FORMULE DI RIDUZIONE PER INTEGRALI DOPPI E TRIPLI SU RETTANGOLI. INTEGRAZIONE SU SOTTOINSIEMI LIMITATI

(1)

FORMULE DI RIDUZIONE

PER INTEGRALI DOPPI E TRIPLI SU RETTANGOLI.

INTEGRAZIONE SU

SOTTOINSIEMI

(2)

Argomenti della lezione Argomenti della lezione

 Formule di riduzione Formule di riduzione per integrali doppi e

per integrali doppi e tripli

tripli

 Integrazione su Integrazione su insiemi limitati di R insiemi limitati di R^m^m

(3)

FORMULE FORMULE

DI RIDUZIONE DI RIDUZIONE PER INTEGRALI PER INTEGRALI

DOPPI E TRIPLI

(4)

Abbiamo introdotto la nozione di Abbiamo introdotto la nozione di

integrale doppio e triplo e abbiamo integrale doppio e triplo e abbiamo

dato condizioni sotto le quali un dato condizioni sotto le quali un

siffatto integrale esiste.

Tuttavia non abbiamo dato alcun Tuttavia non abbiamo dato alcun

modo effettivo per calcolare modo effettivo per calcolare

tali integrali multipli tali integrali multipli

(5)

Vogliamo ora occuparci di questo Vogliamo ora occuparci di questo

problema, cominciando con gli problema, cominciando con gli

integrali estesi a rettangoli.

Precisamente, ridurremo il calcolo Precisamente, ridurremo il calcolo

di un integrale doppio al calcolo di di un integrale doppio al calcolo di

due integrali semplici iterati due integrali semplici iterati

(6)

Teorema

(di riduzione per integrali doppi

) Se f : I  R² R è integrabile sul rettangolo I = [a,b]I = [a,b][c,d] [c,d] inin R R²²

è integrabile rispetto a y su [c,d] [c,d]

e se per ogni x  [a,b] f(x,y) [a,b] f(x,y)

(7)

allora è integrabile su

[a,b] [a,b]

la

funzione della sola x

g(x)  f(x,y)dy

^d_c



e si ha

(8)

Infatti, sia

 una decomposizione una decomposizione di di II individuata dai punti di individuata dai punti di

suddivisione

suddivisione a = xa = x₀₀ < x < x₁₁ < … < x < … < x_p_p

= b = b ee c = y c = y₀₀ < y < y₁₁ < … < y < … < y_q_q = d = d..

Se (x,y)

 I I_ij_ij

, allora

mm_ij_ij≤ f(x,y) ≤ M≤ f(x,y) ≤ M_ij_ij

Integrando su

[y[y_j-1_j-1,y,y_j_j] ]

si trova

(9)

m ij(yj  y^{j 1})  f (x, y)dy  M^ij(yj  y^{j 1})

y_{j 1} y_j



Sommando su j = 1, .. , q

m_ij(y_j 

j 1 q

 ^y^{j 1})  f (x,y)dy 

c

d ^M_ij^(y_j _

j 1 q

 ^y^{j 1}⁾

m_ij(y _j 

 y _{j 1})  mⁱ^g  Mi

g  _j M_ij (y_j ^y _{j 1}⁾

Allora g(x) è limitata su

[x[x_i-1_i-1,x,x_i_i]]

(10)

Moltiplicando per (

xx_i_i

-

xx_i-1_i-1

) e sommando su i = 1, .. , p

s(f , )  s(g,^x )  S(g,^x )  S(f ,⁾

Poiché, per ipotesi, le classi delle somme “esterne” sono

contigue, lo sono quelle relative alla g(x). Quest’ultima è

integrabile e l’integrale di g(x)

su [a,b] uguaglia l’integrale

(11)

doppio su I, per l’unicità dell’

elemento di separazione fra coppie di classi contigue.

Dunque abbiamo dimostrato

d b b

f (x, y)dxdy  g(x)dx  ( f (x,y)dy)dx

c



a



a



I



(12)

Se ricorrono le opportune

ipotesi, si possono scambiare i ruoli di x e y

f (x, y)dxdy  ( f (x,y)dx)dy

a b



c d





I

(13)

Esempi e controesempi

1. Calcolare

x sen(xy)dxdy



I

dove

I = [0,1]I = [0,1][0,π/2] [0,π/2]

(14)

2. La validità del teorema dipende 2. La validità del teorema dipende naturalmente dal verificarsi delle naturalmente dal verificarsi delle

ipotesi. Si consideri la seguente ipotesi. Si consideri la seguente

funzione funzione

f(x,y) = f(x,y) =

0 se x  Q 1 se x  Q

 

 

su su I =I = [0,1][0,1][0,1]. [0,1]. Per ogni x esistePer ogni x esiste

₀₀¹¹f(x,y)dyf(x,y)dy, ma , ma f(x,y)f(x,y) non è non è integrabile su

integrabile su II..

(15)

In maniera analoga si dimostrano In maniera analoga si dimostrano

le formule di riduzione su rettangoli le formule di riduzione su rettangoli di di RR³³. Ne abbiamo di due tipi. Ne abbiamo di due tipi

(16)

Formula di

Formula di riduzione per corderiduzione per corde in in RR³³ SiaSia f(x,y,z) f(x,y,z) una funzione integrabileuna funzione integrabile su su I = [a,b]I = [a,b][c,d][c,d][e,f][e,f]. Se per ogni. Se per ogni

(x,y)

(x,y)  II_z_z = [a,b] = [a,b][c,d][c,d],, f(x,y,z) f(x,y,z) èè integrabile su

integrabile su [e,f][e,f], allora, allora h(x,y) =

h(x,y) = _e_e^f^ff(x,y,z) dzf(x,y,z) dz è integrabile su

è integrabile su II_z_z = [a,b] = [a,b][c,d][c,d],, e vale

e vale

f (x, y, z)dxdydz  h(x, y)dxdy

I

I

(17)

Ci sono analoghi enunciati facendo Ci sono analoghi enunciati facendo

rotare le variabili x e y al posto di z rotare le variabili x e y al posto di z

 



xx

yy

II

(18)

Abbiamo poi Abbiamo poi

Formula di

Formula di riduzione per sezioniriduzione per sezioni in in RR³³

SiaSia f(x,y,z) f(x,y,z) una funzione integrabileuna funzione integrabile su su I = [a,b]I = [a,b][c,d][c,d][e,f][e,f]. Se per ogni. Se per ogni zz  II_xy_xy = [e,f] = [e,f],, f(x,y,z) f(x,y,z) è integrabile è integrabile su su II_z_z = [a,b] = [a,b][c,d][c,d],, alloraallora

g(z)  f (x, y, z)dxdy

I_z



è integrabile su

è integrabile su [e,f][e,f] e vale e vale

(19)

f(x,y,z)dxdydz  g(z)dz

_e^f





I



zz

ee ff

ee

II_z_z

(20)

Ci sono analoghi enunciati facendo Ci sono analoghi enunciati facendo

rotare le variabili x e y al posto di z rotare le variabili x e y al posto di z

Esempio. Si calcoli su Esempio. Si calcoli su

I = [a,b]

I = [a,b][c,d][c,d][e,f][e,f], l’integrale, l’integrale

(x

_I



²

 ^y

²

_{ z}

²

^)dxdydz

==V/3V/3  (a (a²² + ab + b + ab + b²² + c + c²² +cd +d +cd +d²² + + ee²² + ef + f + ef + f²²))

(21)

INTEGRAZIONE INTEGRAZIONE

SU INSIEMI

LIMITATI DI R

^m^m

(22)

I domini d’integrazione per gli I domini d’integrazione per gli

integrali multipli sono, in generale, integrali multipli sono, in generale,

più complessi dei rettangoli.

Tuttavia, la teoria dell’integrazione Tuttavia, la teoria dell’integrazione

sui rettangoli, si rivelerà utile per sui rettangoli, si rivelerà utile per

estendere i nostri procedimenti a estendere i nostri procedimenti a

situazioni più complesse.

(23)

Sia data una funzione Sia data una funzione

f : E  (I ) R² R su un insieme su un insieme limitato

limitato EE. Essendo limitato . Essendo limitato EE è è contenuto in un rettangolo

contenuto in un rettangolo II di R di ² Si consideri allora una funzione ausiliaria

f (x, y)  f (x, y) se (x, y) E se (x, y)  I\E

 

 

(24)

Proponiamo dunque la seguente Proponiamo dunque la seguente

definizione definizione

Diremo che

Diremo che f(x,y)f(x,y) è è integrabile su Eintegrabile su E se se f(x,y)f(x,y) è è integrabile su Iintegrabile su I

Osserviamo che se

Osserviamo che se f(x,y)f(x,y) è continua è continua su su EE, gli eventuali , gli eventuali punti di punti di

discontinuità

discontinuità di di ff sono contenuti sono contenuti nella

nella frontierafrontiera di di EE: : ∂E∂E

(25)

ff Dunque se

Dunque se f(x,y)f(x,y) è continua e è continua e ∂E ∂E èè trascurabile, allora

trascurabile, allora è integrabile è integrabile su su II e quindi e quindi ff lo è su lo è su EE

Porremo, per definizione Porremo, per definizione

f (x, y)dxdy  f (x, y) dxdy

I



E



Ovviamente, una definizione analoga Ovviamente, una definizione analoga

(26)

Prendendo lo spunto da questa Prendendo lo spunto da questa

definizione, possiamo proporre definizione, possiamo proporre

la seguente definizione di

la seguente definizione di misura dimisura di un insieme limitato

un insieme limitato EE di R di ^m ( (areaarea o o volume

volume per per m = 2, 3m = 2, 3)) Diremo misura di

Diremo misura di EE

m(E)  1 dm

_E



(27)

Sa quanto abbiamo detto, è chiaro Sa quanto abbiamo detto, è chiaro

che se

che se ∂E ∂E è trascurabile, allora è trascurabile, allora EE (limitato) è misurabile.

(limitato) è misurabile.

La nozione di misura qui introdotta La nozione di misura qui introdotta

si dice

si dice misura elementaremisura elementare o di o di Peano-Jordan

Peano-Jordan

Si può dimostrare che l’essere

Si può dimostrare che l’essere ∂E ∂E trascurabile è condizione non solo trascurabile è condizione non solo

(28)

Infine si può notare che i segmenti Infine si può notare che i segmenti

paralleli agli assi in

paralleli agli assi in R², i piani , i piani paralleli ai piani coordinati in

paralleli ai piani coordinati in R³ e i e i grafici di funzioni continue in

grafici di funzioni continue in R² e in e in R³ sono tutti insiemi trascurabili. sono tutti insiemi trascurabili.

Inoltre l’unione finita di insiemi Inoltre l’unione finita di insiemi

trascurabili è trascurabile.

Dunque le frontiere dei domini che Dunque le frontiere dei domini che

usualmente considereremo saranno usualmente considereremo saranno

trascurabili e i domini misurabili trascurabili e i domini misurabili

(29)

Ciò detto, torniamo alle formule di Ciò detto, torniamo alle formule di

riduzione su certi domini che diremo riduzione su certi domini che diremo

normali rispetto agli assi normali rispetto agli assi

E  R²si dice si dice normale rispetto normale rispetto all’asse

all’asse xx se esistono due funzioni se esistono due funzioni continue

continue h(x)h(x) e e k(x)k(x) , tali che , tali che

E  {(x,y) : a  x  b,h(x)  y  k(x)}

(30)

E  {(x, y) : c  y  d,u(y)  x  v(y)}

Si dice

Si dice normale rispetto all’assenormale rispetto all’asse yy;; u(y)

u(y) ee v(y) v(y) sono funzioni continuesono funzioni continue susu [c,d] [c,d]

Analogamente si definiranno i Analogamente si definiranno i

domini normali rispetto ai piani domini normali rispetto ai piani xx yy, , y z y z , , z xz x in R in ³

(31)

Domini normali in

Domini normali in R² e R e ³

h(x) k(x)

a b x

y

(32)

0 6

4

2

0

-2

-4

-6

y

0

2 1.5

1 0.5

0

x 0

2 1.5

1 0.5

0

(33)

Supponiamo che

Supponiamo che f(x,y)f(x,y) sia una sia una

funzione continua su un dominio funzione continua su un dominio EE, normale rispetto all’asse , normale rispetto all’asse xx. .

Allora esiste l’integrale doppio su Allora esiste l’integrale doppio su

nn rettangolo

nn rettangolo I I  EE (perché (perché ff è è discontinua

discontinua su su insieme trascurabileinsieme trascurabile););

per ogni

per ogni xx esiste l’integrale su esiste l’integrale su [c,d][c,d]

di di f(x,y)f(x,y) (perché, assegnato (perché, assegnato xx, , f(x,y)f(x,y) come funzione di

come funzione di yy è è discontinuadiscontinua al al più in

più in h(x)h(x) e e k(x)k(x)). Perciò l’integrale). Perciò l’integrale

(34)

f (x, y)dxdy  ( f (x,y)dy)

h( x) k( x) a 

b

E  ^dx

f (x, y, z)dxdydz

E

 _

 ( f (x, y, z)dz

h(x ,y) k ( x ,y)

E_xy

  ^)dxdy

Per gli integrali tripli Per gli integrali tripli

(35)

Esempi Esempi

Area ellisse;

Volume cono (

Volume cono (per sezioniper sezioni););

Volume ellissoide (

Volume ellissoide (per sezioni?per sezioni?););

Ahi!, ahi!

Ahi!, ahi!....

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