Magnetostatica 2 9 giugno 2011 Legge di Biot-Savart Prima formula di Laplace Campo

Magnetostatica 2

9 giugno 2011

Legge di Biot-Savart

Prima formula di Laplace

Campo B di una carica in moto

Forza magnetica tra due cariche in moto Forza tra due correnti, definizione di ampere Circuitazione di B

Legge di Ampère

Legge di Biot-Savart

• Il campo B generato da un filo rettilineo molto lungo

• Ha solo componente azimutale

• k è anche espressa mediante la permeabilità magnetica del vuoto

r k i B 2 



 4



k

Ns _

  



 



2 2

10 7

C k  ^ Ns

Forza tra due correnti

• Scoperta da Ampère subito dopo l’esperienza di Oersted

• Limitiamoci al caso di fili paralleli

• Filo 1 indefinito, genera un campo

• Filo 2 risente di una forza (attrattiva o repulsiva a seconda del verso relativo delle correnti)

• Il modulo questa forza vale

• Formula che sta alla base della definizione di ampere: e` la corrente costante che produce una forza di 2 × 10^–7 newton per

metro di lunghezza tra due fili rettilinei paralleli a distanza di un metro

r B

i

2 

 

 1 2 2 1

2

i l B

F   





 

r

i l i

B l i

F

2 

 



l F i r

2 0

2



  r

l i F

2 0 2

2 

 

1 2

3

Prima formula di Laplace

• Dalla legge di Biot-Savart, Laplace propose una formula valida per un circuito di forma arbitraria

• Esercizi sulla formula di Laplace. Calcolo di B

– Attorno ad un filo indefinito – Sull’asse di una spira circolare – Sull’asse di un solenoide

r

r l

ki d B

d  

   ^{B   ki}  ^{d l } _r ^

^{r }

Campo B generato da una carica in moto

• Partiamo dalla 1° f. di Laplace, applicata ad un elemento infinitesimo di un circuito qualunque

• Riscriviamo il prodotto tra corrente ed elemento di lunghezza

• Dividiamo l’elemento di campo magnetico per il numero di elettroni

• Troviamo il vettore b generato da un singolo elettrone r3

r l

ki d B

d  

  

v endV v

dq l

dt d l dq

id    







r3

r ke v

ndV b B

d    

 

 5

Campo B generato da una carica in moto

• Carica puntiforme q in moto con velocità v

• Il modulo di B è proporzionale alla carica q, alla velocità v, al seno dell’angolo tra v e r

• È inversamente proporzionale al quadrato della distanza r

• La direzione di B è perpendicolare sia a v che a r

• Il verso è dato dalla regola della mano destra

r

r v

k q

B    



Forza magnetica tra due cariche in moto

• Si trova usando l’espressione precedente per B e la forza di Lorentz

• Analogamente per la forza sulla carica 2 dovuta alla carica 1

 

 

3 21

21 2

1 2 1 2

1 1 2

1

r

r v

q v kq B

v q

F        







 

 

3 12

12 1

2 2 1 1

2 2 1

2

r

r v

q v kq B

v q

F        







7

Circuitazione del campo B

• Esaminiamola nel caso particolare del campo generato da un filo indefinito

• Usiamo coordinate cilindriche

• Se C è una circonferenza e il filo è perpendicolare al piano del cerchio e passa per il suo centro

• Consideriamo positiva la corrente se ha lo stesso verso del versore normale al cerchio che appoggia su C

• In tal caso B ha lo stesso verso di dl e la circuitazione e` positiva

 

 



 







id r rd

rd i B

dz B rd

B dr

B l

d

B _{r z}

2 2

0

0 











 



i id

l d

B

2  











 

C



 

n i

Circuitazione del campo B

• Se si cambia il verso della corrente il 2° membro cambia segno

• Anche il primo membro cambia segno perché B assume verso opposto

• Quindi la formula trovata e` valida qualunque sia il verso della corrente,

• Se si percorre il circuito in verso

opposto a quello associato al versore normale, la circuitazione cambia segno

9

i l

d B

l d

B        



C

 

 

n i

C

Circuitazione del campo B

• Sia l’integrando che l’integrale non dipendono da r

• Se ora C è una curva arbitraria (concatenata al filo)

• E di nuovo otteniamo

 

 

 











id d

r r i

d r

B l

d B

) 2 ) (

( 2

) (

0

0 





 



C

i id

l d B

C

0 2

0

0

2  











 

 ^{ }

Circuitazione del campo B

• Se la curva C fa n giri attorno al filo la circuitazione è

• Se la curva è concatenata a più fili la circuitazione totale è la somma delle circuitazioni dei campi B relativi a ciascun filo

i n id

l d

B ⁿ

C

0 2

0

0

2  





 









C





 



























N j

j N

j

j

N j C

j C

N j

j C

i i

l d B

l d B

l d B

1 0 1

0

1 1





 

 

 

11

Circuitazione del campo B

• Sia ora C una curva arbitraria non concatenata al filo, percorsa in senso orario

• Scegliamo due punti P e Q sulla curva, suddividendola in due curve C1 e C2

• Tracciamo una curva D da P a Q di modo che (percorsa in senso orario) e (percorsa in senso antiorario) siano concatenate con il filo

• Le due circuitazioni nel membro di destra sono uguali in modulo e di segno opposto, quindi la circuitazione lungo C è nulla

 ^C  ^{ }  ^{C2  C1} 

 B , B ,

C1 C2 D

P

Q













 B, B, B,

 ^,  ^

^

^{ 0}

 B C  i  i

D C1 

D C2 

Legge di Ampère

• Questi risultati possono essere estesi a campi magnetici arbitrari e vari conduttori

• Proprietà generale del campo magnetico: legge di Ampère

• Per curve avvolte n volte l’integrale è n volte maggiore

• Per curve non concatenate la circuitazione è nulla

• È la 4° equazione dell’em, è stata in seguito completata da Maxwell

 







j

j C

i l

d B

1



 

13

Forma differenziale della legge di Ampère

• Applichiamo il teorema di Stokes alla

circuitazione del campo B e riscriviamo la corrente come il flusso della densita` di corrente:

• Data l’arbitrarieta` della superficie S, ne segue che

 

 



C S C

C S

a d B l

d B i

a d

J      

0

0





J B 



0





