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GEOMETRIA A.A. 2013-2014 MAURO NACINOVICH

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GEOMETRIA A.A. 2013-2014

MAURO NACINOVICH

Nozioni elementari su gruppi ed azioni di gruppo.

Il gruppo delle permutazioni su n elementi. Segnatura. Decomposizione ciclica. Trasposizioni.

Campi, caratteristica. Il campo dei numeri complessi. Rappresentazione di Gauss. Forma trigonometrica. Esponenziale complesso. Teorema fonda- mentale dell’algebra.

Matrici a coefficienti in un campo. Operazioni con le matrici. Determi- nante di matrici quadrate.

Spazi vettoriali astratti. Dipendenza lineare. Sottospazi, basi. Formula di intersezione. Applicazioni lineari. Matrici associate a un sistema lineare.

Formula del rango e rislolubilit` a dei sistemi lineari. Cambiamenti di base.

Determinante di un endomorfismo lineare.

Dualit` a. Riflessivit` a negli spazi vettoriali di dimensione finita. Annulla- tori. Significato della matrice trasposta.

Spazi e sottospazi affini. Coordinate baricentriche. Incidenza, paralleli- smo. Prodotto vettore in R

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ed applicazioni. Insiemi convessi.

Anello dei polinomi a coefficienti in un campo. Divisione con resto di polinomi. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo. Propriet` a di integrit` a e fattorialit` a.

Endomorfismi lineari. Polinomio minimo e polinomio caratteristico. En- domorfismi ciclici. Il teorema di Hamilton-Cayley. Autovalori, autovettori, molteplicit` a. Invarianza, riducibilit` a, decomponibilit` a. Decomposizione spet- trale e di Jordan. Forme canoniche.

Forme bilineari simmetriche ed antisimmetriche e loro forme canoniche.

Ortogonalit` a, basi ortogonali, ortogonalizzazione di una base regolare.

Prodotti scalari reali e distanze. Isometrie lineari. Simmetrie. Decom- posizione di isometrie mediante simmetrie. Classificazione delle isometrie lineari. Prodotti scalari Hermitiani e trasformazioni normali. I quaternioni di Hamilton e la rappresentazione dei gruppi SO(3) ed SO(4).

Cenni di geometria proiettiva e classificazione delle quadriche affini e pro- iettive.

Testo consigliato: M.Nacinovich, Elementi di Geometria Analitica, Liguori 1996.

Gli argomenti trattati si trovano in:

Cap. I §1,2,3; Cap II, §2,3,4,5,6,7,8,9,10,13; Cap III, §1,2,3,4, 5,6,8,10, 11,12,13,14; Cap IV §1,2,4,5,6,7; Cap V, §1,2,3,4,5,6,10; Cap IX §1,3,4,5;

Cap X §1,2,3,4,5,6,7,8, 10,11; Cap XV §1,3,4,5,6,7; Cap XVI §1,2,3; Cap

XVII §1,2,3,4; Cap XVIII §1,2,3; Cap. XXVI §2,3; Cap. XXVII §2,3.

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