Giorgio Giacomelli Maurizio Spurio
Particelle e Interazioni Fondamentali
– Problemi e soluzioni di problemi scelti –
Ottobre 2009
Springer
Avvertenza
In questo documento troverete proposti una serie di esercizi e problemi sui temi trattati nel libro, seguendo la suddivisione dei capitoli. Alcuni dei problemi sono semplici, altri estremamente complessi: si raccomanda comun- que di affrontarli in seconda lettura del libro. Dei circa cento quesiti proposti, oltre un terzo sono risolti, ed altri presentano la risposta.
Intendiamo aumentare sia il numero dei problemi proposti, che il numero delle risoluzioni. Per questo motivo, abbiamo scelto di non includere questa sezione nella versione a stampa del libro, ma di lasciarla a disposizione on-line.
Intendiamo ringraziare esplicitamente negli aggiornamenti chiunque (par- ticolarmente tra gli studenti delle lauree magistrali o di dottorato) voglia inviarci un nuovo problema, o la soluzione di un esercizio non risolto o risolto in modo differente da quanto proposto.
Gli autori Bologna, Ottobre 2009
http://www.springer.com/physics/elementary/book/978-88-470-1160-1
2. Rivelazione e rivelatori di particele
2.1 Ordini di grandezza. `E importante acquistare familiarit`a con gli ordini di grandezza tipici dei sistemi submicroscopici. Le molecole hanno di- mensioni di qualche 10−8 cm. Il protone e il neutrone hanno dimensioni dell’ordine di 10−13 cm. Le dimensioni dei quark sono inferiori a un cen- tesimo delle dimensioni del protone. Quindi si pu`o pensare che anche un protone sia un sistema vuoto (ma `e da ricordare che anche il vuoto `e un sistema complesso).
a) Se potessimo prendere le molecole H2O di un centimetro cubo di acqua e potessimo metterle in fila indiana, otterremmo un filo sottilissimo avente quale lunghezza?
b) Gli atomi hanno dimensioni dell’ordine di 10−8 cm; un atomo `e un sistema sostanzialmente vuoto: se per l’atomo di idrogeno immaginiamo che il protone abbia le dimensioni di 1 mm, l’elettrone si troverebbe a quale distanza?
[R. a) 20 volte la distanza terra–sole. b) circa 100 m]
2.2 Nell’interazione di particelle (o nuclei) con la materia, il numero di col- lisioni dipende anche dal numero di centri diffusori presenti nell’unit`a di volume. Spesso, i centri diffusori sono nuclei atomici. Consideriamo ad esempio il caso del carbonio, che ha numero di massa A = 12 e densit`a (massa specifica) ρ ≃ 2.265 g cm−3. Determinare (a) il numero di atomi per cm3; (b) il numero di atomi per grammo.
[Vedi soluzioni]
2.3 Nel sistema di unit`a naturali con ~ = c = 1 ricavare l’equazione dimensionale fra massa e lunghezza e fra massa e tempo.
[R. [M ] = [L−1] = [T−1], vedi Appendice A2 ].
2.4 Calcolare la massima energia νmax trasferita a un elettrone inizialmente fermo da una particella carica con massa M ed energia totale E:
(a) nel caso non relativistico (T ≪ Mc2);
(b) nel caso relativistico con M ≫ me; (c) nel caso generale.
[R. c) νmax=M2m2c4e+mc2(E2ec24−M+2Em2c4e)c2 ]
2.5 Utilizzando la conservazione dell’energia e dell’impulso descrivere la ci- nematica dell’effetto Compton e ricavare la relazione (2.19) Ricavare l’energia massima dell’elettrone di rinculo (2.21).
2.6 Calcolare il numero medio di particelle presenti in uno sciame elettroma- gnetico iniziato da un fotone di 50 GeV dopo 10, 13 e 20 cm di ferro attraversato.
[Vedi soluzioni]
2.7 Considerare il decadimento π+ → µ+νµ partendo da un π+ a riposo.
Calcolare l’energia cinetica del µ+e valutare approssimativamente il range del µ+ in idrogeno liquido (massa specifica ρ = 0.07 g cm−3).
[Vedi soluzioni]
3. Acceleratori di particelle ed esempi di rivelazione
3.1 Una particella reale avente massa m, energia totale E e impulso p soddisfa l’equazione E = +pp2c2+ m2c4. Per m = mπ+, calcolare E per p = 0.1, 1, 10 e 100 GeV/c.
NOTA: Una particella virtuale, per esempio il fotone scambiato nell’urto elastico e−e− → e−e−, ha un’esistenza transitoria e non soddisfa l’equa- zione sopra scritta. Una particella con E2− p2c2 = m2c4 < 0 avrebbe massa immaginaria e velocit`a superiore a quella della luce; sarebbe un tachione.
3.2 Calcolare il raggio di curvatura dell’orbita di protoni con impulso 10, 103, 105MeV/c in un campo magnetico B = 1 Tesla.
[Vedi soluzioni]
3.3 Calcolare l’energia a disposizione nel sistema del centro di massa (c.m.) nell’urto πp e nell’urto πe per pioni incidenti di 10 GeV/c2 di energia cinetica nel laboratorio.
3.4 Un positrone e un elettrone prodotti in un processo di creazione di coppie hanno quadrimpulsi nel sistema del laboratorio P+ = (E+, p+) e P− = (E−, p−). (a) Quale energia ha ogni particella nel sistema in cui la coppia e+e− ha impulso zero? (b) Qual `e la velocit`a relativa?
3.5 Calcolare l’energia di soglia nel c.m. e nel lab. per la produzione:
(a) di un mesone π0 nella reazione pp → ppπ0; (b) di mesoni π nella reazione πp → ππp;
(c) di mesoni K+ nella reazione pp → pΛ0K+; (d) di iperoni Σ+ nella reazione pp → pΣ+.
In tutti i casi, assumere che i protoni bersaglio siano fermi.
(N.B. La reazione pp → pΣ+`e possibile solo tramite l’interazione debole).
[Vedi soluzioni]
3.6 Si consideri la produzione di antiprotoni da un fascio di protoni con impulso p=5.5 GeV
p + p → p p p p (a) su protoni di un bersaglio d’idrogeno (b) su protoni di un bersaglio di ferro.
Calcolare l’energia di soglia e l’energia nel centro di massa. Pu`o avvenire la produzione in entrambi i casi ?
[Vedi soluzioni]
3.7 (a) Qual `e l’energia di soglia della reazione pp → pppp ? (b) Determinare l’energia cinetica disponibile nel caso che il protone bersaglio si trovi in un nucleo e si muova con un momento di Fermi pF (i) verso il protone incidente, (ii) in direzione opposta e (iii) ortogonalmente.
[Aiutarsi con la soluzione dell’esercizio precedente.]
3.8 Nel collisionatore HERA di Amburgo, collidono frontalmente protoni di 820 GeV con elettroni di 30 GeV.
(a) Calcolare l’energia nel centro di massa.
(b) Perch´e si `e scelto un’energia di solo 30 GeV per gli elettroni, mentre sono usati protoni di 820 GeV?
(c) Quale sarebbe l’energia nel centro di massa con protoni di 850 GeV (820+30) che entrano in collisioni con elettroni a riposo ? Per quale motivo questa situazione sarebbe meno preferibile ?
[Vedi soluzioni]
3.9 Si vuol misurare l’impulso di una particella veloce elettricamente carica mediante un campo magnetico solenoidale coassiale con il fascio. Sia L il raggio del rivelatore centrale (supposto cilindrico), B il campo magnetico (costante), R il raggio di curvatura e s la sagitta dell’orbita della particella,
ptla proiezione dell’impulso su un piano ortogonale al campo magnetico.
Determinare (vedi Fig. 3.9c):
(a) la relazione che lega pta s;
(b) l’errore percentuale sulla misura di pte di p, noti L, R, B e l’angolo θ fra B e p;
(c) la precisione della misura di pt se B = 20 kGauss, L = 1 m e δs = 100µm (dove δs `e l’errore sulla sagitta).
(Trascurare la diffusione coulombiana multipla).
3.10 Si misura il tempo di volo (ToF) in uno spettrometro di massa avente un magnete che misura l’impulso con σp/p = 0.1%. Dopo aver stimato, argomentandolo, qual `e il miglior potere risolutivo in tempo ottenibile con scintillatori, determinare:
(a) quale precisione `e necessaria nella misura di ToF per separare π± da K± a 5 GeV/c.
(b) Fino a che impulso pu`o funzionare lo spettrometro per separare π da K?
3.11 Calcolare la luminosit`a del Tevatron Collider di Fermilab: (a) nella regione d’interazione denominato B0, assumendo i seguenti parametri: circonfe- renza C = 2πR = 6.28 km, numero di protoni per pacchetto Np= 6·1010, numero di antiprotoni per pacchetto Np = 2 · 1010, numero di pacchetti NB = 6, fattore di correzione per lunghezza pacchetti G = 0.9, raggio medio trasverso di ciascun fascio rB0 = 43 µm; (b) Calcolare la lumi- nosit`a nella regione d’interazione E0, dove il raggio trasverso medio `e rE0 = 380 µm.
[Vedi soluzioni]
3.12 Calcolare il tempo di dimezzamento per interazione nucleare di un fascio di protoni circolanti in un anello di accumulazione di 100 m di raggio per vuoti di 10−6 e 10−9 mm Hg supponendo che il gas residuo sia H e che la sezione d’urto totale pp sia 40 mb.
3.13 (Dai compiti per l’ammissione al dottorato di ricerca in Fisica - Bologna- X Ciclo - 1994).
Si misurano tracce di raggi cosmici utilizzando delle camere a scintilla:
ogni camera ha una efficienza pari a 93%. Per ricostruire una traccia si richiedono almeno 3 punti (e quindi l’utilizzo di almeno 3 camere). Quanto vale l’efficienza per la ricostruzione di tracce di un sistema di 4 camere?
E se si utilizzano 5 camere?
3.14 (Dai compiti per l’ammissione al dottorato di ricerca in Fisica - Pisa- XVIII Ciclo - 2002).
Si consideri la produzione di coppie particella-antiparticella da parte di un fascio di positroni di alta energia incidenti sugli elettroni di un bersaglio fisso.
a) Calcolare l’energia minima del fascio di positroni per produrre coppie di pioni (Mπ= 140 M eV /c2).
b) Determinare l’angolo massimo di diffusione dei pioni rispetto alla dire- zione del fascio nel sistema del laboratorio per un fascio di positroni con energia di 150 GeV.
c) Dimostrare che, per energie del fascio molto maggiori della soglia di pro- duzione, l’angolo massimo di apertura nel laboratorio della coppia prodot- ta diventa indipendente dall’energia e calcolare il valore di questo angolo per una coppia di pioni. (Se θ1 `e l’angolo di diffusione della particella e θ2della antiparticella l’angolo di apertura θ `e definito θ = θ1+ θ2).
4. Il paradigma delle interazioni: il caso elettromagnetico
4.1 L’interazione debole `e dovuta allo scambio di bosoni W± (o Z0). Nell’am- bito di un modello d’interazione debole alla Yukawa, assumendo che il W abbia una massa di M = 80 GeV/c2, calcolare il range dell’interazione debole e confrontarlo con le dimensioni di un nucleone.
[R. R=~/M c ≃ 3 × 10−16 cm ]
4.2 Dimostrare che il decadimento e → eγ (Fig. 4.2a) non pu`o soddisfare la conservazione dell’energia e dell’impulso al vertice se tutte e tre le particelle sono libere (questi processi sono quindi proibiti).
[Vedi soluzioni]
4.3 Dimostrare tramite argomentazioni cinematiche classiche la relazione tra angolo di diffusione θ, energia cinetica Ec = (p2/2m) della particella in- cidente e parametro d’impatto b nel caso dello scattering coulombiano elastico, data da (Fig. 4.10b) tgθ2 =zZe2E2
cb
5. Primo sguardo alle altre interazioni fondamentali
5.1 Come si distingue un neutrone da un antineutrone? Come si distingue un neutrino dall’antineutrino corrispondente?
5.2 Stimare le dimensioni di un ipotetico atomo d’idrogeno legato solamente dalla forza gravitazionale.
5.3 Disegnare i diagrammi di Feynman che illustrano le reazioni seguenti;
indicare la forza fondamentale coinvolta.
a) e−p → e− p b) e+e− → νeν¯e
c) e−p → νen d) u d → u d d ¯d [Vedi soluzioni]
6. Principi di invarianza e di conservazione
6.1 Se il neutrone ha un momento di dipolo elettrico p diretto parallelamente (o antiparallelamente) allo spin, p = αS, dimostrare che α = 0, a meno che l’interazione non violi la parit`a e l’inversione temporale.
[Vedi soluzioni]
6.2 Si consideri il processo n → p + e−+ νe e si applichi l’operatore parit`a;
il processo risultante esiste in natura? Si applichi poi l’operatore coniu- gazione di carica. Che processo si ottiene? Che cosa si pu`o concludere riguardo all’operatore CP nel decadimento β ?
6.3 (Dai compiti per l’ammissione al dottorato di ricerca in Fisica - Pisa- XXII Ciclo - 2006).
Il mesone π0 `e una particella a spin zero e di massa 150 MeV/c2 che decade in due fotoni.
(a) Si determini la distribuzione angolare dei fotoni emessi nel sistema di riposo del π0 e la loro energia. Nel sistema in cui il π0 ha un’energia di 3 GeV si determinino l’energia massima e minima dei fotoni emessi.
(b) Si determini l’angolo minimo tra i due fotoni nel decadimento di un π0di 3 GeV di energia.
(c) Si mostri come la misura delle caratteristiche dei fotoni nello stato finale ci fornisce indicazioni sullo stato di spin/parit`a dei π0.
7. Interazioni tra adroni a basse energie e il modello statico a quark
7.1 Nonostante il fatto che i quark entro un neutrone o un protone intera- giscono tramite lo scambio di gluoni, l’interazione forte fra un protone e un neutrone pu`o essere vista come dovuta allo scambio di un pione. Se il π ha una massa di 140 GeV/c2, calcolare la distanza in cui `e efficace la
forza forte.
[Vedi soluzioni]
7.2 Per il decadimento Λ0→ pπ−a riposo, calcolare l’impulso pπ− se pp = 50 MeV/c e θπp= 40◦.
7.3 Verificare se le seguenti reazioni soddisfano le leggi di conservazione:
i) K0p → K−pπ+ ii) π−p → K−Σ+ iii) π−p → Σ−Σ0p iv) pp→ π+π+π−π−
v) π+p → K+Σ+
7.4 Gli antiprotoni vengono catturati a riposo in deuterio dando luogo alla reazione pd → nπ0. Determinare l’energia totale del mesone π0.
7.5 Calcolare nel sistema del laboratorio l’energia cinetica del K0 e del K0 necessaria perch`e possano avvenire le reazioni:
K0+ p → Λ0+ π+ K0+ p → Λ0+ K0+ K+ [Vedi soluzioni]
7.6 Spiegare perch´e il bosone vettoriale φ(1020) non pu`o decadere in due mesoni π0.
[Vedi soluzioni]
7.7 Con riferimento alle Fig. 7.17 e 7.18, dire qual `e lo spin isotopico dei mesoni π−, K−, D0, Ds+ e dei barioni Σ−, Σc0, Ξcc+ e Ωcc+.
7.8 Spiegare perch´e i mesoni K0e ρ0, che decadono entrambi prevalentemente in π+π−, hanno vite medie molto diverse. Spiegare la diversit`a delle vite medie dei mesoni π+ e π0.
7.9 Calcolare la sezione d’urto elastica π+p al picco della risonanza ∆++
(1232)
(a) quando il π+ ha un’energia cinetica nel laboratorio Tπlab = 195 MeV/c2; (b) per un’energia cinetica del π+ nel laboratorio Tπ′lab = 300 MeV/c2.
7.10 Per un bersaglio di grafite (ρ = 2.265 g cm−3) calcolare il numero Nn di nuclei di carbonio per cm3, il coefficiente di assorbimento µ e la lunghezza di collisione λ. Per la sezione d’urto usare σ = 0.331 · 10−24 cm2.
[Vedi soluzioni]
7.11 Un bersaglio di idrogeno liquido (densit`a ρ = 0.06 g cm−3) ha un volume di 100 cm3. Un fascio monoenergetico di π− di 300 MeV/c incide sul ber- saglio. Il fascio `e largo, uniforme e ha un’intensit`a di Φ = 107 π−m−2s−1. La sezione d’urto per la reazione π−p → π0n a 300 MeV/c `e σ = 45 mb.
(a) Calcolare il numero di raggi γ prodotti per secondo (ricordare che il mesone π0 decade in due γ, π0→ 2γ, in un tempo molto breve).
(b) Calcolare il libero cammino medio dei π− da 300 MeV/c in idrogeno liquido.
[Vedi soluzioni]
7.12 La risonanza ∆0 (udd) decade principalmente in p π−. Disegnare il dia- gramma di Feynman. Stimare la vita media della ∆0. Vi `e un altro pos- sibile canale di decadimento?
[Vedi soluzioni]
7.13 A una data energia nel sistema del centro di massa, qual `e il rapporto delle sezioni d’urto per le reazioni pd →3He π0, pd →3H π+ ?
[R. σ(pd →3He π0)/σ(pd →3H π+) ≃ 1/2]
7.14 Determinare lo spin–parit`a della risonanza ρ0 prodotta in π−p → ρ0n , ρ0→ π−π+. Nella reazione citata si osserva un picco alla massa invariante mρ = mπ+π− = 775 MeV, con larghezza Γ = 149 MeV. In reazioni analoghe non si osserva alcuna risonanza alla stessa massa in π+π+ e in π0π0.
[Vedi soluzioni]
7.15 Spiegare perch´e il decadimento ψ(3685) → J/ψ(3097)π0 `e proibito per l’interazione forte, mentre il decadimento ψ(3685) → J/ψ(3097)η `e permesso.
8. Caratteristiche delle interazioni deboli e i neutrini
8.1 La forza debole si manifesta con le stesse caratteristiche e la stessa in- tensit`a nel decadimento nucleare beta, nel decadimento del muone e nel- la cattura nucleare del muone negativo. Illustrare il motivo utilizzando diagrammi di Feynman con scambio di W+, W−.
8.2 Tenendo presente che la vita media del neutrone `e τn = 887 s, e quella del muone τµ = 2.2 · 10−6 s, dimostrare che gli accoppiamenti in questi due casi hanno lo stesso ordine di grandezza (tener conto del fattore di spazio delle fasi).
8.3 Disegnare i diagrammi di Feynman relativi ai seguenti decadimenti e interazioni:
µ−→ e−νeνµ , τ+→ e+νeντ , νee−→ νee− , µ+e−→ νµνe
8.4 Considerare il decadimento τ− → e−+ X.
(a) Di quali particelle neutre `e costituito il sistema X?
(b) Per tale processo disegnare i diagrammi di Feynman all’ordine pi`u basso.
8.5 Stimare il rapporto di decadimento Γ (∆++ → pe+νe)/Γ (∆++→ pπ+).
8.6 I mesoni ρ0 e K0 decadono principalmente in π+π−. Spiegare perch´e la vita media della ρ0 `e dell’ordine di 10−23 s e quella della K0 dell’ordine di 0.87 · 10−10. Disegnare i diagrammi di Feynman per entrambi i decadi- menti.
[Vedi soluzioni]
8.7 Spiegare perch´e l’iperone Σ0 decade in Λ0γ invece che in nπ0. [Vedi soluzioni]
8.8 Discutere i possibili modi di decadimento dell’iperone Ω− permessi dal- le leggi di conservazione. Mostrare che il decadimento debole `e il solo possibile.
8.9 Disegnare i diagrammi di Feynman, specificare gli accoppiamenti e com- mentare i seguenti decadimenti:
(a) Λ0→ pe−νe , Ξ−→ Λ0π− , νµp → µ−∆++
(b) D+→ K0π+ , D0→ K+µ−νµ , D0→ K−µ+νµ
8.10 Si trova sperimentalmente che il rapporto NC/CC per i decadimenti K `e (K+ → π+νν)/(K+ → π0µ+νµ) < 10−5. Questa `e una delle evidenze sperimentale che i decadimenti deboli a corrente neutra con cambio di stranezza ∆S = 1 sono soppressi.
Verificare che passando dalla (8.52) alla (8.63) (ipotizzando cio`e l’esistenza del quark c), la probabilit`a di transizione indotta da una corrente neutra
∆S = 1 `e nulla.
8.11 Disegnare i diagrammi di Feynman dei vari decadimenti seguenti del mesone D0. Stimare le ampiezze relative per questi 3 decadimenti.
a) D0→ K−π+ b) D0→ π−π+ c) D0→ K+π− [Vedi soluzioni]
8.12 Analizzare i decadimenti delle Σ+, Σ− in πN tramite l’introduzione del- lo “spurione”, un oggetto fittizio con I = 1/2, Iz = −1/2. Ricavare la relazione a triangolo fra le ampiezze di decadimento A0(Σ+ → pπ0), A+(Σ+→ nπ+) e A−(Σ− → nπ−).
[R. A++√
2A0≃ A−]
8.13 (Dai compiti per l’ammissione al dottorato di ricerca in Fisica - Pisa- XXII Ciclo - 2006).
Il muone `e una particella carica di massa 106 MeV/c2, di vita media 10−6 s, che decade in elettrone, neutrino, antineutrino (me=0.5 MeV/c2).
(a) L’elettrone `e l’unica particella misurata nel decadimento, dalla sua misura, dal decadimento del muone a riposo `e possibile capire se il deca- dimento `e in due o in pi`u di due corpi. Si mostri in quale modo.
(b) Nel caso del decadimento in tre particelle, si calcoli l’energia massima dell’elettrone dal decadimento del muone a riposo.
(c) Il leptone τ (mτ=2000 MeV/c2) pu`o decadere anch’esso come il muone.
Si stimi la vita media del τ .
9. Scoperte con collisioni positrone - elettrone
9.1 Stimare, utilizzando i dati in Fig. 9.5 e la forma del potenziale data dalla (9.16), il valore della costante di accoppiamento forte αsin corrispondenza delle energie del charmonio. Assumere che mcc2= 1550 MeV.
[Vedi soluzioni]
9.2 In un collider elettrone–positrone il raggio dell’anello `e R = 10 m; ciascun fascio ha un’intensit`a di corrente I = 10 mA con un’area trasversa S = 0.1 cm2. Assumendo che i due fasci di e−ed e+siano raggruppati ciascuno in un pacchetto e che collidano frontalmente due volte per giro, calcolare la luminosit`a L in cm−2 s−1. Sapendo che le sezione d’urto per la reazione e+e− → π+π−π0 al picco della risonanza ω `e σ = 1.5 µb, calcolare il numero di eventi osservati ogni ora per questo processo assumendo che la luminosit`a sia quella calcolata sopra.
[Vedi soluzioni]
9.3 In un acceleratore per elettroni il vuoto nella ciambella ha una pressione p = 3 · 10−4 tor. Il fascio di elettroni corrisponde a una corrente media i = 60 mA. Se consideriamo una porzione di acceleratore lunga l = 1 m, supponendo che il gas presente all’interno della ciambella sia costituito da atomi di idrogeno e sapendo che la sezione d’urto degli elettroni sui protoni del gas per la reazione e−p → e−p `e σ = 1 µb, calcolare il numero di eventi beam–gas che ci si aspetta al secondo.
9.4 Determinare la luminosit`a teorica del LEP utilizzando i parametri del- l’acceleratore: K = numero di pacchetti circolanti = 4 ; f = frequenza di rivoluzione = 11240 Hz ; I = intensit`a della corrente circolante = 3 mA per fascio ; σx= larghezza del fascio = 75 µm; σy = altezza del fascio = 3 µm.
9.5 Determinare la luminosit`a del LEP a √s = 91 GeV in un punto di col- lisione in cui si trovi un rivelatore dell’urto elastico e+e− → e+e−, che copre l’angolo solido definito da 40 mrad< θ <150 mrad, 0 < ϕ < 2π, sapendo che la frequenza di eventi e+e−→ e+e−misurati `e R = 0.20 s−1. [R. (8παE2~22c2)(1−cos θ1
min −1−cos θ1max) = 3 · 1030cm−2s−1]
9.6 Nel caso di emissione di un fotone con energia Eγ dal positrone o elettrone iniziale, l’energia nel centro di massa,√
s′, `e minore di quella iniziale,√ s.
Calcolare s′. Come si presenta un evento a due getti adronici in questo caso?
[R. s′≃ s − 2Eγ√
s; i due getti sono acollineari.]
9.7 La larghezza della risonanza J/ψ `e inferiore alla risoluzione sperimentale (circa 2 MeV nei primi esperimenti), ma pu`o essere ottenuta indiretta- mente da quantit`a che non dipendono dalla risoluzione. Consideriamo la reazione e+e− → J/ψ → e+e−. Si misura l’integrale della sezione d’urto: R
risonanzaσe+e−d√
s ≃ 790 nb MeV. Sapendo che la massa del- la risonanza `e MJ/ψ ≃ 3097 MeV e che il Branching Ratio in e+e− `e BR (J/ψ → e+e−) ≃ 0.06, ricavare il valore della larghezza ΓJ/ψ.
10. Interazioni ad alta energia ed il modello dinamico a quark
10.1 Un elettrone con energia cinetica di 20 GeV collide con un protone fermo.
L’elettrone diffonde a θ = 5◦ con un’energia di 12 GeV. Calcolare la massa effettiva del sistema adronico.
10.2 La distribuzione in impulso dei quark u nel protone pu`o essere para- metrizzata con la formula Fu(x) ≃ xu(x) = a(1 − x)3. Determinare la
costante a nell’ipotesi che i quark u trasportino il 33% dell’impulso del protone.
10.3 Il rapporto σν/σν per interazioni di antineutrini e neutrini su bersaglio isoscalare `e R ≃ 0.5. Determinare il rapporto del contenuto in impulso di antiquark e quark nel nucleone.
10.4 Assumendo che le distribuzioni dei quark u nel protone e dell’antiquark d nell’antiprotone abbiano le forme: Fu(x) = xu(x) = a1(1 − x)3, Fd(x) = xd(x) = a2(1 − x)3, dove x `e la variabile di Bjorken, cio`e la frazione del momento del nucleone portato da un quark, e assumendo che i quark contribuiscano alla met`a del momento del nucleone, calcolare a1 e a2. 10.5 Si ritiene che la funzione di struttura dei gluoni all’interno dei nucleoni,
g(x), aumenti fortemente al diminuire di x. Stimare il numero di gluoni che sarebbe possibile risolvere nell’urto inelastico profondo ep → e + X a Q2 = 104 GeV2 a bassi x (negli intervalli 0.0001 ÷ 0.001, 0.001 ÷ 0.01, 0.01 ÷ 0.1) se a questi valori di Q2la funzione di distribuzione del gluone fosse g(x) = 0.36 x−0.5.
[Vedi soluzioni]
10.6 Negli esperimenti UA1 ed UA2 al collider SppS del CERN, che hanno portato alla scoperta dei bosoni vettorali W±, Z0dell’interazione debole, venivano fatti collidere protoni e antiprotoni con energia totale nel c.m di 540 GeV (successivamente, 630 GeV).
Discutere in termini di quark a quale energia si ottiene la produzione di W±, Z0.
[Vedi soluzioni]
11. Il Modello Standard del Microcosmo
11.1 Calcolare il valore predetto dal modello elettrodebole per la larghezza parziale in νe, Γνe, all’energia del picco della risonanza Z0.
[R. Γν= NcGFm3Z 6√
2 (vf2+ a2f) ≃ 166 MeV]
11.2 Utilizzando la seconda parte della (11.111), calcolare αS(Q2) per (a) Q = 8 GeV (in questo caso nf = 4), (b) Q = 90 GeV (nf = 5) e (c) Q = 500 GeV (nf = 6), assumendo Λ = 300 MeV (in realt`a Λ varia in modo discontinuo quando supera la soglia corrispondente alla massa di un nuovo quark).
[R. (a) 0.28; (b) 0.144; (c) 0.121]
11.3 Confrontare il risultato del calcolo della costante αS ottenuto con la seconda parte della (11.111) nel caso delle energie del charmonio, con il risultato ottenuto nell’esercizio 9.1.
11.4 Che cosa significa fisicamente una teoria non-abeliana?
[Vedi soluzioni]
11.5 Spiegare che cosa sono i gruppi SU(2) e U(1). Dire se si tratta o meno di gruppi abeliani (per la definizione di gruppo abeliano vedi soluzione esercizio precedente).
[Vedi soluzioni]
12. Violazione di CP e oscillazioni di particelle
12.1 Il neutrone e l’antineutrone sono l’uno l’antiparticella dell’altro e sono neutri, proprio come il sistema K0e K0. Perch´e tra K0e K0pu`o avvenire il mescolamento, mentre non avviene tra neutrone e antineutrone?
12.2 Descrivere come produrre un fascio puro di mesoni K0. Per un tale fascio che si propaga nel vuoto calcolare numericamente l’intensit`a di K0 e K0 in funzione del tempo proprio, assumendo una differenza di massa
∆m = m2− m1= 1/τ1. Disegnare un grafico.
[R. Vedere §12.2.1]
12.3 Un fascio di K0pu`o decadere nel vuoto. A una distanza corrispondente a 20 volte la vita media del K1 `e posta un bersaglio che assorbe il 10%
dei K0 incidenti. Se la sezione d’urto per i K0 `e tre volte quella per i K0, calcolare le ampiezze relative di K1e K2nel fascio: (a) all’inizio (b) subito prima del bersaglio (c) subito dopo il bersaglio.
13. Microcosmo e Macrocosmo
13.1 Si pensa che i Raggi Cosmici siano accelerati tramite un meccanismo iterativo (il cui modello teorico `e dovuto a Fermi), che consiste in una sequenza di urti di particelle cariche con l’onda di shock prodotta dal- l’esplosione di una Supernova. In ciascun urto, la particella guadagna una piccola quantit`a di energia. A causa della deflessione provocata dai campi magnetici, la particella ha una bassa probabilit`a di fuggire dalla regione di accelerazione e per questo motivo subisce numerosi urti. Se, tramite qualche meccanismo, viene prodotto un neutrone, questo non `e
soggetto ai campi magnetici e pu`o fuggire dalla regione di accelerazione.
a) Indicare un meccanismo con il quale possono essere prodotti neutro- ni. b) Qual `e l’energia minima di un neutrone (τn= 887 s) perch´e possa uscire dalla regione di accelerazione con una probabilit`a ≥ 1/e? Assu- mere che le dimensioni della regione siano dell’ordine di un anno luce.
c) Quale sarebbe il valore massimo dell’angolo formato dall’elettrone (o dal neutrino) di decadimento con la direzione di volo del neutrone?
[Vedi soluzioni]
13.2 Valutare per un muone con energia E = 10 GeV e per un ipotetico monopolo magnetico (MM) avente carica magnetica g = 68.5e = gD e velocit`a v1 = 0.01c che attraversino uno strato di scintillatore liquido dell’esperimento MACRO al Gran Sasso (spessore dello scintillatore: 25 cm, densit`a ρ = 0.85 g cm−3):
(a) l’energia totale persa;
(b) l’energia persa che produce luce nello scintillatore;
(b) l’energia totale persa dal MM per v2= 0.3c. Mostrare che nel caso di MM con β > 0.1 questi si comportino come particelle con carica elettrica equivalente a Ze = gβ.
Consultare il grafico di perdita di energia per particelle cariche (Fig.
2.2(b) del Capitolo 2) e la Fig. 0.1 (sotto riportata) sulla perdita di energia di particelle con carica magnetica.
[Vedi soluzioni]
Figura 0.1. (a) Perdita di energia di monopoli magnetici con carica magnetica g = 1, 2, 3, 6, 9gD in funzione di β in Si (densit`a ρ = 4.3 g cm−3; `e una densit`a elevata, molto simile a quella all’interno della terra). (b) Quantit`a di luce per unit`a di percorso prodotta da un monopolo magnetico con carica g = gD, 3gD, 9gD e da un muone in uno scintillatore in funzione di β.
13.3 Il rivelatore Kamiokande aveva un volume fiduciale di 1000 t di acqua.
Calcolare il numero di protoni presenti nel rivelatore in questione. Se il protone avesse una vita media di 1032anni, quanti protoni decadrebbero nel rivelatore ogni anno?
[Vedi soluzioni]
13.4 Negli esperimenti che studiano la struttura in tempo degli sciami adroni- ci prodotti dai raggi cosmici di pi`u alta energia possono essere ricercate nuove particelle X pesanti, per esempio di massa mX = 100 GeV. Assu- mendo che tali particelle viaggino 2 km prima di decadere:
(a) calcolare l’energia di soglia per produrre una coppia di particelle X;
(b) qual `e l’energia nel laboratorio di una particella X alla soglia?
(c) Calcolare il ritardo temporale della particella X rispetto al fronte della cascata adronica (che viaggia alla velocit`a c).
13.5 (a) Dimostrare che l’energia potenziale gravitazionale di una massa sfe- rica M di densit`a uniforme e raggio R `e VG = −3GNM2/5R.
(b) Calcolare l’energia potenziale gravitazionale di una massa solare di materiale di densit`a uniforme e raggio R uguale a (i) 1 anno luce, (ii) 1 raggio solare, (iii) 1000 km, (iv) 10 km.
13.6 La supernova (SN) 1987A era localizzata nella Grande Nube di Magel- lano a circa 170000 anni luce dalla terra. Sono state osservate circa 10 interazioni di neutrini dalla SN in circa 1000 t di acqua nell’intervallo di tempo di meno di 10 secondi (assumere nel calcolo 3 secondi). L’energia media dei ν da supernova `e di circa 12 MeV (varia da Emin= 5 MeV a Emax=20 MeV). Assumendo che i neutrini abbiano massa non nulla, ci si pu`o aspettare che neutrini con energia maggiore giungano prima dei neutrini di energia minore. Stimare:
(a) un limite superiore per la massa del ν dai dati osservati;
(b) l’energia totale liberata sotto forma di ν dalla SN;
(c) stimare, in confronto, l’ordine di grandezza dell’energia di legame gravitazionale VG = −3GNM2/5R, tenendo conto che la stella di neu- troni che si `e formata dall’esplosione ha 1.4M⊙ e raggio R=10 km . [Vedi soluzioni]
13.7 (Dai compiti per l’ammissione al dottorato di ricerca in Fisica - Pisa- XXII Ciclo - 2006).
L’universo `e riempito di radiazione di fondo a 3 K (E = 10−3eV). La den- sit`a media di fotoni `e di 300 cm−3. Raggi gamma di alta energia possono interagire con questa radiazione attraverso il processo γ + γ → e++ e− con una sezione d’urto σ = (8π/9)r2e(re`e il raggio classico dell’elettrone, re= 2.8 × 10−15 m).
(a) Si determini l’energia di soglia del gamma di alta energia perch´e la
reazione possa avvenire. (me = 0.5 MeV/c2).
(b) Si determini la distanza media che il gamma di alta energia percorre prima di essere convertito, e la si paragoni con la dimensione dell’uni- verso.
(c) Anche i protoni cosmici di alta energia possono interagire con la ra- diazione di fondo attraverso la reazione: protone fotone in π+ neutrone (p+γ → π+n). Si stimi l’energia di soglia dei protoni per questa reazione.
(mπ+ = 140 M eV /c2, mp= mn= 1 GeV /c2).
14. Aspetti fondamentali delle interazioni tra nucleoni
14.1 Ricavare l’espressione per il tempo di dimezzamento t partendo dalla vita media τ .
[t = τ ln 2]
14.2 (Dai compiti per l’ammissione al dottorato di ricerca in Fisica - Bologna- X Ciclo - 1994).
Sia pari a 5×10−11la probabilit`a di decadimento in 1 secondo di un ato- mo di una sostanza radioattiva. Un campione statistico di tale sostanza sia costituito da 9 × 1010 atomi. Quale `e la probabilit`a che in 1 secondo abbiano luogo 5 decadimenti? E che ne avvengano 15?
14.3 (Dai compiti per l’ammissione al dottorato di ricerca in Fisica - Roma III- XVIII Ciclo - 2002).
Un reattore nucleare produce 2 × 109 Watt. Calcolare quanti eventi di fissione provenienti dalle reazioni
U235→ NZA1+ N92−ZA2 + k neutroni+ ≃ 200MeV
sono prodotti in un secondo. Calcolare inoltre quanti chilogrammi di uranio si consumano in un anno.
14.4 Illustrare e discutere il processo della cattura nucleare di un µ− in idro- geno, µ−p → nνµ, e in un nucleo pi`u pesante, per esempio in alluminio (Z = 13, A = 27); la vita media di µ− liberi `e τ = 2.16 µs, mentre la vita media di µ− in Al `e τAl= 0.88 µs.
Determinare il cammino libero medio di µ− in Al.
[Vedi soluzioni]
14.5 (a) Nell’ambito della teoria atomica di Bohr, determinare il raggio R0
dell’atomo mesico costituito da un protone e da un µ−.
(b) Per un atomo mesico formato da un nucleo e da un µ−, calcolare lo Z del nucleo per cui le dimensioni nucleari eguagliano le dimensioni dell’atomo mesico.
(c) Per il carbonio (Z = 6), determinare la distanza ℓ percorsa dal µ−, in una vita media, all’interno della materia nucleare.
[R. (a) R0= 258 fm; (b) Z = 50; (c) ℓ = 0.41 cm]
14.6 Assumendo (i) che una stella di neutroni, di massa m = 1.4M⊙prodotta dal collasso di un nucleo stellare, sia un nucleo atomico gigantesco tenuto insieme dalla sua stessa forza gravitazionale, (ii) che la densit`a della stella di neutroni sia costante, (iii) che si possa applicare alla stella il modello del gas di Fermi, calcolare il raggio della stella di neutroni e il momento di Fermi.
14.7 In una miniera viene effettuato un esperimento per rivelare i neutrini prodotti dal sole facendo uso della reazione νe+ 37Cl → 37Ar + e−. Il rivelatore contiene v≃ 4 · 105litri di tetracloretilene (C2Cl4). Stimare il numero di atomi di 37Ar che avrebbe dovuto essere prodotto al giorno facendo le seguenti ipotesi:
(i) la costante solare `e S = 2 cal cm−2min−1;
(ii) il 7% dell’energia termonucleare del sole appare sotto forma di neu- trini di energia media hEi ≃ 1 MeV;
(iii) lo 0.1% di tali neutrini ha un’energia sufficiente ad innescare la rea- zione (νe+ Cl);
(iv) la sezione d’urto per i neutrini attivi sul nucleo di 37Cl `e σ = 10−43cm2;
(v) l’abbondanza isotopica di37Cl `e il 25%;
(vi) la densit`a di C2Cl4 `e ρ = 1.5 g cm−3 e il suo peso molecolare `e P = 164 g mole−1.
[Vedi soluzioni]
14.8 (Dai compiti per l’ammissione al dottorato di ricerca in Fisica - Pisa- XXIV Ciclo - 2008).
Un reattore nucleare ha un moderatore di grafite. I nuclei di carbonio possono essere considerati effettivamente liberi di rinculare quando sono urtati dai neutroni veloci. Un neutrone veloce, di energia cinetica 1 MeV, urta elasticamente contro un nucleo di carbonio 12.
(a) Quali sono le velocit`a iniziali delle due particelle nel sistema di centro di massa?
(b) Nel sistema c.m., la velocit`a del nucleo di carbonio `e ruotata di 135o dalla collisione. Quali sono direzione ed energia cinetica del neutrone nel laboratorio dopo l’urto?
(c) Quante collisioni elastiche sono necessarie in media per il neutrone, assumendo che le deviazioni angolari siano distribuite uniformemente nel s.c.m., affinch`e la sua energia nel sistema del laboratorio sia ridotta da 1 MeV a 1 KeV? Si assuma come perdita media di energia il valor medio fra la minima e la massima.
14.9 I meccanismi astrofisici che generano sistemi planetari (quali il sistema solare) e quelli che accelerano i Raggi Cosmici (RC) sono strettamente connessi, come si vede in Fig. 14.12. Questi meccanismi sono legati ai collassi gravitazionali stellari di oggetti con massa maggiore di quella solare (M ∼ 10M⊙). Tuttavia, in Fig. 14.12 `e evidente la differenza relativa alle abbondanze degli elementi Li, Be, B nei RC e nel sistema solare. Questi, fungono da catalizzatori delle reazioni termonucleari nelle stelle (§14.10.1) e ci si aspetta una scarsa abbondanza nel caso di collasso stellare, che avviene quando la stella non ha pi`u a disposizione materiale per la fusione. Come si pu`o giustificare una tale differenza?
L’esercizio mostra la stretta connessione tra l’astrofisica e il modo del- le particelle. Chiamati complessivamente gli elementi (Li, Be, B) con elementi L e degli elementi (C,N,O) con elementi M, per spiegare la differenza:
a) si determini il libero cammino medio degli elementi L e degli elementi M;
b) si imposti un sistema di equazioni differenziali per il cammino dei RC nella Galassia, separatamente per gli elementi M e gli elementi L;
c) si risolva il sistema di equazioni differenziali;
d) si determini l’effettivo valore del cammino dei RC nella Galassia, im- ponendo che il rapporto tra elementi L/M sia uguale a 0.25, come si pu`o evincere dai dati di Fig. 14.12.
Si tenga conto che la probabilit`a che un nucleo M produca un nucleo L nell’interazione col mezzo interstellare `e PML = 0.28 (questo valore
`e ottenibile con misure in laboratorio di frammentazione di nuclei su protoni).
Infine, sapendo che la densit`a del materiale interstellare corrisponde a 1 protone cm−3, determinare il tempo medio di permanenza dei RC nella Galassia.
[Vedi soluzioni]
Problema 2.2
Se i centri diffusori sono gli atomi (o i nuclei atomici) del materiale si ha:
Nc= centri diffusori cm3
=
Na =atomi cm3
= n. di grammomolecole
cm3 ·NA·H
dove H `e il numero di atomi per molecola, NA `e il numero di Avogadro, ossia il numero di molecole in una grammomolecola. Il numero di atomi cm−3
`e Na = Mm1vNAH = MρNAH, dove m `e la massa in grammi; M `e il peso molecolare in grammi, v `e il volume in cm3 e ρ = m/v `e la massa specifica.
Nel caso di un elemento monoatomico, per il quale H = 1 e M = A (A = massa atomica), si ha Na = ρNA/A. Per esempio, nel caso del carbonio (A = 12 e ρ ≃ 2.265 g cm−3) il numero di atomi per cm3`e:
Na =ρNA
A ≃2.265 · 6.03 · 1023 12
g cm3
molecole
g moli = 1.137·1023atomi di carbonio cm3 Il numero di atomi per grammo `e:
Na
ρ ≃ 1.137 · 1023 2.265
atomi
g = 5.02 · 1022atomi di carbonio g
Problema 2.6
Il processo qui considerato `e la creazione di coppie da parte di fotoni, e la bremsstrahlung degli elettroni e positroni (ossia, la radiazione di un fotone di alta energia e il conseguente frenamento dell’elettrone). In entrambi i casi (si veda la Fig. 4.6) possiamo approssimare il processo come quello in cui, in media, vengono prodotte due particelle che si suddividono l’energia della particella genitore. Il processo si arresta per`o quando ciascuna particella scen- de sino ad una energia pari o inferiore al valore dell’energia critica. Da quel punto in poi, le particelle non perdono energia per moltiplicazione ma per i processi di eccitazione e ionizzazione.
L’energia posseduta da una particella dopo aver percorso un tratto x di materiale `e dato dalla (2.14). La lunghezza di radiazione e il percorso delle particelle in ferro (riportato in Tab. 2.1) sono rispettivamente 13.84 g cm−2 e 1.76 cm. Dopo 10 cm di ferro, l’energia media di ciascuna particella `e dunque:
E10= E0e−x/Lrad= (5 × 104) · e−10/1.76= 170.4 MeV
dunque, superiore all’energia critica Ec= 27.4 MeV in ferro (vedi sempre Tab.
2.1). Poich´e in media tutte le particelle hanno la stessa energia, il numero di particelle presenti nello sciame `e:
n10= E0/E = 5 × 104
170.4 = 293 .
Ripetendo lo stesso argomento dopo 13 cm di ferro, si trova E13= 31.0 MeV.
Questo valore `e di poco superiore all’energia critica, e il corrispondente numero di particelle `e n13= 1613. Oltre 13 cm di ferro, l’energia media delle particelle diventa inferiore a quella critica. Il processo moltiplicativo non avviene pi`u e le particelle cominciano ad arrestarsi per i meccanismi continui di perdita di energia. Alla distanza di 20 cm, il numero di quelle presenti sar`a quindi inferiore a n13.
Problema 2.7
Possiamo schematicamente descrivere i quadrivettori delle particelle coinvolte nel decadimento π+→ µ+νµ come:
(mπ; 0) → (Eµ, pµ) + (pν, pν)
dove abbiamo tenuto conto che la massa del neutrino `e trascurabile, per cui Eν = pν. La condizione sugli impulsi delle particelle nello stato finale
`e semplicemente:
pν= pµ
mentre quella sull’energia `e:
mπ= Eµ+ Eν = Eµ+ pν = Eµ+ pµ −→ pµ= mπ− Eµ .
Possiamo infine determinare Eµutilizzando la relazione massa-energia-impulso:
m2µ= Eµ2− p2µ= Eµ2− (mπ− Eµ)2 da cui
Eµ= m2µ+ m2π 2mπ
=(105)2+ (138)2
2 × 138 = 109 M eV . e l’impulso del muone emesso `e:
pµ= mπ− Eµ= 138 − 109 = 29 MeV .
La Fig. 2.3 permette di determinare il range noto l’impulso della particella.
Infatti, nel nostro caso:
βγ = pµ/mµ= 29/105 ≃ 0.3
a cui corrisponde un valore R/M = R/mµ= 1 g cm−2 GeV−1 (dalla figura).
Per determinare il percorso in cm, occorre tener conto della massa specifica dell’idrogeno liquido (ρ= 0.07 g cm−3), e della massa mµ= 0.105 GeV; quindi:
range =R/mµ
ρ · mµ= 1 × 0.105
0.07 ≃ 1.5 cm .
Problema 3.2
Basta applicare la (3.20b). Nel caso di protoni da 10 MeV/c R(m) = p(GeV/c)/(0.3 · B(Tesla)) = 0.33 × 10−2 m .
Poich´e la formula dipende linearmente dall’impulso, negli altri due casi il raggio di curvatura sar`a 102, 104 volte maggiore, rispettivamente.
Problema 3.5
(a) Consideriamo l’invariante relativistico E2− p2(c = 1) nel sistema del c.m.
e del laboratorio:
E∗2− p∗2= E2lab− p2lab .
Nel sistema del c.m. p∗2 = 0, nel sistema del lab. Elab = (E1+ m2), plab= p1; quindi
E∗2= (E1+ m2)2− p21= E12+ m22+ 2E1m2− p21= m21+ m22+ 2(T1+ m1)m2= (m1+ m2)2+ 2T1m2
avendo espresso l’energia della particella in termini di somma di energia cinetica pi`u energia di massa, E1= T1+ m1. Da questo, indicando s = E∗2:
T1= s − (m1+ m2)2 2m2
p + p=⇒ s − 4m2p
2mp
(nell’ultima eguaglianza abbiamo assunto che sia la particella incidente che il bersaglio fossero protoni, m1= m2= mp). Per pp → ppπ0 la minima energia necessaria per produrre il sistema di 3 particelle nello stato finale `e uguale a √
s = 2mp+ mπ0. Nel sistema c.m., ciascun protone deve possedere, oltre alla propria massa a riposo, una energia cinetica pari a met`a della massa della particella da produrre (in questo caso, circa 70 MeV).
Nel caso del sistema del laboratorio, il protone 1 incide sul protone 2 in quiete:
T1=(2mp+ mπ0)2− 4m2p
2mp
=4m2p+ m2π0+ 4mpmπ0− 4m2p
2mp
=
= m2π0+ 4mpmπ0
2mp
(mπ=⇒≪ mp) 2mπ0 ≃ 270 MeV .
Problema 3.6
(a) Produzione su idrogeno (protoni): si tratta d’una reazione “economica” in termine della conservazione del numero barionico : 1 + 1 → 1 + 1 + (−1) + 1.
L’energia di soglia `e uguale a Es= 4 · mp= 4 · 0.938 = 3.75 GeV.
L’energia del protone incidente `e E1 = q
m2p+ p2p =√
0.9382+ 5.52 = 5.58 GeV. Il modulo quadro della somma dei quadrimpulsi `e un invariante relati- vistico (come abbiamo visto nell’esercizio precedente) per cui l’energia totale nel sistema del centro di massa `e uguale a:
s = |P1+ P2|2= | (E1, p1) + (mp, 0) |2= | (E1+ mp, p1) |2
= E12+ m2p+ 2E1mp− p21= 2m2p+ 2E1mp= 2mp(mp+ E1)
√s =q
2mp(mp+ E1)= 3.48 GeV
√s = 3.48 GeV `e inferiore all’energia di soglia Es= 3.75 GeV. Quindi l’energia disponibile nel centro di massa `e insufficiente a creare lo stato finale desiderato.
(b) Produzione su nuclei di ferro: i protoni del bersaglio hanno un momento di Fermi di modulo pF ≃ 200 MeV/c (vedi Cap. 14). L’energia del protone del bersaglio `e, nel caso pi`u favorevole, E2 = √
0.9382+ 0.22 = 0.959 GeV.
L’energia totale nel sistema del centro di massa `e uguale a:
s = (E1 + E2)2− (p12 + p22)2
= 2m2p+ 2E1E2− 2p1p2
= 2(m2p+ E1E2+ p1p2)
√s =q
2(m2p+ E1E2+ p1p2)
√s =q
2(m2p+ 5.58 · 0.959 + 5.5 · 0.2)= 3.83 GeV
√s = 3.83 GeV `e superiore all’energia di soglia Es= 3.75 GeV. Quindi l’ener- gia disponibile nel centro di massa, nel caso di urti con protoni del bersaglio con impulso di Fermi favorevole, `e sufficiente a creare lo stato finale desiderato.
Problema 3.8
(Per prima cosa, lo studente mostri che a energie cos`ı alte come quelle di questo problema, non vi `e sostanzialmente differenza tra impulso ed energia, e risulta pertanto comodo utilizzare il sistema di unit`a naturali in cui c = 1).
(a) Il quadrato dell’energia totale nel sistema del centro di massa `e uguale a:
s = m21+ m22+ 2E1E2− 2p1· p2
dove, nel sistema del c.m., p1= −p2.
Per le particelle relativistiche, si ha: E ≃ p ≫ m. Quindi:
s = m21+ m22+ 2E1E2+ 2p1p2≃ 4E1E2
√s ≃ 2pE1E2= 2√
820 · 30 = 314 GeV .
(b), (c) Elettroni perdono energia per radiazione di sincrotrone con una di- pendenza dall’energia del tipo (E4); dunque `e meglio tenere l’energia degli elettroni relativamente bassa.
In effetti, per elettroni a riposo e protoni di 850 GeV si ha:
s = m21+ m22+ 2m2E1
√s ≃p2m2Ep≃p2meEp≃√
2 · 850 · 0.511 · 10−3= 0.93 GeV . In questo caso, l’energia disponibile nel sistema del c.m. `e molto pi`u bassa.
Problema 3.11
(a) La formula che lega la luminosit`a ai parametri del collisionatore `e:
L = f NpNpNBG
4πrB20 (1)
periodo di rivoluzione τ = 2πR/c = 6.28 · 103/3 · 108= 20.93 µs frequenza di rivoluzione f = 1/τ = 1/2.093 · 10−5= 4.78 · 104Hz Il fattore G ≃ 0.9 tiene conto della lunghezza finita di un pacchetto (50 cm).
Con i dati del problema si ha per la luminosit`a nella regione B0:
LB0= 4.78 · 104× 6 · 1010× 2 · 1010× 6 × 0.9
4π(4.3 · 10−3cm)2 ≃ 1.3 · 1030cm−2s−1 . L’espressione a denominatore nella (1), A = 4πr2B0, contiene il rag- gio medio traverso del fascio rB0, che `e in realt`a pi`u largo in orizzontale che in verticale. Tecniche pi`u accurate permettono di tener conto di questa distorsione.
(b) In E0 la luminosit`a rispetto a B0 si riduce del fattore (rE0/rB0)2 = (380/43)2= 78. Quindi:
LE0= LB0/78 ≃ 1.7 × 1028cm−2s−1 .
Problema 4.2
Consideriamo per esempio e → eγ e vediamo se nel sistema di riferimento in cui l’elettrone iniziale `e a riposo (sistema del centro di massa dell’elettro- ne) `e possibile soddisfare contemporaneamente la conservazione dell’energia e dell’impulso.
L’impulso iniziale `e nullo. Per avere un valore nullo anche nello stato fi- nale dobbiamo avere il fotone emesso con impulso uguale e opposto a quello dell’elettrone di rinculo (pe= −pγ). Ma in tal caso l’energia nello stato finale
`e:
Ee+ Eγ =pm2ec4+ p2ec2+ |pγ|c
che `e sempre maggiore dell’energia iniziale Ei = mec2, a meno che non sia Eγ = 0 e quindi pe= 0.
Problema 5.3
a) La forza fondamentale coinvolta `e l’interazione elettromagnetica.
d u d
u u
p p
e- e-
γ
u
Figura 0.2. (a) Reazione e−p → e−p
b) La forza fondamentale coinvolta `e l’interazione debole. Come si vedr`a in maniera dettagliata nel Cap. 8, l’interazione debole pu`o avvenire tramite lo scambio di un bosone vettoriale massivo carico, W±, oppure neutro, Z0. Nel primo caso, l’interazione si chiama a corrente carica (CC), nel secondo a corrente neutra (NC). In questo caso specifico, la reazione pu`o avvenire sia per NC che per CC, come si vede in figura.
e+
e-
νe
νe Z0 (NC)
e+
e- W (CC)
νe
νe Figura 0.3. (b) Reazione e+e− → νeν¯e
c) La forza fondamentale coinvolta `e l’interazione debole a corrente carica con uno dei quark di tipo u del protone:
d d u u p
e-
u d
n W
ν
eFigura 0.4. (c) Reazione e−p → νen
d) La forza fondamentale coinvolta `e l’interazione forte.
u u
d
d d
d
Figura 0.5. (d) u d → u d d ¯d
Problema 6.1
Consideriamo ad esempio una grandezza scalare, quale l’energia potenziale U = −p · E = −αS · E in un campo elettrico E. Nel caso venga applicato l’operatore parit`a su una grandezza scalare, questa deve risultare invariante.
Non `e questo il caso di αS·E, che cambia di segno sotto l’azione dell’operatore parit`a (si veda Tab. 6.3). La sola opzione possibile `e che α = 0. Lo stesso argomento vale per l’operatore di inversione temporale.
Problema 7.1
Dal principio di indeterminazione, si ha:
∆E · ∆t ≥ ~
∆E ≥ ~
∆t . La distanza percorsa in un tempo ∆t `e:
∆r = c · ∆t . Quindi, la distanza efficace `e data da:
∆r ≃ ~c
∆E = ~c
m c2 = 197 MeV fm
140 MeV = 1.4 · 10−15m = 1.4 fm .
Problema 7.5
Indichiamo le masse delle particelle che partecipano alla reazione in MeV/c2. Per la prima reazione si ha:
K0 + p → Λ + π+
498 938 1116 140 MeV/c2 .
La somma delle masse iniziali `e 1436 MeV/c2; la somma delle masse finali `e 1256 MeV/c2, inferiore a quella iniziale; quindi non `e richiesta energia cinetica perch´e la reazione possa aver luogo (siamo sempre al di sopra della soglia).
Per la seconda reazione si ha:
K0 + p → Λ + K0 + K+
498 938 1116 498 494 MeV/c2.
La somma delle masse dello stato finale `e mf = mΛ+ 2mK = 2108 MeV/c2. Nel sistema del lab. pp = 0; nel sistema del c.m. p∗tot = 0. Ricordando che
E2− p2
lab= (E2− p2)c.m. si ha:
(EK− mp)2− p2K= Ec.m.2 = (2mK+ mΛ)2 . Cio`e
EK =(2mK+ mΛ)2− m2p− m2K
2mp
= m2f− m2K− m2p
2mp
=21082− 4942− 9382
2 · 938 = 1770 MeV/c2.
L’energia cinetica che deve possedere il K0 incidente `e dunque 1770 − 498 ≃ 1270 MeV/c2.
Problema 7.6
Il bosone vettoriale φ ha spin 1, il mesone π0 ha spin 0. La conservazione del momento della quantit`a di moto nell’ipotetico decadimento φ → π0π0 im- plicherebbe un momento orbitale relativo ℓ = 1 (onda P). Ma ci`o `e proibito dalla statistica di Bose–Einstein perch´e avremmo un sistema di due bosoni identici (π0π0) in onda P, il che implicherebbe una funzione d’onda antisim- metrica. Con lo stesso ragionamento si esclude la possibilit`a del decadimento Z0 → H0H0, assumendo che il bosone H0 abbia spin zero. Si escludono cos`ı tutti i decadimenti di un bosone vettoriale (J = 1) in due particelle scalari identiche (J = 0), per esempio ρ0→ π0π0.
Problema 7.10
Il numero di centri diffusori si determina come Nn = Na =AρNA: Nn= Na= 1.137 · 1023(nuclei di C per cm3)
µ = Nnσ = Naσ = 1.137 · 1023· 0.331 · 10−24
= 3.76 · 10−2(nuclei per cm di spessore) λ = 1/µ = 26.5 cm λ = ρ/µ = 60.2 g cm−2 .
Notare che µ rappresenta anche la frazione di superficie ricoperta da nuclei di carbonio (≃ 3.76%) per un bersaglio avente spessore 1 cm.
Dalla (7.8) si ottiene una semplice formula pratica:
−dI
I
= σ · ρ
ANAn · dx ≃ σ 0.6 n A
dove σ `e espressa in barn, lo spessore ρdx in g cm−2, n `e il numero di bersagli per atomo (qui n = 1; se l’urto fosse su elettrone si avrebbe n = Z) e A `e il peso atomico.
