RISOLUZIONE 1. A `e vera. Infatti, essendo f0(

RISOLUZIONE

1. A `e vera. Infatti, essendo f <sup>0</sup> (x) strettamente crescente con f <sup>0</sup> (0) = 0, avremo che f <sup>0</sup> (x) > 0 per ogni x > 0 e f <sup>0</sup> (x) < 0 per ogni x < 0. Ne segue allora che f (x) f (0) per ogni x 2 R e pertanto che x = 0 `e punto di minimo assoluto per f (x).

In alternativa, si osservi che essendo f ⁰ (x) strettamente crescente, la funzione risulta convessa in R e per ogni x ⁰ , x 2 R avremo f(x) f (x ₀ ) + f ⁰ (x ₀ )(x x ₀ ). In particolare, essendo f ⁰ (0) = 0, avremo f (x) f (0) per ogni x 2 R.

B `e vera. Infatti, per quanto provato in A , f <sup>0</sup> (x) 6= 0 per ogni x 6= 0 e x = 0 `e punto di minimo. Essendo la funzione derivabile in tutto R, non esisteranno altri punti stazionari per f (x) in R e quindi, dal Teorema di Fermat, deduciamo che f(x) non ammette punti di massimo in R.

In alternativa, si osservi che essendo f ⁰ (x) strettamente crescente, la funzione risulta strettamente convessa in R e per ogni x ⁰ 6= x avremo f(x) > f(x 0 ) + f ⁰ (x 0 )(x x 0 ). Se per assurdo esistesse x ₀ 2 R punto di massimo, dal Teorema di Fermat avremo f ⁰ (x ₀ ) = 0 e dunque f (x) > f (x ₀ ) per ogni x 6= x 0 , una contraddizione.

C `e falsa. Infatti la funzione f (x) = x <sup>2</sup> `e derivabile con derivata strettamente crescente e f ⁰ (0) = 0 ma sup

x 2R

f (x) = lim

x !+1 f (x) = + 1.

2. A `e falsa. Ad esempio la funzione f (x) = log x `e funzione strettamente convessa in (0, + 1) ma risulta inf

x2(0,+1) f (x) = 1.

B `e falsa. Ad esempio la funzione f (x) = x <sup>2</sup> `e strettamente convessa in ( 1, + 1) ma non risulta strettamente monotona in ( 1, + 1).

C `e vera. Infatti, dal Teorema di Fermat abbiamo che se x <sub>0</sub> 2 (a, +1) `e punto di minimo relativo per f (x) allora f ⁰ (x ₀ ) = 0. Poich`e f (x) risulta strettamente convessa, dai criteri di convessit` a si ha che f ⁰ (x) risulta strettamente crescente in (a, + 1) e quindi che f ⁰ (x) 6= 0 per ogni x 6= x 0 . Dal Teorema di Fermat otteniamo allora che f (x) non ammette altri punti di minimo relativo.

3. A `e vera. Per provarlo `e sufficiente osservare che poich´e f ⁰⁰ (x) > 0 per ogni x 2 R, la funzione risulta strettamente convessa in R e per ogni x 0 2 R si ha

f (x) > f (x 0 ) + f ⁰ (x 0 )(x x 0 ) 8x 2 R \ {x 0 }.

Se x ₀ fosse punto di massimo per f in R, dal Teorema di Fermat avremo che f ⁰ (x ₀ ) = 0 e quindi, dalla diseguaglianza sopra, f (x) > f (x 0 ) per ogni x 2 R \ {x 0 }, contro l’ipotesi x 0 punto di massimo.

In alternativa si poteva osservare che la condizione f ⁰⁰ (x) > 0 per ogni x 2 R implica che f ⁰ (x)

risulta strettamente crescente in R. Se x 0 un punto estremale per f in R, dal Teorema di Fermat

avremo che f ⁰ (x ₀ ) = 0 e quindi f ⁰ (x) < 0 per x < x ₀ mentre f ⁰ (x) > 0 per x > x ₀ . Ci` o implica

che la funzione `e strettamente decrescente in ( 1, x 0 ) e strettamente crescente in (x ₀ , + 1), da

cui f (x) > f (x ₀ ) per ogni x 2 R \ {x 0 }. Questo prova che ogni punto estremo per f in R `e

necessariamente un punto di minimo.

B `e falsa. La funzione f (x) = e ^x , derivabile due volte in R con f ⁰⁰ (x) = e ^x > 0 per ogni x 2 R, ammette massimo nell’intervallo [0, 1) e precisamente nel punto x 0 = 0 con f (0) = 1.

C `e falsa. La funzione f (x) = e <sup>x</sup> del precedente esempio `e tale lim

x !+1 f (x) = 0 6= +1.

4. La funzione f (x) = (x ¹ ₄ )e

^1x

risulta definita e continua in R \ {0}, risulta positiva in ( ¹ ₄ , + 1), nulla in x = ¹ ₄ , negativa nei restanti punti del dominio. Abbiamo poi che lim

x !0

⁺

f (x) = 1 e

x!0 lim f (x) = 0 mentre

x !±1 lim f (x) = lim

x !±1 (x ¹ ₄ )e

^1x

= ±1 La funzione ammette asintoto obliquo per x ! ±1, infatti

x !±1 lim f (x)

x = lim

x !±1 e

^x1

= 1 e

x !±1 lim f (x) x = lim

x !±1 (x ¹ ₄ )e

^x1

x = ³ ₄ .

Infatti, ponendo y = ¹ _x e usando il limite notevole e ^y 1 ⇠ y per y ! 0, otteniamo

x !±1 lim (x ¹ ₄ )e

^x1

x = lim

y!0

e ^y 1 y

e

^y

4 = 1 ¹ ₄ = ³ ₄ . Dunque y = x + ³ ₄ `e asintoto obliquo per x ! ±1.

La funzione risulta derivabile in ogni x 2 R \ {0} con f ⁰ (x) = x ² x + ¹ ₄

x ² e

^1x

= (x ¹ ₂ ) ² x ² e

^x1

Poich´e f ⁰ (x) 0 per ogni x 2 R \ {0} e f ⁰ (x) = 0 solo per x = ¹ ₂ , avremo che f (x) risulta strettamente crescente in ( 1, 0) e in (0, +1) ma non risulta strettamente crescente in R \ {0}.

Infine, la funzione risulta derivabile due volte in ogni x 2 R \ {0} con f ⁰⁰ (x) = 2x 1

4x ⁴ e

^1x

e dunque risulta convessa in ( ¹ ₂ , + 1), concava in ( 1, 0) e in (0, ¹ ₂ ) e x = ¹ ₂ risulta punto di

flesso con tangente orizzontale y = f ( ¹ ₂ ) = ^e ₄

²

5. La funzione f (x) = ^x

e

^{|x2 1|}

`e definita e continua in tutto R essendo e ^|x

²

^{1 |} > 0 per ogni x 2 R.

La funzione risulta dispari e potremo limitare lo studio all’intervallo [0, + 1), dove la funzione risulta positiva eccetto che in x = 0 dove si annulla. Dalla gerarchia degli infiniti si ha che

x !+1 lim f (x) = 0. Ne deduciamo che y = 0 `e un asintoto orizzontale per f (x). Osservato che

f (x) = ( _x

e

^{x2 1}

se |x| 1

x

e

^{1 x2}

se |x| < 1 la funzione risulta derivabile in R \ {±1} con

f ⁰ (x) =

( _{1 2x}

2

e

^{x2 1}

se |x| > 1

1+2x

²

e

^{1 x2}

se |x| < 1

Essendo 1 2x ² < 1 < 0 per ogni x 2 R, avremo f ⁰ (x) < 0 per ogni x 2 (1, +1) mentre, essendo 1 + 2x ² > 0 per ogni x 2 R avremo che f ⁰ (x) > 0 per ogni x 2 (0, 1). Quindi f(x) risulta strettamente decrescente in [1, + 1) e strettamente crescente in [0, 1]. Ne segue che x = 1 `e punto di massimo assoluto con f (1) = 1. Per simmetria otteniamo che la funzione `e strettamente crescente in [ 1, 0], strettamente decrescente in ( 1, 1] e x = 1 `e punto di minimo assoluto con f ( 1) = 1.

La funzione non `e invece derivabile in x = 1 (e quindi nemmeno in x = 1) dato che

x lim !1

⁺

f ⁰ (x) = lim

x !1

⁺

1 2x ²

e ^x

²

¹ = 1 mentre lim

x !1 f ⁰ (x) = lim

x !1

1 + 2x ²

e ^{1 x}

²

= 3

da cui segue che la funzione ammette derivata destra e sinistra diverse ⁽ⁱ⁾ e dunque che x = 1 risulta un punto angoloso.

La funzione risulta inoltre derivabile due volte in R \ {±1} con f ⁰⁰ (x) =

( _{2x(3 2x}

2

)

e

^{x2 1}

se |x| > 1

2x(3+2x

²

)

e

^{1 x2}

se |x| < 1

Otteniamo quindi che, per x 2 [0, +1) \ {1}, f ⁰⁰ (x) > 0 per x 2 (0, 1) [ ( q

3

2 , + 1), f ⁰⁰ (x) < 0 per x 2 (1, q

3

2 ) mentre f ⁰⁰ (x) = 0 per x = 0 e x = q

3

2 . Ne segue che la funzione risulta convessa nell’intervallo (0, 1) e (

q 3

2 , + 1), concava in (1, q

3

2 ), x = 0 risulta punto di flesso con tangente y = ^x _e , x = q

3

2 `e punto di flesso con tangente y = q

3 2e p 2

e

⇣ x q

3 2

⌘ . Simmetrico il comportamento nell’intervallo ( 1, 0].

6. La funzione f (x) = log |x + 1| + ^x ₂

²

`e definita e continua in R \ { 1}. Osserviamo che f(0) = 0 ma nulla possiamo ancora dire riguardo all’esistenza di eventuali altri zeri e al segno. Abbiamo che lim

x!1

^±

f (x) = 1 e lim

x!±1 f (x) = + 1. Inoltre

x!±1 lim f (x)

x = lim

x!±1

log |x + 1|

x + x

2 = ±1

quindi la funzione non ammette asintoti obliqui a ±1 mentre x = 1 risulta asintoto verticale.

La funzione risulta derivabile nel suo dominio con f ⁰ (x) = 1

x + 1 + x = 1 + x + x ²

x + 1 , 8x 6= 1

(i)

volendo applicare la definizione per valutare la derivata destra occorre invece calcolare il limite

x!1

lim

⁺

f (x) f (1)

x 1 = lim

x!1⁺ x e^{x2 1}

1

x 1 = lim

x!1⁺

x e

^{x2 1}

(x 1)e

^{x2 1}

= lim

x!1⁺

x (1 + (x

²

1) + o(x

²

1))

x 1 = lim

x!1⁺

x(1 x) + o(x 1))

x 1 = 1

e dato che risulta x ² + x + 1 > 0 per ogni x 2 R otteniamo che f ⁰ (x) > 0 per ogni x > 1 mentre f ⁰ (x) < 0 per ogni x < 1. La funzione risulta quindi strettamente crescente in ( 1, + 1), strettamente decrescente in ( 1, 1) e non ammette punti n´e di massimo n´e di minimo relativo.

Dal Teorema di esistenza degli zeri e dalla monotonia stretta possiamo allora concludere che la funzione ammette due soli zeri, il primo x 0 2 ( 1, 1), il secondo x 1 = 0 in ( 1, + 1), risulta positiva in ( 1, x 0 ) [ (0, +1) e negativa in (x 0 , 1) [ ( 1, 0).

La funzione risulta inoltre derivabile due volte con f ⁰⁰ (x) = 1

(x + 1) ² + 1 = x(x + 2)

(x + 1) ² , 8x 6= 1

abbiamo quindi che f ⁰⁰ (x) > 0 per ogni x 2 ( 1, 2) [ (0, +1) mentre f ⁰⁰ (x) < 0 per ogni x 2 ( 2, 1) [ ( 1, 0). La funzione risulta pertanto convessa in ( 1, 2) e in (0, +1), concava in ( 2, 1) e ( 1, 0), x = 2 e x = 0 sono punti di flesso con tangente rispettivamente y = 2 3(x + 2) e y = x.

7. f ↵ (x) = xe

^↵x

per ogni ↵ 6= 0 `e definita e continua in R \ {0}, risulta positiva per x > 0, negativa per x < 0 e mai nulla. Abbiamo che

x !±1 lim f _↵ (x) = ±1, lim

x !0

⁺

f _↵ (x) =

( + 1 se ↵ > 0

0 se ↵ < 0 e lim

x !0 f _↵ (x) =

( 0 se ↵ > 0 1 se ↵ < 0 e quindi che la funzione ammette come asintoto verticale (destro per ↵ > 0, sinistro per ↵ < 0) la retta x = 0. La funzione ammette inoltre y = x + ↵ come asintoto obliquo per x ! ±1 dato che

x!±1 lim f _↵ (x)

x = lim

x!±1 e

^↵x

= 1 e lim

x!±1 f ↵ (x) x = lim

x!±1 x ⇣

e

^↵x

1 ⌘

= ↵

Osserviamo poi che la funzione `e derivabile in R \ {0} con f _↵ ⁰ (x) = e

^↵x

(1 ^↵ _x )

Pertanto se ↵ > 0 allora f _↵ ⁰ (x) > 0 per x > ↵ e x < 0, f _↵ ⁰ (x) < 0 per 0 < x < ↵ e f _↵ ⁰ (↵) = 0. Quindi la funzione risulta strettamente crescente in ( 1, 0) e in [↵, +1), strettamente decrescente in (0, ↵] e x = ↵ risulta punto di minimo relativo con f _↵ (↵) = ↵e. Se invece ↵ < 0 allora f _↵ ⁰ (x) > 0 per x < ↵ e x > 0, f _↵ ⁰ (x) < 0 per ↵ < x < 0 e f _↵ ⁰ (↵) = 0. La funzione risulta strettamente crescente in ( 1, ↵] e in (0, +1), strettamente decrescente in [↵, 0) e x = ↵ risulta punto di massimo relativo con f _↵ (↵) = ↵e.

La funzione `e inoltre derivabile due volte in R \ {0} con f _↵ ⁰⁰ (x) = ^↵ _x e

^↵x

Quindi se ↵ > 0 allora f _↵ ⁰⁰ (x) > 0 per x < 0 e f _↵ ⁰⁰ (x) < 0 per x > 0, da cui otteniamo che la funzione `e convessa in ( 1, 0) e concava in (0, +1), mentre se ↵ < 0 allora f ↵ <sup>00</sup> (x) > 0 per x > 0 e f <sub>↵</sub> <sup>00</sup> (x) < 0 per x < 0, da cui si ha che la funzione `e concava in ( 1, 0) e convessa in (0, +1).

8. Per ogni ↵ > 0 la funzione f ↵ (x) = log |x 1 | + ↵x risulta definita e continua in R \ {1}.

Osserviamo che per ogni ↵ > 0 non `e possibile studiarne segno e esistenza di altri zeri con tecniche elementari, rimandiamo tale studio dopo lo studio della monotonia. Per ogni ↵ > 0 abbiamo

x !±1 lim f _↵ (x) = ⌥1 e lim

x !1

^±

f _↵ (x) = 1

quindi la funzione presenta un asintoto verticale in x = 1 ma nessun asintoto orizzontale. Abbia- mo inoltre che

x!±1 lim f _↵ (x)

x = lim

x! 1 log |x|

x + ↵ = ↵ ma lim

x!±1 f ↵ (x) ↵x = lim

x!±1 log |x 1 | = +1

e quindi la funzione non ammette asintoti obliqui.

La funzione risulta derivabile in R \ {1} con

f _↵ ⁰ (x) = _{x 1} ¹ + ↵ = ^{↵x+1 ↵} _{x 1}

Otteniamo dunque che f _↵ ⁰ (x) < 0 per ogni x 2 (1 _↵ ¹ , 1), f _↵ ⁰ (x) > 0 per ogni x 2 ( 1, 1 _↵ ¹ ) [ (1, + 1) e f ↵ ⁰ (1 _↵ ¹ ) = 0.

Ne segue che f ↵ (x) risulta strettamente decrescente in [ _↵ ¹ 1, 1), strettamente crescente in ( 1, 1 _↵ ¹ ] e in (1, + 1), x = _↵ ¹ 1 `e punto di massimo relativo con

f ↵ (1 _↵ ¹ ) = log ↵ + ↵ 1

Inoltre, essendo log x funzione strettamente concava (da cui log x < x 1 per ogni x > 0, x 6= 1) si ha che f ↵ (1 _↵ ¹ ) > 0 per ogni ↵ > 0 con ↵ 6= 1 e f ↵ (1 _↵ ¹ ) = 0 per ↵ = 1.

Dal Teorema di esistenza degli zeri e dalla monotonia stretta, osservato che f _↵ (0) = 0 per ogni

↵ > 0 possiamo concludere che per ogni ↵ > 0, ↵ 6= 1 la funzione ammette tre zeri, due zeri se

↵ = 1.

Riguardo alla convessit` a osserviamo che la funzione `e derivabile due volte R \ {0} con f _↵ ⁰⁰ (x) = 1

(x 1) ²

e dunque risulta concava sia in ( 1, 1) e in (1, +1).

9. Per calcolare il limite lim

x !0

⁺

x( p

³

1 + x 1)

x sin x osserviamo innanzitutto che per x ! 0 risulta p

³

1 + x 1 ⇠ ^x ₃ e quindi che

x lim !0

⁺

x( p

³

1 + x 1)

x sin x = lim

x !0

⁺

1 3

x ² x sin x

Per calcolare il secondo limite possiamo applicare il Teorema di de l’Hˆ opital ottenendo

x!0 lim

⁺

1 3

x ² x sin x

= lim H x!0

⁺

1 3

2x

1 cos x = ² ₃ lim

x!0

⁺

1

sin x = + 1

Osserviamo che per calcolare l’ultimo limite potevamo utilizzare il limite notevole 1 cos x ⇠ ^x ₂

²

, mentre non potevano usare i soli limiti notevoli per tale calcolo dato che da questi ultimi l’unica informazione che avevamo riguardo al denominatore `e che x sin x = o(x) per x ! 0.

10. Per calcolare il limite lim

x !0

⁺

arctan x x e

^x22

cosh x

osserviamo che non sono sufficienti i limiti notevoli, applichiamo quindi il Teorema di de l’Hˆ opital. Abbiamo

x lim !0

⁺

arctan x x e

^x22

cosh x

= lim H x !0

⁺

1 1+x

²

1 xe

^x22

sinh x

= lim

x !0

⁺

x ²

(x ² + 1)(xe

^x22

sinh x)

= lim

x !0

⁺

x ² xe

^x22

sinh x dato che 1 + x ² ! 1 per x ! 0. Applichiamo di nuovo il Teorema di de l’Hˆopital all’ultimo limite

x lim !0

⁺

x ² xe

^x22

sinh x

H = lim

x !0

⁺

2x

e

^x22

+ x ² e

^x22

cosh x

Per calcolare l’ultimo limite potremo applicare nuovamente il teorema di de l’Hˆ opital oppure osservare che, dai limiti notevoli, per x ! 0 si ha

e

^x22

+ x ² e

^x22

cosh x = 1 + ^x ₂

²

+ o(x ² ) + x ² (1 + ^x ₂

²

+ o(x ² )) (1 + ^x ₂

²

+ o(x ² )) = ^x ₂

²

+ o(x ² ) ⇠ ^x ₂

²

e dunque che

x!0 lim

⁺

arctan x x e

^x22

cosh x

= lim

x!0

⁺

2x

x

²

2

= + 1

11. Calcoliamo il limite lim

x!0

⁺

e ^2x p

1 x

x cos x sinh x utilizzando il Teorema di de l’Hˆ opital, osservato che non sono sufficienti i limiti notevoli. Abbiamo

x lim !0

⁺

e ^2x p

1 x

x cos x sinh x

H = lim

x !0

⁺

2e ^2x + ¹

2 p 1 x

cos x x sin x cosh x = 1 dato che 2e ^2x + ¹

2 p

1 x ! 2+ ¹ ₂ = ⁵ ₂ mentre cos x x sin x cosh x ! 0 dato che cos x cosh x  0 per ogni x 2 R.

12. Come nei precedenti esercizi, per calcolare il limite lim

x !0

x( p

⁴

cos x 1) e

^x2

cosh p

x osserviamo innanzitutto che dai limiti notevoli per x ! 0 risulta x( p

⁴

cos x 1) = x( p

⁴

1 + (cos x 1) 1) ⇠ x ¹ ₄ (cos x 1) ⇠

x

³

8 e quindi che

x!0 lim x( p

⁴

cos x 1) e

^x2

cosh p

x = lim

x!0

x

³

8

e

^x2

cosh p

x

Utilizziamo il Teorema di de l’Hˆ opital per calcolare l’ultimo limite

x lim !0

x

³

8

e

^x2

cosh p x

= lim H x !0

3 4 x ²

1

2 e

^x2

₂ p ¹

x sinh p

x = lim

x !0

3 2 x

⁵²

p xe

^x2

sinh p

x

Per calcolare l’ultimo limite dovremo applicare nuovamente il Teorema di de l’Hˆ opital ottenendo

x lim !0

3 2 x

⁵²

p xe

^x2

sinh p

x

= lim H x !0

3 2

5 2 x

³²

1 2 p

x e

^x2

+ ^p ₂ ^x e

^x2

₂ p ¹

x cosh p

x = lim

x !0 15

2

x ²

e

^x2

+ xe

^x2

cosh x . Per calcolare tale limite potremo applicare di nuovo il Teorema di de l’Hˆ opital oppure osservare che dai limiti notevoli risulta

e

^x2

+ xe

^x2

cosh x = 1 + ^x ₂ + o(x) + x(1 + ^x ₂ + o(x)) (1 + ^x ₂ + o(x)) = x + o(x) ⇠ x da cui

x lim !0 15

2

x ²

e

^x2

+ xe

^x2

cosh x = 0.