RISOLUZIONE 1. A `e vera, infatti dal terzo teorema dei valori intermedi abbiamo che f (I) `e l’intervallo di estremi inf

RISOLUZIONE

1. A `e vera, infatti dal terzo teorema dei valori intermedi abbiamo che f (I) `e l’intervallo di estremi inf _{x 2I} f (x) e sup _{x 2I} f (x).

B `e falsa. Ad esempio per la funzione f (x) = x ² nell’intervallo [ 1, 1] abbiamo che f ([ 1, 1]) = [0, 1] mentre, essendo f ( ±1) = 1 risulta [f( 1), f(1)] = {1} e dunque f([ 1, 1]) 6✓ [f( 1), f(1)].

Osserviamo che la propriet` a `e invece vera per ogni funzione crescente in [a, b].

C `e vera. Se f (a) f (b) l’intervallo [f (a), f (b)] `e vuoto quando f (a) > f (b) o costituito solo da f (a) quando f (a) = f (b). In ogni caso risulta contenuto nell’immagine f ([a, b]). Se invece f (a) < f (b) allora il primo teorema dei valori intermedi a↵erma che la funzione assume tutti i valori compresi tra f (a) e f (b), ovvero l’intervallo [f (a), f (b)] `e incluso in f ([a, b]).

2. A `e vera. Infatti, sia

f (x) = ˜

( f (x) se x 2 [a, b)

` se x = b Allora, essendo lim

x !b

f (x) = lim ˜

x !b f (x) = ` = ˜ f (b), la funzione ˜ f (x) risulta continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] e quindi, dal Teorema di Weierstrass, esistono due costanti m < M tali che m  ˜ f (x)  M per ogni x 2 [a, b]. In particolare si ottiene che m  f(x)  M per ogni x 2 [a, b) e dunque che f(x) `e limitata in [a, b).

B `e falsa. La funzione f (x) = 1 x risulta continua in [0, 1) con lim

x !1 f (x) = 0 ma non ammette minimo in [0, 1) essendo inf

x 2[0,1) f (x) = 0 ma f (x) > 0 per ogni x 2 [0, 1).

C `e vera. Se f (a) = ` allora ^{f (a)+`</sup> <sub>2</sub> = f (a) e l’a↵ermazione `e evidentemente vera. Supponiamo che f (a) < ` e osserviamo che posto y <sub>0</sub> = <sup>f (a)+`} ₂ abbiamo che f (a) < y ₀ < `.

Dato che lim

x !b f (x) = `, dalla definizione di limite scelto " = ` y ₀ > 0 esiste 2 (0, b a) tale che per ogni x 2 (b , b) si ha ` " < f (x) < ` + ". In particolare avremo che esiste ¯b 2 (a, b) tale che f (¯b) > ` " = y <sub>0</sub> e dunque che y <sub>0</sub> risulta compreso tra f (a) e f (¯b). Poich´e la funzione `e continua in [a, ¯b] ⇢ [a, b), dal primo teorema dei valori intermedi possiamo concludere che esiste x ₀ 2 [a, ¯b] ⇢ [a, b) tale che f(x 0 ) = y ₀ . In modo analogo si pu` o procedere se f (a) > `.

3. La funzione f ↵ (x) =

( cosh x 1

x per x > 0

cos x + ↵ per x  0 risulta definita in ogni x 2 R e continua in ogni x ₀ 6= 0, essendo somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni continue, qualunque sia

↵ 2 R. Nel punto x 0 = 0 abbiamo

x!0 lim f _↵ (x) = lim

x!0 cos x + ↵ = 1 + ↵ = f _↵ (0)

mentre per x ! 0 ⁺ ricordiamo che dal limite notevole dell’esponenziale risulta cosh x 1 ⇠ ^x ₂

(vedi nota a pag. 27, esercizi sui limiti di funzione – parte 1) e dunque

x lim !0

f _↵ (x) = lim

x!0 x

2

x ² = 1 2

Ne segue che la funzione `e continua in x ₀ = 0 se e solo se 1 + ↵ = ¹ ₂ ovvero se e solo se ↵ = ¹ ₂ .

46

4. La funzione f _↵ (x) =

( e

cos p x

x per x > 0

cosh x per x  0 risulta definita in ogni x 2 R e continua in ogni x 6= 0 essendo per tali punti somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni continue qualunque sia ↵ 2 R. Nel punto x 0 = 0 abbiamo che

x!0 lim f ↵ (x) = lim

x!0 ↵ cosh x = lim

x!0 ↵ e ^x + e ^x

2 = ↵ = f ↵ (0) per ogni ↵ 2 R. Mentre, essendo per x ! 0, e

= 1 ^x ₂ + o(x) e cos p

x = 1 ^x ₂ + o(x) si ottiene

e

cos p

x = o(x) e dunque

x lim !0

f _↵ (x) = lim

x !0

e

cos p x

x = lim

x !0

o(x) x = 0 Dunque f _↵ (x) risulter` a continua in x ₀ = 0 se e solo se ↵ = 0.

5. La funzione f _↵ (x) =

( e

se x > 0

x + ↵ se x  0 risulta definita in R e continua in ogni x 0 6= 0 per ogni

↵ 2 R. In x 0 = 0 si ha che

x lim !0 f _↵ (x) = lim

x !0 x + ↵ = ↵ = f _↵ (0) mentre

x lim !0

f _↵ (x) = lim

x !0

e

= 8 >

<

> :

+ 1 se ↵ > 1 1 se ↵ = 1 0 se ↵ < 1 .

Possiamo allora concludere che la funzione risulta continua in x ₀ = 0 solo per ↵ = 0 e per ↵ = 1.

6. La funzione f _↵ (x) =

( _log(1+x

)+x sin(↵x)

x

per x > 0 p

1 + x per x  0 `e definita in tutto R e risulta continua in ogni x 6= 0 per ogni ↵ 2 R essendo somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni continue. Stabiliamo se risulta in x = 0 calcolando il limite lim

x!0 f _↵ (x) e verificando che risulti uguale a f ↵ (0) = 1. Abbiamo

x!0 lim f _↵ (x) = lim

x!0

p

1 + x = 1 mentre il limite

x!0 lim

f _↵ (x) = lim

x!0

log(1 + x ² ) + x sin(↵x) x ²

presenta una forma indeterminata del tipo ⁰ ₀ . Usiamo i limiti notevoli visti per calcolarlo. Per x ! 0 ⁺ risulta

log(1 + x ² ) + x sin(↵x) = x ² + o(x ² ) + x(↵x + o(↵x)) = (1 + ↵)x ² + o(x ² )

47

e quindi che

x lim !0

f _↵ (x) = lim

x !0

log(1 + x ² ) + x sin(↵x)

x ² = lim

x !0

(1 + ↵)x ² + o(x ² ) x ²

= 8 <

:

x lim !0

(1+↵)x

x

= 1 + ↵ se ↵ 6= 1

x!0 lim

o(x

)

x

= 0 se ↵ = 1

Possiamo pertanto concludere che la funzione risulta continua in x = 0 se e solo se ↵ + 1 = 1 ovvero se e solo se ↵ = 0.

7. La funzione f _↵ (x) =

( _sin

(↵x) sinh(x

)

x

se x > 0

p 1 + x 1 se x  0 nel punto x ₀ = 0 `e definita in [ 1, + 1) e continua in ogni x 6= 0 in tale intervallo per ogni ↵ 2 R. Abbiamo poi che

x lim !0 f ↵ (x) = lim

x !0

p 1 + x = 0 = f ↵ (0).

Riguardo al limite per x ! 0 ⁺ osserviamo innanzitutto che

y lim !0

sinh y y = lim

y !0 e

e

2

y = lim

y !0

e ^2y 1

2e ^y y = lim

x!0

1 e ^y

e ^2y 1 2y = 1

e quindi che sinh y = y + o(y) per ogni y ! 0 (anche quest’ultimo limite potremo considerarlo notevole). Ne segue che per x ! 0 risulta sinh(x ² ) = x ² + o(x ² ) e dunque che

sin ² (↵x) sinh(x ² ) = (↵x + o(x)) ² (x ² + o(x ² )) = (1 ↵)x ² + o(x ² ) Otteniamo allora

x lim !0

f _↵ (x) = lim

x !0

(1 ↵)x ² + o(x ² )

x ² = 1 ↵

per ogni ↵ 2 R. La funzione risulter`a continua in x 0 = 0 se e solo se 1 ↵ = 0, cio`e se e solo se

↵ = 1.

8. La funzione f _↵ (x) = 8 >

<

> :

x ^↵ (1 cos x) se x > 0

↵ se x = 0

arctan x

2x se x < 0

`e definita in R e continua in ogni x 0 6= 0 per ogni

↵ 2 R. In x 0 = 0 abbiamo che f _↵ (0) = ↵ e che

x lim !0 f _↵ (x) = lim

x !0

arctan x 2x = ¹ ₂ mentre, ricordando che 1 cos x ⇠ ^x ₂

per x ! 0, risulta

x!0 lim

f ↵ (x) = lim

x!0

x ^↵ (1 cos x) = lim

x!0

x ^↵ x ²

2 = lim

x!0

x ^↵+2

2 =

8 >

<

> :

+ 1 se ↵ < 2

1

2 se ↵ = 2

0 se ↵ > 2 Ne segue che la funzione risulta continua in x 0 = 0 se e solo se ↵ = 2.

48