Integrali doppiFormula di riduzione per rettangoli

Integrali doppi

Formula di riduzione per rettangoli

A=[a , b]⋅[c , d ]

∫∫

A

f  x , y  dx dy = ∫

a b

dx ∫

c d

f  x , y dy oppure ∫

c d

dy ∫

a b

f  x , y  dx

1. Per prima cosa si calcola l'integrale definito tra c e d della funzione in y. Bisogna considerare la x come una costante per procedere con i calcoli. Quando è possibile, la cosa migliore è quella di portare fuori le x!

2. Trovata la soluzione del primo integrale, se è tutto giusto i termini con la y dovrebbero essere spariti! A questo punto bisogna integrare il risultato rispetto ad x per ottenere il risultato finale

Esempio 1:

A = [0,1]⋅[0, 2]

∫∫

A

x  2 y dx dy = ∫

0 1

dx ∫

0 2

x  2 y dx dy

= ∫

0 1

dx [ x y  y

]

y=2

= ∫

0 1

2 x  4 dx = [ x

 4 x ]

x=1

= 1  4 = 5

Insieme normale rispetto all' asse x

Si sa che i valori di x variano tra due estremi precisi, mentre i valori di y variano tra i grafici di due funzioni di x.

Il problema principale è quello di scrivere correttamente l'insieme di definizione nella forma normale:

A= {  x , y ∈ ℝ

: x ∈ [a , b] ;  x  ≤ y ≤  x }

Trovato l'insieme di definizione, si utilizza la forma di riduzione vista per i rettangoli, integrando prima rispetto ad y e poi rispetto ad x. Al posto degli estremi c e d bisogna porre φ(x) e ψ(x).

Esempio 2:

A = triangolo con vertici in (0, 0) , (1, 0) , (1, 1) f(x, y) = xy

1. Disegnare l'insieme di definizione:

2. Scrivere l'insieme di definizione in forma normale:

A= {  x , y ∈ ℝ

: x ∈ [0,1] ; 0 ≤ y ≤ x }

3. Scrittura e soluzione dell'integrale doppio:

∫∫

A

x y dx dy = ∫

0 1

dx ∫

0 x

x y dy = ∫

0 1

x

2 dx = 1 2 ∫

0 1

x

dx = 1 2 ⋅ 1

4 = 1 8

A

0 1

1

Insieme normale rispetto all'asse y

Si sa che i valori di y variano tra due estremi precisi, mentre i valori di x variano tra i grafici di due funzioni di y.

Il problema principale è quello di scrivere correttamente l'insieme di definizione nella forma normale:

A= {  x , y ∈ ℝ

: y ∈ [a , b];  y  ≤ x ≤  y  }

Trovato l'insieme di definizione, si utilizza la forma di riduzione vista per i rettangoli con integrazione, integrando prima rispetto ad x e poi rispetto ad y. Al posto degli estremi a e b bisogna porre φ(y) e ψ(y).

Esempio 3:

A = triangolo con vertici in (0, 0) , (1, 0) , (1, 1) f(x, y) = xy

1. Disegnare l'insieme di definizione:

2. Scrivere l'insieme di definizione in forma normale:

A= {  x , y ∈ ℝ

: y ∈ [0,1] ; y ≤ x ≤ 1 }

3. Scrittura e soluzione dell'integrale doppio:

∫∫

A

x y dx dy = ∫

0 1

dy ∫

y 1

x y dx = ∫

0 1

y dy [ ^{x 2}

]

= ∫

0 1

y  ¹ 2 − 1

2 y

 ^{dy = 1} 2 ∫

0 1

y − y

dy

= 1

2 [ ^{1 2 y}

^{− 1 4 y}

]

= 1

2  ¹ 2 − 1

4  ^{= 1} 2 ⋅ 1 4 = 1

8

Esempio 4:

Calcolare:

∫∫

A

y dx dy

1. Trovare le funzioni corrispondenti a ciascuna retta 2. Suddividere l'area del triangolo principale in due

aree A1 ed A2

3. Scrivere l'insieme di definizione rispetto ad x delle due aree:

A

= { ^ x , y  ∈ ℝ

: x ∈ [0, 1] ; x

2 ≤ y ≤ x }

A

= { ^{ x , y ∈ ℝ}

: x ∈ [1, 2] ; x

2 ≤ y ≤ 1 }

4. Trovare l'area calcolando i due integrali doppi:

A

0 1

1

1

1 2

A1 A2 y=1

y=x/2 y=x

Integrali doppi in coordinate polari

Dato un generico integrale doppio con il suo insieme di definizione A:

A= {  x , y ∈ ℝ

: x... ; y... } ∫∫

A

f  x , y  dx dy

Per passare in coordinate polari è necessario esprimente l'insieme di definizione A in coordinate polari e riscrivere l'integrale doppio in coordinate polari:

{ ^{x =  cos} y =  sin 

f  x , y   f  cos  , sin 

A = {  ∈ [ a , b] ;  ∈ [c , d ] }

∫∫

f  cos  , sin ⋅ d  d 

Esempio 5:

Calcolare:

∫∫

A

x dx dy

1.

A = { ^{ ∈  ∈ [ [ 0, 0, 2]  2 ]}

2.

f  x , y  = x  f  ,  =  cos 

3.

∫

0 2

d  ∫

0

 2



cos  = ∫

0 2



d  [ sin  ]

=

2

= [ ^ 3

]

=2

= 8 3 Esempio 6:

Calcolare:

∫∫

A

x

 y

dx dy

1.

A = { ^{ ∈ [0, 3]}  ∈ [0, 2 ]

2.

f  x , y   f   ,  = 

cos

 

sin

 = 

cos

  sin

 = 

3.

∫

0 3

d  ∫

0 2 



d  = ∫

0 3



d []

= 2  [ ^{ 4}

]

=3

= 2  81

4 = 81 2 

3

1

Integrali doppi con cambio di variabili

In alcuni casi ricavare l'insieme di definizione degli integrali doppi, normale rispetto ad uno degli assi non è semplice e non sempre è utile passare alle coordinate polari. In questi casi il cambio di variabili è il metodo migliore.

Vediamo come fare tramite un esempio:

Esempio 7:

Calcolare l'integrale doppio:

A= {  x , y ∈ ℝ

: 0 ≤ x  y ≤ 2, − 1 ≤ x − y ≤ 1 }

∫∫

A

 x

− y

 dx dy

1. Effettuare il cambio di variabili:

{ ^{u = x  y} v = x − y

2. Riscrivere l'insieme di definizione:

A = {  x , y  ∈ ℝ

: u ∈ [0,2] ; v ∈ [−1,1]

3. Semplificare la f(x, y):

 x

− y

 =  x  y  x − y  = u v

4. Riscrivere il doppio integrale:

∫

0 2

du ∫

−1 1

u v J u , v  dv

Per ricavare J(u, v) bisogna procedere come segue:

1. Ricavare x ed y in funzione di u e w:

x = u , v y = u , v 

{ ^{u = x  y} v = x − y  { ^{x = y = u  v u − v 2 2}

2. Calcolare la matrice Jacobiana:

J =  ^{∂  ∂ ∂ ∂ u u ∂  ∂ ∂ ∂ v v}  ^  ^{1 2 1 2 − 1 2 1 2} 

3. Calcolare il determinante della matrice Jacobiana:

 J

⋅ J

 −  J

⋅ J



Nell' еsempio:

 ¹ 2 ⋅− 1

2  ⁻  ¹ 2 ⋅ 1

2  ^{= − 1} 4 − 1

4 = − 1 2

4.

J u , v  = ∣det  J ∣

Nell'esempio:

J u , v  = ∣ ^{− 1} ∣ ^{= 1}

Integrali tripli

Formula di riduzione per parallelepipedi

A = [a , b ]⋅[c , d ]⋅[e , f ]

∫∫∫

A

f  x , y , z dx dy dz = ∫

a b

dx ∫

c d

dy ∫

e f

f  x , y , z dz

L'ordine di integrazione non ha importanza. Si può infatti integrare seguendo un ordine a scelta.

Formula di integrazione per colonne o fili ( Insieme normale rispetto al piano xy )

A = {  x , y , z  ∈ ℝ

:  x , y ∈  ,  x , y  ≤ z ≤  x , y  }

A cui corrisponde l'integrale triplo riducibile nella forma:

∫∫



dx dy ∫

x , y

x , y

f  x , y , z dz

Esempio 1

 = {  x , y ∈ ℝ

: x

 y

≤ 1 }

A = {  x , y , z  ∈ ℝ

:  x , y ∈  , 0 ≤ z ≤ 2 }

∫∫∫

A

z dx dy dz = ∫∫



dx dy ∫

0 2

z dz = ∫∫



dx dy [ ^{z 2}

]

= 2 ∫∫



dx dy

Passo in coordinate polari per risolvere l'integrale doppio in dx dy:

 ∈ [0,1] ,  ∈ [0, 2 ] f  x , y  = 1 ⋅ = 

∫

0 1

d  ∫

0 2 

 d  = 2 ∫

0 1

 d  = 2  [ ^ 2

]

=1

= 2⋅ 1 2 = 

Trovo la soluzione finale:

2 ∫∫



dx dy = 2 

2 1

x y

z

Formula di integrazione per sezioni o fette

A = { x , y , z ∈ ℝ

:  x , y  ∈  ,  x , y ≤ z ≤  x , y  }

A cui corrisponde l'integrale triplo riducibile nella forma:

∫

 x , y

x , y

dz ∫∫



f  x , y , z dx dy

Esempio 1 bis

 = {  x , y ∈ ℝ

: x

 y

≤ 1 }

A = {  x , y , z  ∈ ℝ

:  x , y ∈  , 0 ≤ z ≤ 2 }

∫∫∫

A

z dx dy dz = ∫

0 2

dz ∫∫



z dx dy = ∫

0 2

z dz ∫∫



dx dy

Passo in coordinate polari per risolvere l'integrale doppio in dx dy:

 ∈ [0,1] ,  ∈ [0, 2 ] f  x , y , z  = 1⋅  = 

∫

0 1

d  ∫

0 2 

 d  = 2 ∫

0 1

 d  = 2  [ ^ 2

]

=1

= 2⋅ 1 2 = 

Trovo la soluzione finale:

 ∫

0 2

z dz =  [ ^{z 2}

]

= 2 

Integrali doppi e tripli: applicazioni alla Fisica

Avendo una lamina o un solido ristretto in un dominio A e δ, funzione di densità della lamina o del solido in funzione delle coordinate, è possibile calcolare:

Lamina (2D) Solido (3D)

Massa (m)

∫∫

A

x , ydx dy m =

∫∫∫

A

 x , y , zdx dy dz

Coordinate del baricentro

(x, y) per la lamina

(x, y, z) per il solido x = 1

m

∫∫

A

x x , ydx dy

y = 1 m

∫∫

A

y  x , ydx dy

x = 1

m

∫∫∫

A

x  x , y , z dx dy dz

y = 1

m

∫∫∫

A

y x , y , zdx dy dz

z = 1

m

∫∫∫

A

z  x , y , zdx dy dz

Momento d'inerzia (I)

d² è la distanza dell'elemento I = 1

m

∫∫

∫∫∫

1

x y

z