Salto in lungo ??

3.16. SALTO IN LUNGO??

PROBLEMA 3.16

Salto in lungo ??

Un saltatore in lungo arriva alla fine della rincorsa con una velocità orizzontale vL. A questo punto salta in una direzione che, nel suo sistema di riferimento, forma un angolo αrispetto all’orizzontale. Sempre nel suo sistema di riferimento il modulo della velocità immediatamente successiva al salto è v0.

Determinare l’angolo α che corrisponde alla massima lunghezza del salto e calcolare l’angolo α⁰corrispondente nel sistema solidale al suolo.

Soluzione

Mettendosi nel sistema di riferimento solidale al suolo avremo le due componenti della velocità iniziale della forma

vx0 = vL+v0cos α v_y0 = v₀sin α che sostituite nell’espressione della gittata

` = ^2vx0vy0 g = ^2v

20

g sin α

v_L

v₀ +cos α



(3.16.1)

ci fornisce la quantità da rendere massima variando α. Derivando otteniamo l’equazione 2 cos²α+ ^vL

v0

cos α−¹=0

che ha per soluzione

cos α=−_4v^vL

0 ± s

1 2 +

v_L 4v₀

2

Se consideriamo l’Equazione (3.16.1) vediamo che la soluzione accettabile deve essere positiva. Infatti, se per assurdo la gittata massima si avesse per un valore di α>π/2, po- tremmo considerare β= π−α: ma dato che sin β=sin α e cos β=−cos α troveremmo un valore della gittata più grande. Quindi

cos α=− ^vL 4v0

+ s

1 2 +

v_L 4v0

2

Notare che per v_L^v0abbiamo

cos α=

√2 2 − ^vL

4v0

+o

v_L v0

₂

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e quindi un angolo leggermente minore a π/4, tendente a tale valore (che corrisponde all’angolo ottimale da fermo). Per vL^v0abbiamo invece

cos α=− ^vL 4v₀ +

 vL

4v₀

 s 1+¹

2

4v0

v_L

2

=− ^vL 4v0

+

 v_L 4v0

 "

1+¹ 4

4v₀ vL

₂ +o

v₀ vL

₄#

=

v₀ v_L

 +o

v₀ v_L

3

e quindi un angolo che diventa molto piccolo.

La tangente dell’angolo nel sistema di riferimento solidale al suolo, infine, è data da tan α⁰ = ^vy

vx = _vL^{sin α}

v0 +cos α

Per v_L^v0abbiamo α⁰ →^{α. Per v}L ^v0abbiamo invece α⁰ →^0.

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