RISOLUZIONE 1. A `e vera. Infatti, essendo f0(

RISOLUZIONE

1. A `e vera. Infatti, essendo f ⁰ (x) strettamente crescente con f ⁰ (0) = 0, avremo che f ⁰ (x) > 0 per ogni x > 0 e f ⁰ (x) < 0 per ogni x < 0. Ne segue allora che f (x) f (0) per ogni x 2 R.

In alternativa, si osservi che essendo f ⁰ (x) strettamente crescente, la funzione risulta convessa in R e per ogni x 0 , x 2 R avremo f(x) f (x ₀ ) + f ⁰ (x ₀ )(x x ₀ ). In particolare, essendo f ⁰ (0) = 0, avremo f (x) f (0) per ogni x 2 R.

B `e vera. Infatti, per quanto provato in A , f <sup>0</sup> (x) 6= 0 per ogni x 6= 0 e x = 0 `e punto di minimo. Essendo la funzione derivabile in tutto R, non esisteranno altri punti stazionari per f (x) in R e quindi, dal Teorema di Fermat, deduciamo che f(x) non ammette punti di massimo in R.

In alternativa, si osservi che essendo f ⁰ (x) strettamente crescente, la funzione risulta strettamente convessa in R e per ogni x 0 6= x avremo f(x) > f(x 0 ) + f ⁰ (x ₀ )(x x ₀ ). Se per assurdo esistesse x ₀ 2 R punto di massimo, dal Teorema di Fermat avremo f ⁰ (x ₀ ) = 0 e dunque f (x) > f (x ₀ ) per ogni x 6= x 0 , una contraddizione.

C `e falsa. Infatti la funzione f (x) = x <sup>2</sup> `e derivabile con derivata strettamente crescente e f ⁰ (0) = 0 ma sup

x 2R

f (x) = lim

x !+1 f (x) = + 1.

2. A `e falsa. Ad esempio la funzione f (x) = log x `e funzione strettamente convessa in (0, + 1) ma risulta inf

x2(0,+1) f (x) = 1.

B `e falsa. Ad esempio la funzione f (x) = x <sup>2</sup> `e strettamente convessa in ( 1, + 1) ma non risulta strettamente monotona in ( 1, + 1).

C `e vera. Infatti, dal Teorema di Fermat abbiamo che se x <sub>0</sub> 2 (a, +1) `e punto di minimo relativo per f (x) allora f ⁰ (x ₀ ) = 0. Poich`e f (x) risulta strettamente convessa, dai criteri di convessit` a si ha che f ⁰ (x) risulta strettamente crescente in (a, + 1) e quindi che f ⁰ (x) 6= 0 per ogni x 6= x 0 . Dal Teorema di Fermat otteniamo allora che f (x) non ammette altri punti di minimo relativo.

3. A `e falsa. Ad esempio la funzione f (x) = log x `e funzione strettamente convessa in (0, + 1) ma risulta inf

x2(0,+1) f (x) = 1.

B `e falsa. Ad esempio la funzione f (x) = x <sup>2</sup> `e strettamente convessa in ( 1, + 1) ma non risulta strettamente monotona in ( 1, + 1).

C `e vera. Infatti, dal Teorema di Fermat abbiamo che se x <sub>0</sub> 2 (a, +1) `e punto di minimo relativo per f (x) allora f ⁰ (x ₀ ) = 0. Poich´e f (x) risulta strettamente convessa, dal primo criterio di convessit` a si ha che f ⁰ (x) risulta strettamente crescente in (a, + 1) e quindi che f ⁰ (x) 6= 0 per ogni x 6= x 0 . Dal Teorema di Fermat otteniamo allora che f (x) non ammette altri punti di minimo relativo.

4. La funzione f (x) = (x ¹ ₄ )e

^1x

risulta definita e continua in R \ {0}, risulta positiva in ( ¹ ₄ , + 1),

La funzione ammette asintoto obliquo per x ! ±1, infatti

x !±1 lim f (x)

x = lim

x !±1 e

^x1

= 1 e

x !±1 lim f (x) x = lim

x !±1 (x ¹ ₄ )e

^1x

x = ³ ₄ .

Infatti, ponendo y = ¹ _x e usando il limite notevole e ^y 1 ⇠ y per y ! 0, otteniamo

x !±1 lim (x ¹ ₄ )e

^x1

x = lim

y !0

e ^y 1 y

e

^y

4 = 1 ¹ ₄ = ³ ₄ . Dunque y = x + ³ ₄ `e asintoto obliquo per x ! ±1.

La funzione risulta derivabile in ogni x 2 R \ {0} con f ⁰ (x) = x ² x + ¹ ₄

x ² e

^1x

= (x ¹ ₂ ) ² x ² e

^x1

Poich´e f ⁰ (x) 0 per ogni x 2 R \ {0} e f ⁰ (x) = 0 solo per x = ¹ ₂ , avremo che f (x) risulta strettamente crescente in ( 1, 0) e in (0, +1) ma non risulta strettamente crescente in R \ {0}.

Infine, la funzione risulta derivabile due volte in ogni x 2 R \ {0} con f ⁰⁰ (x) = 2x 1

4x ⁴ e

^1x

e dunque risulta convessa in ( ¹ ₂ , + 1), concava in ( 1, 0) e in (0, ¹ ₂ ) e x = ¹ ₂ risulta punto di

flesso con tangente orizzontale y = f ( ¹ ₂ ) = ^e ₄

²

5. La funzione f (x) = ^x

e

^{|x2 1|}

`e definita e continua in tutto R essendo e ^|x

²

^1| > 0 per ogni x 2 R.

La funzione risulta dispari e potremo limitare lo studio all’intervallo [0, + 1), dove la funzione risulta positiva eccetto che in x = 0 dove si annulla. Abbiamo che f (0) = 0 e dalla gerarchia degli infiniti si ha che lim

x!+1 f (x) = 0. Ne deduciamo che y = 0 `e un asintoto orrizzontale per f (x). Osservato che

f (x) = ( _x

e

^{x2 1}

se |x| 1

x

e

^{1 x2}

se |x| < 1 la funzione risulta derivabile in R \ {±1} con

f ⁰ (x) =

( _{1 2x}

2

e

^{x2 1}

se |x| > 1

1+2x

²

e

^{1 x2}

se |x| < 1

Essendo 1 2x ² < 1 < 0 per ogni x 2 R, avremo f ⁰ (x) < 0 per ogni x 2 (1, +1) mentre, essendo 1 + 2x ² > 0 per ogni x 2 R avremo che f ⁰ (x) > 0 per ogni x 2 (0, 1). Quindi f(x) risulta strettamente decrescente in [1, + 1) e strettamente crescente in [0, 1]. Ne segue che x = 1

`e punto di massimo assoluto con f (1) = 1.

La funzione non `e invece derivabile in x = 1 (e quindi nemmeno in x = 1) dato che

x lim !1

⁺

f ⁰ (x) = lim

x !1

⁺

1 2x ²

e ^x

²

¹ = 1 mentre lim

x !1 f ⁰ (x) = lim

x !1

1 + 2x ² e ^{1 x}

²

= 3

da cui segue che la funzione ammette derivata destra e sinistra diverse ^(g) , e dunque che x = 1 risulta un punto angoloso.

La funzione risulta inoltre derivabile due volte in R \ {±1} con

f ⁰⁰ (x) =

( _{2x(3 2x}

2

)

e

^{x2 1}

se |x| > 1

2x(3+2x

²

)

e

^{1 x2}

se |x| < 1

Otteniamo quindi che, per x 2 [0, +1) \ {1}, f ⁰⁰ (x) > 0 per x 2 (0, 1) [ ( q

3

2 , + 1), f ⁰⁰ (x) < 0 per x 2 (1, q

3

2 ) mentre f ⁰⁰ (x) = 0 per x = 0 e x = q 3

2 . Ne segue che la funzione risulta convessa nell’intervallo (0, 1) e ( q

3

2 , + 1), concava in (1, q

3

2 ), x = 0 risulta punto di flesso con tangente y = ^x _e , x = q

3

2 `e punto di flesso con tangente y = q

3 2e p 2

e

⇣

x q

3 2

⌘ .

(g)

volendo applicare la definizione per valutare la derivata destra occorre invece calcolare il limite

lim

x!1⁺

f (x) f (1)

x 1 = lim

x!1⁺ x e^{x2 1}

1

x 1 = lim

x!1⁺

x e

^{x2 1}

(x 1)e

^{x2 1}

= lim

x!1⁺

x (1 + (x

²

1) + o(x

²

1))

x 1 = lim

x!1⁺

x(1 x) + o(x 1))

x 1 = 1

6. La funzione f (x) = log |x + 1| + ^x ₂

²

`e definita e continua in R \ { 1}. Osserviamo che f(0) = 0 ma nulla possiamo ancora dire riguardo all’esistenza di eventuali altri zeri e al segno. Abbiamo che lim

x !1

^±

f (x) = 1 e lim _x

!±1 f (x) = + 1. Inoltre

x !±1 lim f (x)

x = lim

x !±1

log |x + 1|

x + x

2 = ±1

quindi la funzione non ammette asintoti obliqui a ±1 mentre x = 1 risulta asintoto verticale.

La funzione risulta derivabile nel suo dominio con f ⁰ (x) = 1

x + 1 + x = 1 + x + x ²

x + 1 , 8x 6= 1

e dato che risulta x ² + x + 1 > 0 per ogni x 2 R otteniamo che f ⁰ (x) > 0 per ogni x > 1 mentre f ⁰ (x) < 0 per ogni x < 1. La funzione risulta quindi strettamente crescente in ( 1, + 1), strettamente decrescente in ( 1, 1) e non ammette punti n´e di massimo n´e di minimo relativo.

Dal Teorema di esistenza degli zeri e dalla monotonia stretta possiamo allora concludere che la funzione ammette due soli zeri, il primo x ₀ 2 ( 1, 1), il secondo x 1 = 0 in ( 1, + 1), risulta positiva in ( 1, x 0 ) [ (0, +1) e negativa in (x 0 , 1) [ ( 1, 0).

La funzione risulta inoltre derivabile due volte con f ⁰⁰ (x) = 1

(x + 1) ² + 1 = x(x + 2)

(x + 1) ² , 8x 6= 1

abbiamo quindi che f ⁰⁰ (x) > 0 per ogni x 2 ( 1, 2) [ (0, +1) mentre f ⁰⁰ (x) < 0 per ogni

x 2 ( 2, 1) [ ( 1, 0). La funzione risulta pertanto convessa in ( 1, 2) e in (0, +1), concava

in ( 2, 1) e ( 1, 0), x = 2 e x = 0 sono punti di flesso con tangente rispettivamente y =

2 3(x + 2) e y = x.

7. La funzione f ↵ (x) = p

x |x ↵ | `e definita e continua in [0, +1) per ogni ↵ 2 R. Riguardo al segno osserviamo che risulta f _↵ (0) = 0 per ogni ↵ 2 R e f ↵ (x) > 0 per ogni x > 0 se ↵  0, mentre f _↵ (↵) = 0 e f _↵ (x) > 0 per ogni x > 0 con x 6= ↵ se ↵ > 0. Abbiamo poi

x !+1 lim f _↵ (x) = lim

x !+1

p x(x ↵) = + 1.

Essendo inoltre

x!+1 lim f _↵ (x)

x = lim

x!+1

p x(x ↵)

x = 1

e

x !+1 lim f _↵ (x) x = lim

x !+1

p x(x ↵) x = lim

x !+1 x ⇣q

1 ^↵ _x 1 ⌘

= lim

x !+1 x · _2x ^↵ = ^↵ ₂ ne deduciamo che per ogni ↵ 2 R la funzione ammette come asintoto obliquo la retta y = x ^↵ ₂ . Se ↵  0, essendo in tal caso |x ↵ | = x ↵ per ogni x > 0, la funzione risulta derivabile in ogni x 2 (0, +1) con

f _↵ ⁰ (x) = 2x ↵ 2 p

x(x ↵)

Se invece ↵ > 0, la funzione risulta derivabile in ogni x 2 (0, +1) \ {↵}, infatti per x = ↵ si ha

h lim !0

^±

f _↵ (↵ + h) f _↵ (↵)

h = lim

h !0

^±

p (↵ + h) |h|

h = p

↵ lim

h !0

^±

p |h|

h = ±1.

Ne deduciamo che se ↵  0, la funzione risulta strettamente crescente in [0, +1) e dunque che x = 0 risulta punto di minimo assoluto per f ↵ (x).

Se ↵ > 0, si ha invece che la funzione risulta strettamente crescente in [0, ^↵ ₂ ] [ [↵, +1) e stretta- mente decrescente in [ ^↵ ₂ , ↵]. Ne segue che x = 0 e x = ↵ sono punti di minimo assoluto mentre x = ^↵ ₂ risulta punto di massimo relativo.

Riguardo alla convessit` a, osserviamo che se ↵  0 la funzione risulta derivabile due volte in ogni x 2 (0, +1) con

f _↵ ⁰⁰ (x) = ↵ ² 4(x(x ↵))

³²

e quindi la funzione risulta concava in (0, + 1). Se invece ↵ > 0, la funzione risulta derivabile due volte in ogni x 2 (0, ↵) [ (↵, +1) con

f _↵ ⁰⁰ (x) = ↵ ² 4(x |x ↵ |)

³²

.

Ne segue che la funzione risulta concava sia in (0, ↵) che in (↵, + 1).

8. Per ogni ↵ 2 R la funzione f ↵ (x) = (1 x) log(1 x) + ↵x risulta definita e continua in tutto ( 1, 1). Osserviamo che per ogni ↵ 2 R risulta f ↵ (0) = 0 ma non `e possibile studiarne segno e esistenza di altri zeri con tecniche elementari, rimandiamo tale studio dopo lo studio della monotonia. Abbiamo

x ! 1 lim f _↵ (x) = lim

x ! 1 x ^{1 x} _x log(1 x) + ↵ = + 1 e lim

x !1 f _↵ (x) = ↵

quindi la funzione non presenta n´e asintoto verticale n´e asintoto orizzontale. Abbiamo inoltre che

x ! 1 lim f _↵ (x)

x = lim

x ! 1 1 x

x log(1 x) + ↵ = 1

e quindi la funzione non ammette nemmeno asintoto obliquo.

La funzione risulta derivabile in ( 1, 1) con

f _↵ ⁰ (x) = log(1 x) 1 + ↵

Risulta che f _↵ ⁰ (x) > 0 se e solo se log(1 x) < 1 ↵ e dunque se e solo se x > 1 e ^{↵ 1} = x ↵ . Quindi, f _↵ (x) risulta strettamente crescente in [x _↵ , 1), strettamente decrescente in ( 1, x ↵ ] e x _↵ risulta punto di minimo assoluto con x _↵ > 0 se ↵ < 1, x _↵ = 0 se ↵ = 1 e x _↵ < 0 se ↵ > 1.

Inoltre, essendo f ↵ (x ↵ ) = ↵ e ^{↵ 1} e e ^x funzione strettamente convessa (da cui e ^x > x + 1 per ogni x 6= 0) si ha che f ↵ (x _↵ ) < 0 per ogni ↵ 6= 1 mentre f(x ↵ ) = 0 se ↵ = 1.

Dal Teorema di esistenza degli zeri e dalla monotonia stretta, tenuto conto che lim

x!1 f ↵ (x) = ↵, possiamo concludere che

• se ↵  0 risulta f ↵ (x) > 0 per x 2 ( 1, 0), f ↵ (x) < 0 per x 2 (0, 1) e x = 0 `e l’unico zero della funzione;

• se 0 < ↵ < 1 la funzione ammette due zeri, x = 0 e ¯x ↵ 2 (x ↵ , 1), e risulta f _↵ (x) > 0 per x 2 ( 1, 0) [ (¯x ↵ , 1), f ↵ (x) < 0 per x 2 (0, ¯x ↵ );

• se ↵ = 1 allora la funzione ammette due zeri, x = 0 e x ↵ , e risulta f _↵ (x) > 0 per x 2 ( 1, 1) con x 6= 0 e x 6= x ↵ ;

• se ↵ > 1 la funzione ammette due zeri, x = 0 e ¯x ↵ 2 ( 1, x ↵ ), e risulta f ↵ (x) > 0 per x 2 ( 1, ¯x ↵ ) [ (0, 1), f ↵ (x) < 0 per x 2 (¯x ↵ , 0).

Riguardo alla convessit` a osserviamo che la funzione `e derivabile due volte ( 1, 1) con f _↵ ⁰⁰ (x) = 1

1 x

e dunque risulta convessa in tutto il suo dominio.

9. Per calcolare il limite lim

x!0

x log(1 + x)

x(e ^x 1) osserviamo innanzitutto che per x ! 0 risulta e ^x 1 ⇠ x e quindi che

x lim !0

x log(1 + x) x(e ^x 1) = lim

x !0

x log(1 + x) x ²

Per calcolare il secondo limite possiamo applicare il Teorema di de l’Hˆ opital, ottenendo

x!0 lim

x log(1 + x) x ²

H = lim

x!0

1 _1+x ¹ 2x = lim

x!0

x

2x(x + 1) = 1 2

Osserviamo che non potevano usare i soli limiti notevoli per tale calcolo dato che da questi ultimi l’unica informazione che avevamo riguardo al numeratore `e che x log(1 + x) = o(x) per x ! 0.

10. Per calcolare il limite lim

x!0

⁺

q

1 ^x ₂

²

cos x

arcsin x x osserviamo che non sono sufficienti i limiti notevoli, applichiamo quindi il Teorema di de l’Hˆ opital. Abbiamo

x lim !0

⁺

q

1 ^x ₂

²

cos x arcsin x x

= lim H x !0

⁺

x 2

q

1

^x2₂

+ sin x

p 1

1 x

²

1 = lim

x !0

⁺

1 2

x + 2 q

1 ^x ₂

²

sin x

1 p

1 x ² ·

p 1 x ² q

1 ^x ₂

²

= lim

x !0

⁺

1 2

x + 2 q

1 ^x ₂

²

sin x

1 p

1 x ² essendo q ^{p 1 x}

²

1

^x2₂

! 1 per x ! 0. Per calcolare l’ultimo limite potremo applicare di nuovo il Teorema di de l’Hˆ opital oppure osservare che per x ! 0 risulta 1 p

1 x ² ⇠ ^x ₂

²

mentre x + 2

q

1 ^x ₂

²

sin x = x + 2(1 ^x ₄

²

+ o(x ² ))(x + o(x)) = x + o(x) ⇠ x quindi

x lim !0

⁺

1 2

x + 2 q

1 ^x ₂

²

sin x

1 p

1 x ² = lim

x !0

⁺

1 2

x

x

²

2

= + 1

11. Calcoliamo il limite lim

x!0

⁺

x cosh x sin x e ^x p

³

1 + 3x utilizzando il Teorema di de l’Hˆ opital, osservato che non sono sufficienti i limiti notevoli. Abbiamo

x lim !0

⁺

x cosh x sin x e ^x p

³

1 + 3x

= lim H x !0

⁺

cosh x + x sinh x cos x e ^x p

₃

¹

(1+3x)

²

per calcolare l’ultimo limite potremo applicare nuovamente il Teorema di de l’Hˆ opital oppure utilizzare i limiti notevoli osservato che per x ! 0 risulta

cosh x + x sinh x cos x = 1 + ^x ₂

²

+ o(x ² ) + x(x + o(x)) (1 ^x ₂

²

+ o(x ² )) = 2x ² + o(x ² ) ⇠ x ² mentre

e ^x 1

p

3

(1 + 3x) ² = e ^x (1 + 3x)

²³

= 1 + x + o(x) (1 2x + o(x)) = 3x + o(x) ⇠ x

da cui

x!0 lim

⁺

cosh x + x sinh x cos x e ^x p

₃

¹

(1+3x)

²

= lim

x!0

⁺

x ² 3x = 0

12. Come nel precedente esercizio, per calcolare il limite lim

x!0

x log(cos x) e

^x2

cosh p

x osserviamo innanzitutto che dai limiti notevoli per x ! 0 risulta x log(cos x) = x log(1 + (cos x 1)) ⇠ x(cos x 1) ⇠ ^x ₂

³

e quindi che

x lim !0

x log(cos x) e

^x2

cosh p

x = lim

x !0

x

³

2

e

^x2

cosh p x Utilizziamo il Teorema di de l’Hˆ opital per calcolare l’ultimo limite

x lim !0

x

³

2

e

^x2

cosh p x

= lim H x !0

3 2 x ²

1

2 e

^x2

₂ ^{p 1} _x sinh p

x = lim

x !0

3x

⁵²

p xe

^x2

sinh p

x

Per calcolare l’ultimo limite dovremo applicare nuovamente il Teorema di de l’Hˆ opital ottenendo

x lim !0

3x

⁵²

p xe

^x2

sinh p

x

= lim H x !0 3

5 2 x

³²

1 2 p

x e

^x2

+ ^p ₂ ^x e

^x2

₂ p ¹

x cosh p

x = lim

x !0

15x ² e

^x2

+ xe

^x2

cosh x . Per calcolare tale limite potremo applicare di nuovo il Teorema di de l’Hˆ opital oppure osservare che dai limiti notevoli risulta

e

^x2

+ xe

^x2

cosh x = 1 + ^x ₂ + o(x) + x(1 + ^x ₂ + o(x)) (1 + ^x ₂ + o(x)) = x + o(x) ⇠ x da cui

x!0 lim

15x ²

e

^x2

+ xe

^x2

cosh x = 0.