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Esercizio 1. Al variare del parametro α > 0, studiare la convergenza delle serie numeriche:

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Matematica A Foglio 8

Sviluppi infinitesimali - Funzioni continue 29 Novembre 2013

Esercizio 1. Al variare del parametro α > 0, studiare la convergenza delle serie numeriche:

1)

X

n=2

n sin(1/n α ) log n−1 n 

√ n + 1 arctan(n) ; 2)

X

n=1

n α  p

3

1 + 1/n 2 − cos(1/n)  .

Risposte: 1) Converge se e solo se α > 1/2 (Confronto asintotico); 2) Converge se e solo se α < 1.

Esercizio 2. Al variare del parametro α > 0, studiare la convergenza della serie numerica:

X

n=1

n 3/2 p

1 − 1/n 2 − cos(1/n α )  .

Risposta: La serie converge se e solo se α = 1. Si ricordi lo sviluppo (1 + x) β = 1 + βx +

1

2 β(β − 1)x 2 + o(x 2 ) per x → 0, dove β ∈ R `e un esponente assegnato.

Esercizio 3. Determinare gli α, β ∈ R tali che la funzione f : R → R definita nel modo seguente sia continua

f (x) =

−2 sin x per x ≤ − π 2 α + β sin x per x ∈ − π 2 , π 2  cos x per x ≥ π 2 .

Esercizio 4. Determinare tutti gli α ∈ R tali che la funzione f : R → R definita nel modo seguente sia continua

f (x) =

x α sin(1/x) per x > 0

0 per x = 0

|x| −2α arctan(x) per x < 0.

Risposta: 0 < α < 1/2.

Esercizio 5. i) Dimostrare che l’equazione 1 − x 4 = log(1 + x 2 ) ha esattamente due soluzioni x ∈ R. ii) Sia f (x) = x 7 + x 5 + e x , x ∈ R. Dimostrare che per ogni fissato y ∈ R l’equazione f (x) = y ha una ed una sola soluzione x ∈ R.

Esercizio 6. Al variare di α ∈ R calcolare il limite

x→0 lim

sin 2 (αx) − x 2

sin 2 (x) − αx 2 .

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