Moto armonico e moto armonico smorzato

Moto armonico e moto armonico smorzato

14 dicembre 2010

Le equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine, a coeffici- enti costanti si prestano a modellizzare un fenomeno fisico di esperienza co- mune: il funzionamento del sistema di sospensioni di una autombile basato su una molla che esercita una forza proporzionale alo spostamento ed un ammortizatore che esercita una forza proporzionale alla velocit`a. Partiamo dall’esperienza fisica. Se si spinge sul parafango di una (vecchia) automobile spostandolo di s 0 , e, al tempo 0 lo si lascia andare, il parafango, in presenza di un buon funzionamento delle sospensioni ritorna dolcemente al suo posto.

Se invece sono scarichi gli ammortizzatori, il parafango osciller`a pi`u volte prima di fermarsi. Come si spiega questo comportamento del sistema? In particolare da cosa `e regolato il moto? Il moto di una particella di massa m che si muove su una retta `e soggetto alla legge di Newton:

ms ⁰⁰ (t) = F

dove la funzione s(t) rappresenta lo spostamento, in funzione del tempo e quindi s ⁰⁰ (t) rappresenta la accelerazione, mentre F `e la forza.

Ovviamente il parafango non `e una particella, ma possiamo pensare la legge si applichi al baricentro di un parafango ideale che pu`o muoversi in su’

o in giu’ secondo una retta. Dopo che abbiamo spostato il parafango in gi`u quali sono le forze che agiscono sul baricentro? Prima di tutto la forza della molla che `e proporzionale allo spostamento ma nella direzione opposta, poi la forza dell’ammortizzatore, che `e proporzionale alla velocit`a s ⁰ (t) sempre nella direzione opposta al moto. Avremo cos`ı dalla legge di Newton

ms ⁰⁰ (t) = −k ₁ s ⁰ (t) − k ₂ s(t),

con k ₁ e k ₂ coefficienti non negativi. In altre parole il moto s(t) dovr`a soddisfare alla equazione differenziale

s ⁰⁰ (t) + k ₁

m s ⁰ (t) + k ₂

m s(t) = 0. (1)

1

Naturalmente se al tempo ”0”, s(0) = s ⁰ (0) = 0, non si muove nulla, perch´e le forze che agiscono sul sistema sono nulle. Infatti queste condizioni identificano solo la soluzione identicamente nulla.

Ma io ho supposto che si partisse da una posizione diversa da zero (ave- vamo spinto in giu’ il parafango). E’ quindi operante almeno la forza pro- porzionale allo spostamento. Cosa succede allora dipende dai coefficienti k ₁ e k ₂ .

Supponiamo ad esempio che siano completamente scarichi gli ammortiz- zatori. Questo significa che k ₁ = 0. L’unica forza che agisce `e quella della molla. Nelle nostre ipotesi s(0) = s ₀ 6= 0 e s ⁰ (0) = 0. La nostra equazione si

`e comunque ridotta a

s ⁰⁰ (t) + k ₂

m s(t) = 0,

che date le condizioni iniziali s(0) = s ₀ e s ⁰ (0) = 0 ha come soluzione s(t) = s ₀ cos(

r k ₂ m t).

Osserviamo che s(t) oscilla indefinitivament descrivendo quello che si chiama un moto armonico.

Questo, per`o, `e un caso del tutto teorico, perch´e, in realt`a, sappiamo che dopo un po’ anche con ammortizzatori completamente scarichi, il parafango si ferma. Perch´e ? Perch´e nella realt`a il coefficiente k ₁ non `e mai zero in presenza di attrito, che esercita una forza proporzionale alla velocit`a e perfino, se l’attrito `e nullo o quasi, in presenza di resistenza dell’aria. Passiamo quindi a considerare il caso k ₁ 6= 0.

Per capire come si comporta la soluzione s(t) della (1), con le condizioni iniziali s(0) = s ₀ > 0 e s ⁰ (0) = 0, dobbiamo distinguere tre casi a seconda del segno del discriminante dell’equazione caratteristica della (1).

Il discriminante `e ∆ = _m ^k

− 4 ^k _m

. Se ∆ > 0, l’equazione caratteristica ha due soluzioni reali λ ₁ e λ ₂ , espresse dalla formula risolutiva:

− k ₁ 2m ± 1

2 r k ² ₁

m ² − 4k ₂ m .

Osserviamo che ambedue le soluzioni reali sono negative perch´e √

∆ < k ₁ /m.

Da questo segue che ogni soluzione della (1), che si scrive c ₁ e ^λ

^t + c ₂ e ^λ

^t ,

tende a zero quando t → ∞. Questo `e il caso degli ammortizzatori perfetta- mente funzionanti cio`e con k ₁ abbastanza grande da rendere ∆ positivo. Lo stesso in realt`a succede quando ∆ = 0.

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Se invece ∆ < 0, allora le soluzioni della (1) si scrivono come:

s(t) = e ⁻

(c ₁ cos(

√ −∆

2 t) + c ₂ sin(

√ −∆

2 t)).

Anche in questo caso per t → ∞ le soluzioni andranno a zero, ma continuando ad oscillare (fino a quando l’oscillazione non `e pi`u percepibile). E’ quel che accade quando k ₁ non `e sufficientemente grande per rendere ∆ positivo, cio`e quando gli ammortizzatori non funzionano troppo bene.

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