Magnetostatica 2
15 ottobre 2012
Legge di Biot-Savart
Prima formula di Laplace
Campo B di una carica in moto
Forza magnetica tra due cariche in moto Forza tra due correnti, definizione di ampere Circuitazione di B
Legge di Ampère
Legge di Biot-Savart
• Il campo B generato da un filo rettilineo molto lungo
• Ha solo componente azimutale
• k è anche espressa mediante la permeabilità magnetica del vuoto
r k i B 2
4
0k
0 4 10 7 22 1.26 10 6 22 C Ns CNs
2 2
10 7
C k Ns
Forza tra due correnti
• Scoperta da Ampère subito dopo l’esperienza di Oersted
• Limitiamoci al caso di fili paralleli
• Filo 1 indefinito, genera un campo
• Filo 2 risente di una forza (attrattiva o repulsiva a seconda del verso relativo delle correnti)
• Il modulo questa forza vale
• Formula che sta alla base della definizione di ampere: e` la corrente costante che produce una forza di 2 × 10–7 newton per
metro di lunghezza tra due fili rettilinei paralleli a distanza di un metro
r B
1 0i
12
1 2 2 1
2
i l B
F
r
i l i
B l i
F
2 1 2 2 1 2 0 1 22
l F i 2 r
r
l i F
2 0 2
2
1 2
Prima formula di Laplace
• Dalla legge di Biot-Savart, Laplace propose una formula valida per un circuito di forma arbitraria
• Esercizi sulla formula di Laplace. Calcolo di B
– Attorno ad un filo indefinito – Sull’asse di una spira circolare – Sull’asse di un solenoide
r
3r l
ki d B
d
B ki d l r
3r
Campo B generato da una carica in moto
• Partiamo dalla 1° f. di Laplace, applicata ad un elemento infinitesimo di un circuito qualunque
• Riscriviamo il prodotto tra corrente ed elemento di lunghezza
• Dividiamo l’elemento di campo induzione magnetica per il numero di elettroni, troviamo cosi’ il vettore b generato da un singolo elettrone:
r3
r l
ki d B
d
v endV v
dq l
dt d l dq
id
r3
r ke v
ndV b B
d
Campo B generato da una carica in moto
• Carica puntiforme q in moto con velocità v
• Il modulo di B è proporzionale alla carica q, alla velocità v, al seno dell’angolo tra v e r
• È inversamente proporzionale al quadrato della distanza r
• La direzione di B è perpendicolare sia a v che a r
• Il verso è dato dalla regola della mano destra
r r v
q r
r v
k q
B ˆ
4
20
3
v rB
Forza magnetica tra due cariche in moto
• Si trova usando l’espressione precedente per B e la forza di Lorentz
• Analogamente per la forza sulla carica 2 dovuta alla carica 1
3 21
21 2
1 2 1 2
1 1 2
1
r
r v
q v kq B
v q
F
3 12
12 1
2 2 1 1
2 2 1
2
r
r v
q v kq B
v q
F
v1 v2
B1 B
F1(2)
F2(1) r12
Circuitazione del campo B
• Esaminiamola nel caso particolare del campo generato da un filo indefinito
• Usiamo coordinate cilindriche
• Se C è una circonferenza e il filo è perpendicolare al piano del cerchio e passa per il suo centro
• Consideriamo positiva la corrente se ha lo stesso verso del versore normale al cerchio che appoggia su C
• In tal caso B ha lo stesso verso di dl e la circuitazione e` positiva
id r rd
rd i B
dz B rd
B dr
B l
d
B r z
2 2
0
0
i id
l d
B
02 0 02
C
Cn i
Circuitazione del campo B
• Se si cambia il verso della corrente il 2° membro cambia segno
• Anche il primo membro cambia segno perché B assume verso opposto
• Quindi la formula trovata e` valida qualunque sia il verso della corrente,
• Se si percorre il circuito in verso
opposto a quello associato al versore normale, la circuitazione cambia segno
i l
d B
l d
B
0
CC
n i
C
Circuitazione del campo B
• Sia l’integrando che l’integrale non dipendono da r
• Se ora C è una curva arbitraria (concatenata al filo)
• E di nuovo otteniamo
id d
r r i
d r
B l
d B
) 2 ) (
( 2
) (
0
0
C
i id
l d B
C
0 2
0
0
2
Circuitazione del campo B
• Se la curva C fa n giri attorno al filo la circuitazione è
• Se la curva è concatenata a più fili la circuitazione totale è la somma delle circuitazioni dei campi B relativi a ciascun filo
i n id
l d
B n
C
0 2
0
0
2
C
N j N
j
N j C
j C
N j
j C
i i
l d B
l d B
l d B
0 0
1 1
11
Circuitazione del campo B
• Sia ora C una curva arbitraria non concatenata al filo, percorsa in senso orario
• Scegliamo due punti P e Q sulla curva, suddividendola in due curve C1 e C2
• Tracciamo una curva D da P a Q di modo che (percorsa in senso orario) e (percorsa in senso antiorario) siano concatenate con il filo
• Le due circuitazioni nel membro di destra sono uguali in modulo e di segno opposto, quindi la circuitazione lungo C è nulla
C C2 C1
B , B ,
C1 C2 D
P
Q
C2 C1
C1 D
C2 D
B, B, B,
,
0
0 0
B C i i
D C1
D C2
Legge di Ampère
• Questi risultati possono essere estesi a campi magnetici arbitrari e vari conduttori
• Proprietà generale del campo induzione magnetica:
legge di Ampère
• Per curve avvolte n volte l’integrale è n volte maggiore
• Per curve non concatenate la circuitazione è nulla
• È la 4° equazione dell’em, è stata in seguito completata da Maxwell
Nj
j C
i l
d B
1
0
Forma differenziale della legge di Ampère
• Applichiamo il teorema di Stokes alla
circuitazione del campo B e riscriviamo la corrente come il flusso della densita` di corrente:
• Data l’arbitrarieta` della superficie S, ne segue che
C S C
C S
a d B l
d B i
a d
J
0
0
J B
0