(1)Formulario Regole di derivazione: D(f (x

Formulario Regole di derivazione:

D(f (x) + g(x)) = D(f (x)) + D(g(x)) D(k · f (x)) = k · D(f (x))

D(f (x)g(x)) = D(f (x))g(x) + f (x)D(g(x)) D f (x)

g(x)



= D(f (x))g(x) − f (x)D(g(x)) g(x)²

D(k) = 0, D(k · f (x)) = k · D(f (x)) D(f (g(x)) = f⁰(g(x)) · g⁰(x)

D(x^α) = αx^α−1

D(sin(x)) = cos(x), D(cos(x)) = − sin(x)

D(tan(x)) = 1

cos²(x) = 1 + tan²(x) D(e^x) = e^x, D(log(x)) = 1

x (base e) D(√

x) = 1

2√ x D(arcsin (x)) = 1

√1 − x², D(arccos (x)) = −1

√1 − x²

D(arctan (x)) = 1 1 + x²

Regole di integrazione:

Z

(f (x) + g(x)) dx = Z

f (x) dx + Z

g(x) dx, Z

a · f (x) dx = a · Z

f (x) dx, Z

xⁿdx = 1

n + 1xⁿ⁺¹+ C, Z

sin(x) dx = − cos(x) + C, Z

cos(x) dx = sin(x) + C,

Z 1

cos²(x)dx = tan(x) + C,

Z 1

xdx = log(|x|) + C, Z

e^xdx = e^x+ C, Z

log(x) dx = xlog(x) − x + C, Z

x^adx = 1

a + 1x^a+1+ C, a 6= −1,

Z √

x dx = 2 3x√

x + C,

Z 1

√1 − x²dx = arcsin(x) + C,

Z 1

1 + x²dx = arctan(x) + C,

1

Z f⁰(x)

f (x) dx = log(|f (x)|) + C, Z

f (x)ⁿ· f⁰(x) dx = 1

n + 1f (x)ⁿ⁺¹+ C Z

e^{f (x)}f⁰(x) dx = e^{f (x)}+ C,

Formula di integrazione per parti:

Z

f⁰(x) · g(x) dx = f (x) · g(x) − Z

f (x) · g⁰(x) dx

Z

f (g(x)) · g⁰(x) dx = F (g(x)) + c (dove F (x) `e una primitiva di f (x)).

Metodo di sostituzione (quando funziona):

Si pone x = g(t) (con g(t) derivabile, invertibile) e dx = g⁰(t) dt, allora

Z

f (x) dx = Z

f (g(t))g⁰(t) dt

Integrali definiti:

Z b a

f (x) dx = F (b) − F (a) (dove F (x) `e una primitiva di f (x))

Regole per lo studio di una funzione

Per lo studio di una funzione, `e bene cercare risposta ai seguenti punti (non

`e sempre possibile trovare tutte le risposte):

• Dove `e definita la funzione (detto anche insieme di definizione o campo di esitenza). Regole utili:

– un denominatore non pu`o mai essere 0;

– se un’espressione `e dentro l’operatore di radice quadrata (o una radice ad indice pari), l’espressione stessa deve essere ≥ 0;

– se un’espressione `e dentro l’operatore di log, l’espressione deve esse- re > 0.

• Dove la funzione `e positiva e dove `e negativa (se fattibile);

• Eventuali punti notevoli;

• dove la funzione `e crescente, dove `e decrescente, eventuali punti di massimo e minimo relativo e assoluto. Regole utili:

– Se in un intervallo la derivata della funzione `e ≥ 0, (≤ 0), in quell’in- tervallo la funzione `e crescente (risp. decrescente).

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– Se c’`e un punto x0tale che in esso la derivata si annulla, mentre alla sua sinistra la derivata `e ≤ 0 e alla sua destra la sua derivata `e ≥ 0, allora il punto `e di minimo relativo;

– Se c’`e un punto x0tale che in esso la derivata si annulla, mentre alla sua sinistra la derivata `e ≥ 0 e alla sua destra la sua derivata `e ≤ 0, allora il punto `e di massimo relativo;

– Un altro modo per trovare i punti di minimo e massimo relativo `e il seguente: se in x<sub>0</sub> la derivata della funzione si annulla, mentre la derivata seconda (sempre in x<sub>0</sub>) `e positiva, allora il punto `e di minimo relativo; se invece la derivata seconda `e nagativa, il punto `e di massimo relativo.

• Concavit`a e convessit`a della funzione. Punti di flesso. Regole utili:

– Se in un intervallo la derivata seconda della funzione `e ≥ 0, allora in quell’intervallo la funzione ha la concavit`a rivolta verso l’alto: , se la derivata seconda `e ≤ 0, allora la funzione ha la concavit`a rivolta verso il basso: . Non sempre `e facile determinare il segno della derivata seconda;

– Se in x₀ la derivata seconda si annulla, mentre alla sua sinistra la derivata seconda `e positiva e alla sua destra `e negativa (o viceversa), x₀ `e un punto di flesso.

• Eventuali asintoti orizzontali, verticali e obliqui. Regole utili:

– Solitamente gli asintoti verticali vanno ricercati nei punti in cui si annullano dei denominatori. Se x0`e un punto in cui un denominatore della funzione si annulla, va studiato il lim_x→x−

0 e il lim_x→x+ 0 della funzione. Se uno dei due (o entrambi) sono infiniti, la retta x = x0`e un asintoto verticale;

– un altro caso di asintoti verticali si pu`o avere per quei valori x₀ per cui l’argomento di un logaritmo tende a zero (da destra);

– gli asintoti orizzontali ci sono se il lim_x→+∞ o il lim_x→−∞ della funzione `e finito;

– gli asintoti obliqui vanno cercati calcolando:

m = lim

x→+∞f (x)/x e, se esiste m, q = lim

x→+∞f (x) − mx se sia m, sia q esistono e sono numeri finiti, la retta y = mx + q `e un asintoto obliquo (stesso discorso per lim_x→−∞).

– Se si sono trovati assintoti orizzontali, non ci possono essere asintoti obliqui.

• Tutti i dati trovati devono essere coerenti.

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