento di una

particella neutra

Esercizio

P

P

θ

•  P₊ = 340 ± 100 MeV

•  P_- = 350 ± 150 MeV

•  θ = 66.6^o

•  P_V = 600. ± 300 MeV

•  P₊ = 770. ± 100 MeV

•  θ = 161.1^o

P

P

θ

P

P

P

•  Calcolare la massa invariante delle particelle che decade assumendo che le particelle prodotte siano note:

•  cariche: p, µ, π

•  neutre: n, ν, π

•  Verificare se alcune delle combinazioni possono corrispondere a masse già note.

Particelle strane

•  La sfida successiva era costruire rivelatori in grado di identificare senza ambiguità la massa delle particelle osservate:

–  Esperimenti con camere a nebbia in alta montagna (es.: Pic du Midi)

–  Emulsioni nucleari in palloni

Camera a nebbia

•  Il momento si misura tramite il raggio di curvatura

•  β, o γβ, dalla Perdita di energia nella materia per ionizzazione: formula di Bethe-Bloch

–  K = 0.307 MeV cm²

–  z carica della particella

•  Per gli eventi che stiamo discutendo la regione importante è quella rela- tiva a velocità “basse”

p = mβ

1 −β^{2 = m}γβ

−dE

dx = Kz² Z A

1 β²

× 1

2ln2m_ec²β²γ²T_max

I − β² −δ 2

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

Emulsioni nucleari

densità dei grani

−dE

dx = Kz²Z A

1 β²[ ]...

θ

θrms =13.6 MeV βp z x

X_o

Particelle strane

•  Numerose nuove particelle

•  Le nuove particelle sono pesanti: hanno diversi decadimenti possibili

•  Mesoni:

•  Iperoni:

•  Vite medie dell’ordine di 10

-10

s:

–  Decadimenti deboli

•  Dal tasso di produzione si poteva evincere una sezione d’urto in alluminio (involucro della camera a nebbia) dell’ordine del mb

–  La produzione è un processo forte

K⁺ → π⁺π⁺π⁻ K⁺ → π⁺π⁰ K⁺ → µ⁺ν

m_K⁺ = 493.677 MeV K⁰ → π⁺π⁻ m_K0 = 497.646 MeV

Λ⁰ → pπ⁻ Σ⁺ → pπ⁰ Σ^± → nπ^± Ξ⁻ → Λ⁰π⁻

m_Λ = 1115.683 MeV mΣ⁺ = 1189.37 MeV mΣ⁻ = 1197.449 MeV mΞ⁻ = 1321.31 MeV

•  Prima di procedere nella nostra discussione sulle particelle strane analizziamo la conservazione del numero barionico

•  Il decadimento b del neutrone: n → p e

ν

–  Abbiamo un nucleone nello stato iniziale e uno nello stato finale

•  Sorge la domanda: perchè non esiste il decadimento p → e

π

•  Oppure: perchè non esiste la reazione e

p → π

p

•  La vita media del protone ( τ

> 1.6 ×10

anni ) è il risultato degli studi più recenti

•  L’esperimento consiste nel tenere una grande massa “sotto osservazione”

•  Ad esempio 1 cm

di ferro contiene ρ/A N

Z = 2.2 × 10

nuclei/cm

–  Un esperimento sensibile richiede pertanto: elevata massa (1000 ton) e basso fondo (caverne, miniere)

•  L’elevato valore di τ

suggerisce che il protone sia stabile

•  Dal momento che il neutrone decade in protone e i decadimenti degli iperoni portano sempre ad un protone si stabilisce che:

–  Gli Iperoni sono Barioni

–  Il Numero Barionico è conservato: in una reazione o decadimento il numero dei nucleoni è costante

Il numero barionico

Produzione associata

•  Nel 1953 il gruppo di Fowler a Bro- okhaven, utilizzando un fascio di π^- di 1.5 GeV dell’acceleratore Cosmotron osservò il seguente evento

•  L’evento fu interpretato come

•  L’importanza di questo evento fu la dimostrazione della produzione asso- ciata delle particelle strane

•  Nello stesso esperimento il gruppo di Fowler osservò anche il decadimento

•  L’osservazione della produzione asso- ciata porta all’ipotesi che ci sia una quantità conservata:

–  la stranezza

p π

π

π

Λ

K

π

π⁻ p → Λ⁰ K⁰

π⁺ π⁻ p π⁻

π⁻ p → Σ⁻ K⁺

n π⁻

Isospin e stranezza: iperoni

•  Per spiegare tutte le osservazioni, Gell-Mann e Nishijima proposero:

–  un numero quantico additivo: la stranezza

–  nelle interazioni forti la stranezza è conservata –  nelle interazioni deboli la stranezza non è

conservata: |ΔS|=1 nei decadimenti

•  Includendo la stranezza, la relazione per la carica deve venire modificata:

–  dove si è introdotta l’iper-carica Y=B+S

2 + S

2 + I3 = Y 2 + I3

Q B S T T

p 1 1 0

n 0 1 0

-

Λ

0 1 -1 0 0

Σ

1 1 -1 1 1

Σ

0 1 -1 1 0

Σ

-1 1 -1 1 -1

𝝣

-1 1 -2

-

𝝣

0 1 -2

Isospin e stranezza: mesoni

•  Innanzitutto consideriamo la reazione

–  Assumendo che nella interazione forte la stranezza sia conservata dobbiamo concludere che il mesone K⁰ ha S = +1

•  Per quanto riguarda l’Isospin assumiamo che esso sia conservato nella reazione di produzione

–  Deve essere semintero

–  Assumiamo che il K⁰ abbia Isospin T = ½

•  La formula per la carica applicata al K

implica che esso è il membro T

= -½ di un doppietto

–  Il membro T₃ = +½ deve avere carica +1 ed è pertanto il mesone K⁺

•  Il mesone K

è l’antiparticella del K

–  Anch’esso deve avere Isospin T = ½ –  Deve esserci anche un partner neutro: K⁰

•  Le particelle K

e K

sono distinte:

hanno stranezza differente

•  In definitiva i numeri quantici dei mesoni sono

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π⁻ p → Λ⁰ K⁰ 0 0 ^S −1 1

12

0 0

1 0 ?

p K

pπ^-− p → ΛÆ L ⁰ K⁰ 1 ¹₂ ^T 0 ¹₂ Q = B

2 + S

2 + T3 → 0 = 1 2 + T3

Q B S T T3

π⁺ 1 0 0 1 1 π⁰ 0 0 0 1 0 π^- -1 0 0 1 -1 K⁺ 1 0 1 ¹₂ ¹₂ K⁰ 0 0 1 ¹2 1

-

K⁰ 0 0 -1 ¹₂ ¹₂ K^- -1 0 -1 ¹2 1

-

Decadimenti delle particelle strane

•  Le particelle strane decadono tramite interazione debole violando la conservazione della stranezza

•  Le prime particelle strane studiate sono anche le più leggere

–  Possono decadere soltanto in particelle “normali” con S = 0

–  La violazione della stranezza proibisce che l’interazione sia forte

•  Infatti i seguenti decadimenti

–  Sarebbero permessi dalla conservazione della stranezza –  Sono proibiti dalla conservazione della energia

•  Il decadimento

•  è invece permesso sia dalla conservazione della stranezza che dalla conservazione dell’energia

–  avviene tramite interazione elettromagnetica

Λ → N K Σ → N K Ξ → Λ K

Ξ → Σ K Σ → Λ π

Σ⁰ → Λ⁰ γ

Interpretazione nel modello a quark

•  Il modello a quark si può estendere con l’aggiunta di un nuovo quark:

–  s: stranezza S=-1, B=1/3, Y=-2/3, I=I

=0 ⇒ Q = -1/3 –  massa m

~ m

-m

= 360 MeV

•  Gli adroni sono stati legati dei 3 quark u, d, s

•  Come esempio notiamo la composizione dei seguenti adroni:

•  Veniamo alla reazione π

p → Λ

K

–  I quark u e u si annichilano tramite interazione forte (gluone) e producono successivamente quarks s e s

•  Per il decadimento Λ

→ π

p

–  Il quark s si trasforma in u tramite interazione debole (emissione W^-) p = uud

( )

Λ = uds

( )

π⁻ = ud

( )

K⁰ = ds

( )

ud du u

du s ds

p

π ⁻ K ⁰

Λ ⁰

g

du du

s

du u

π ⁻ Λ ⁰

W

p

SU(3) di sapore

•  Reiteriamo l’idea che le interazioni forti sono independenti dalla carica dei quark:

–  sia elettrica

–  che di ipercarica

•  Invarianza rispetto a rotazione nello spazio di tre stati |u⟩, |d⟩, |s⟩

–  gruppo SU(3)

•  La massa delle particelle strane ≫ particelle ordinarie:

–  la simmetria è meno buona di quella di isospin

Y

T₃

12

−¹₂

13

−²₃

d u

s

Y

T₃

12

−¹₂

−¹₃

23

u d

s

Gruppi SU(N)

•  Per definizione, una matrice n×n del gruppo U(N) soddisfa la relazione

•  L’equazione precedente implica n×n rela- zioni fra gli n×n elementi di matrice

•  Pertanto dei 2×n×n parametri reali solo 2×n×n - n×n = n×n sono indipendenti

•  La richiesta poi che il determinante sia 1 (cioè appartenga al gruppo SU(N) ) riduce di un’altra unità questo numero

•  Pertanto i parametri indipendenti dei 2 gruppi più importanti per la fisica delle particelle sono

–  SU(2) 3 parametri reali –  SU(3) 8 parametri reali

•  Veniamo alle rappresentazioni:

–  Una rappresentazione è un omomorfi- smo di un gruppo con un gruppo di matrici definite su uno spazio vetto- riale di dimensione n

–  I fisici spesso chiamano rappresenta- zione i vettori dello spazio vettoriale

•  Tutti i gruppi hanno una rappresentazione banale di dimensione 1 che corrisponde all’elemento 1

•  La dimensione della rappresentazione di dimensione più piccola successiva dipende dal gruppo

–  SU(2): è realizzata su uno spazio vettoriale di dimensione 2

•  Coincide con la rappresentazione coniugata delle matrici U*

•  Una sola rappresentazione: 2 –  SU(3): è realizzata su uno spazio

vettoriale di dimensione 3

•  Non coincide con la rappresenta- zione coniugata delle matrici U*

•  Due rappresentazioni: 3 e 3 UU^† = I

La rappresentazione 3 di SU(3)

•  Le 8 matrici della rappresentazione 3 (matrici di Gell-Mann) sono:

•  La generica rotazione:

•  Le regole di commutazione:

•  Si definiscono gli operatori T

e Y

•  Comportamento sulla base

λ₁ =

0 1 0 1 0 0 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ λ₂ = 0 −i 0 i 0 0 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ λ₃ =

1 0 0 0 −1 0 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

λ₄ =

0 0 1 0 0 0 1 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ λ₅ = 0 0 −i 0 0 0

i 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ λ₆ =

0 0 0 0 0 1 0 1 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

λ₇ =

0 0 0 0 0 −i 0 i 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ λ₈ = 1 3

1 0 0 0 1 0 0 0 −2

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

Y = ¹₃λ₈ T₃ = ¹₂λ₃

u = 1 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ d = 0 1 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ s = 0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

T₃ u = ¹₂ u T₃ d = −¹₂ d T₃ s = 0 s

Y u = ¹₃ u Y d = ¹₃ d

Y s = −²₃ s

Y

T₃

12

−¹₂

13

−²₃

d u

s

U = exp i⌢ α_nλ^⌢_n

n=1 8

⎡

∑

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ λ⌢_i, ⌢

λ_j

⎡⎣ ⎤⎦ = 2if^ijk ⌢ λ_k

ijk fijk ijk fijk ijk fijk

123 1 246 ¹₂ 367 −¹₂ 147 ¹₂ 257 ¹₂ 458 ₂³ 156 −¹₂ 345 ¹₂ 678 ₂³

Operatori di SU(3)

•  Abbiamo finora visto il comportamento degli stati per gli operatori T₃ e Y

•  Definiamo per comodità gli operatori

•  Gli operatori F₁, F₂, F₃ ≡ T₃ hanno le stesse regole di commutazione dell’isospin

•  f_ijk è totalmente antisimmetrico e f₁₂₃ = 1 e coincide pertanto con ε_ijk

•  Infatti riconosciamo le matrici di Pauli

•  Definiamo pertanto gli operatori di innal- zamento e abbassamento

•  In modo analogo si definiscono gli operatori

•  Le regole di commutazione fra questi nuovi operatori sono facilmente

derivabili

•  In particolare le regole

•  permettono di calcolare il

comportamento degli operatori V_± e U_± nel piano

Y-T

•  Ad esempio U₊ applicato ad un autostato di T₃ con autovalore α produce uno stato con autovalore α - ½

•  Analogamente U₊ applicato ad un auto- stato di Y produce uno autostato con un autovalore aumentato di una unità

F_i = ¹₂λ_i

λ₁ =

0 1 0 1 0 0 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ λ₂ = 0 −i 0 i 0 0 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ λ₃ =

1 0 0 0 −1 0 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

T_± = F₁± iF₂

V_± = F₄ ± iF₅ U_± = F₆ ± iF₇ V₃ = ¹₂

(

)

(

)

F_i, F_j

[ ]

T₃,T_±

[ ]

[

]

T₃,U_±

[ ]

[

]

T₃,V_±

[ ]

[

]

= U

(

)

T₃U₊ α

=

(

)

=αU₊ α −¹₂U₊ α

La rappresentazione 3 ^* di SU(3)

•  Analogamente si può studiare la rappre-sentazione coniugata in cui generatori sono

•  Riportiamo per brevità solo gli operatori λ

e λ

•  Definiamo nuovamente

•  Studiamo infine l’effetto dei generatori diagonali sulla base

•  Abbiamo

•  Rappresentiamo sul piano Y-T

i 3 stati

λ⌢_n → −⌢ λ_n^*

−λ₃^* =

−1 0 0 0 1 0 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ −λ₈^* = 1 3

−1 0 0 0 −1 0 0 0 2

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

Y = − ¹

3λ₈^{* T}₃ = −¹₂λ₃^*

u = 1 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ d = 0 1 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ s = 0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

T₃ u = −¹₂ u T₃ d = ¹₂ d

T₃ s = 0 s

Y u = −¹₃ u Y d = −¹₃ d Y s = ²₃ s

Y

T₃

12

−¹₂

−¹₃

23

u d

s

Ottupletto mesonico

•  Nel modello a quark i mesoni sono uno stato legato di un quark e di un antiquark

•  Per i 3 “sapori” (flavors) esistono 9 possibili combinazioni q + anti-q

•  Gli stati con I₃=Y=0 sono combinazioni lineari che hanno i numeri quantici corrispondenti a stati fisici:

•  In realtà, siccome SU(3) è rotta dalla massa di s gli stati reali sono combinazioni di questi.

•  Specialmente nel caso dei mesoni vettoriali 1^--

1

3

(

)

1

6

(

)

1

2

(

)

T = 0 T₃ = 0

1

2

(

)

(

)

ss =φ

Singoletto di SU(3)

Classificazione dei barioni

•  Anche nel caso dei barioni si possono classificare gli stati possibili in termini di I

ed ipercarica: Y=(B+S)/2

•  Gli stati fondamentali corrispondono ad un ottetto ed un decupletto.

La scoperta del barione Ω ^-

•  Un significativo successo del modello a quark fu la predizione dell’esistenza di uno stato (sss):

–  B=1, I=0, S=-3, Q=-1

–  Scoperto nel 1964 in un esperimento in camera a bolle

Decadimento dei mesoni K

•  Applichiamo lo stesso approccio del decadimento β ai mesoni K:

•  Nel caso Q≫m_e, si ha che

•  Nel caso del decadimento

–  approssimazione peggiore di quella per i decadimenti super-permessi:

–  non potrei trascurare i fattori di forma f(q²) –  simmetria rotta da m_s

•  Da cui otteniamo

m_K − m_π = 497.6 −139.6 MeV

τ

L

0 = 5.116 ± 0.021

( )

BR K

(

π

ν

)

( )

Γ K (

→ π

+ e

+ ν

) ^{= G}

2

( m

− m

)

60π

λ = G_F² M_fi ²

(

)

2π³! f Z,Q

( )

m_ec²

( )

5

30

K⁰ →π⁺+ e⁻ +ν_e M_fi ≈ π^{+ V}₊ ^K0 = 1

Usando queste semplificazioni:

Molto minore di G_F.

G

= 0.13×10

GeV

Q valore

L’angolo di Cabibbo

•  Facendo un trattamento accurato dei fattori di forma nei decadimenti delle particelle strane, si ottiene:

•  Dai decadimenti β, abbiamo visto che

•  I dati sperimentali ci forniscono l’informazione che

•  che può anche venire riscritta introducendo un angolo θ

(angolo di Cabibbo):

•  Ciò permette di conservare l’universalità delle interazioni deboli assumendo che il quark che partecipa alle interazioni deboli sia:

G

/ G

= 0.2252 ± 0.0009

G

+ G

= G

u ↔ ʹ d = cos θ

d + sin θ

s

G_β/G_F G_s/G_F

G

cos

θ

+ G

sin

θ

= G

G

/ G

= 0.98563± 0.00013

Il quarto quark

•  La teoria di Cabibbo presenta una forte asimmetria tra il quark u da una parte e la combinazione lineare di d ed s dall’altra:

•  Ciò portò a supporre l’esistenza di un quarto quark, il charm (c)

–  Nuovo numero quantico, C: conservato nelle interazioni forti ed elettromagnetiche, violato nelle deboli

–  Y=B+S+C e Q(c)=+2/3

•  Probabilità di transizione nei decadimento deboli, mediata da una matrice di mescolamento:

•  Quark effettivamente scoperto nel 1974, con m

~1.6 GeV

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 12 A. Andreazza - a.a. 2015/16

25

u ↔ ʹ d = cos θ

d + sin θ

s

( u c ) _−sinθ ^cosθ

^sinθ

c

cosθ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ d

( ) s

Z

49. Plots of cross sections and related quantities ⁵

σ and R in e⁺e⁻Collisions

10

-8

10

-7

10

-6

10

-5

10

-4

10

-3

10

-2

1 10 10²

σ[mb]

ω

ρ φ

ρ^′ J/ψ

ψ(2S) Υ

Z

10

-1

1 10 10² 10³

1 10 10²

R ^ω

ρ φ

ρ^′

J/ψ ψ(2S) Υ

Z

√s [GeV]

Figure 49.5: World data on the total cross section of e⁺e⁻→ hadrons and the ratio R(s) = σ(e⁺e⁻→ hadrons, s)/σ(e⁺e⁻→ µ⁺µ⁻, s).

Risonanze cc

σ

(

)

√s [GeV]

I quark

•  I quark possono essere classificati in famiglie, come i leptoni.

•  Nel 1977 venne scoperto anche un quinto quark b (bottom or beauty)

–  Q=-1/3, m_b ~5 GeV

•  Il suo partner top (t) osservato solo nel 1995

•  Q=+2/3, m_t ~175 GeV

–  Diversamente dai leptoni, le transizioni deboli sono mediate dalla matrice di Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (CKM)

•  Matrice unitaria

•  Transizioni sempre più improbabili all’aumentare della differenza di massa.

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 12 A. Andreazza - a.a. 2015/16

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49. Plots of cross sections and related quantities ⁵

σ and R in e⁺e⁻Collisions

10

-8

10

-7

10

-6

10

-5

10

-4

10

-3

10

-2

1 10 10²

σ[mb]

ω

ρ φ

ρ^′ J/ψ

ψ(2S) Υ

Z

10

-1

1 10 10² 10³

1 10 10²

R ^ω

ρ φ

ρ^′

J/ψ ψ(2S) Υ

Z

√s [GeV]

Figure 49.5: World data on the total cross section of e⁺e⁻→ hadrons and the ratio R(s) = σ(e⁺e⁻→ hadrons, s)/σ(e⁺e⁻→ µ⁺µ⁻, s).

Risonanze bb

σ

(

)

√s [GeV]

⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

=

tb ts

td

cb cs

cd

ub us

ud

CKM

V V

V

V V

V

V V

V

V