Cap 4.1- Lavoro ed energia

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Nicola GigliettoA.A. 2013/14

Parte I

Abbiamo visto come applicare le leggi della dinamica in varie situazioni.

Spesso per`o l’analisi del moto spesso risulta complicata o in altri casi si verifica che la forza agente `e variabile nel tempo (e quindi anche l’accelerazione). Esiste un approccio alternivo all’analisi del moto che si realizza introducendo i concetti dilavoro ed energia.

4.1 - Lavoro di una forza costante

Il lavoro svolto da una forza F `e definito dal seguente prodotto scala- re: L = (W) =F~ ·∆s = F∆scosθ = (Fcosθ)∆s = F~ s∆s ovvero il lavoro `e pari al prodotto della componente della forza nella direzione dello spostamento, moltiplicato per lo spostamento stesso.

Dalla definizione se una forza `e perpendicolare allo spostamento il lavo-

ro risulta nullo.

F

s Fs θ

Tale definizione comporta che il lavoro ha un segno: se l’angolo θ tra la forza e lo spostamento è θ ≤ 90^◦ il lavoro èpositivoaltrimenti sarànegativo; in quest’ultimo caso la componente della forza nella direzione dello spostamento è di conseguenza opposto allo spostamento stesso. Unità di misura: per il lavoro si usa ilJoule e 1 Joule = 1 Newton · 1m ed è la stessa unità di misura dell’energia.

Parte II

4.4 Lavoro compiuto da forze variabili

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4.4 Lavoro compiuto da forze variabili

Lavoro compiuto da forze variabili

Lavoro compiuto da forze variabili (lungo il percorso)

Estendiamo la definizione usando gli integrali Se lo spostamento `e diret- to lungo x si ha: L =Rx_f

x_i Fxdx `e il lavoro compiuto in uno spostamento sull’asse x.

In generale per una forza ed uno spostamento con qualunque direzione si ottiene che se la forza `e un integrale di lineaRB

A

F~ ·ds~ per cui scomponen- do si haF~ = Fxî+ Fyˆj+ Fzˆkper calcolare il lavoro dobbiamo prima consi- derare lo spostamento infinitesimods~ = dx î+ dy ˆj + dz ˆk di conseguenza il lavoro infinitesimo è dL = ~F ·d~s = F_xdx + F_ydy + F_zdz. Possiamo ri- condurre il caso generico ad una somma di 3 integrali: L =Rr_f

r_i dL =Rx_f

x_i Fxdx +Ry_f

y_i Fydy +Rz_f z_i Fzdz (~r_i= x_iˆi+ y_iˆj + z_ik e ~ˆ r_f = x_fˆi+ y_fˆj + z_fˆk sono i vettori posizione iniziale e

finale) Il lavoro `e additivo, ovvero il lavoro `e pari alla somma dei lavori delle singole forze agenti. Vediamo alcune applicazioni:

(4.2) Lavoro della forza peso

Calcoliamo il lavoro per uno spostamento generico:

L = Z B

A

F~ ·ds~ = Z B

A

Z

(−mg)ˆj ·ds~ =

−mg Z yB

yA

dy = mg(yA− y^B)

Il lavoro della forza peso dipende solo dal dislivello (non dipende dal percorso)

(4.3) Lavoro svolto da una molla

Le molle seguono la legge di Hooke F=-kx che descrive ad esempio il caso di una molla che si pu`o muovere lungo l’asse x. Il lavoro necessario a spostare

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una molla dalla sua posizione di riposo (che assumiamo essere x=0) `e L =

Z B A

(Fel)ˆuxds~ = Z x_f

x_i (−kx)dx =

−1

2kx²|^xx^f_i = −1

2k(x²_f − x²i)

Parte III

4.1 - Teorema del lavoro e dell’energia cinetica

Definiamo come Energia Cinetica la forma di energia connessa allo sta- to di moto di un corpo e si definisce come K = (E_k) = ¹₂mv² e si misura anch’essa in Joule. Il teorema stabilisce che L = ∆E_k= E_k,f − Ek,iovvero che il lavoro compiuto da una forza comporta una variazione di energia cinetica. Questa espressione permette di definire anche l’energia (in generale) come la capacit`a di un corpo a compiere un lavoro. La definizione generale del lavoro (per comodit`a considero solo uno spostamento lungo x)

`e : L =R_x_f

xi F_x(x)dx eFx= max⇒L =R_x_f

xi ma_xdx esplicitiamo la funzione integranda:

ma_xdx = mdv_x

dt dx = mdv_x dx

dx dtdx =

= mvx

dvx

dx dx = mvxdvx

avendo usato le regole di derivazione delle funzioni composte. Quindi si ottiene L =Rxf

xi F_x(x)dx =Rvx,f

vx,i mv_xdv_x= [¹₂mv_x²]^vv^x,fx,i Se teniamo conto anche delle altre componenti risulterà quindi L = ¹₂mv_f²− ¹₂mv²_i = ∆E_k= ∆K Di conseguenza il teorema si può applicare in qualunque situazione (ad esempio quando F ed a sono variabili). Pertanto abbiamo dimostrato il teorema, che stabilisce che l’energia cinetica aumenta se il lavoro è positivo o diminuisce se il lavoro è negativo. In altre parole possiamo anche dire che l’energia cinetica è pari al lavoro necessario a portare alla velocità v un corpo inizialmente fermo o il lavoro cambiato di segno per fermare un corpo di massa m in moto con velocità v.

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Nicola GigliettoA.A. 2013/14 1 ESERCIZIO

Lavoro svolto da una generica forza in 3d

Concludiamo questa parte di teoria verificando la validit`a del teorema anche nel caso di forza qualunque con direzione generica: il lavoro infinitesimo scritto in termini delle componenti: dL = ~F ·ds~ = F_xdx + F_ydy + F_zdz per cui il lavoro totale `e L =Rr~f

~ ri

F~ ·ds~ =Rxf

xi Fxdx +Ryf

yi Fydy +Rzf

zi Fzdz e per ognuna delle componenti valgono i teoremi dimostrati prima.

Potenza

Definiamo come Potenza la rapidità con la quale viene sviluppato un lavoro nel tempo ovvero in termini matematici: ¯P =< P >= ^∆L_∆t (Potenza media) P = ^dL_dt (Potenza istantanea)La potenza si misura in Watt (W): 1W=1J/1s Dalla stessa definizione è possibile dare una unità di misura alternativa per l’energia: L =< P > ∆t ⇒ Watt x secondi = Joule (energia) ad esempio: 1 wattora (1 watt · 1 hr) = 1 W · 3600 s= 3600 J e analogamente per i multipli.

Legame Potenza-Forza

P = ^dL_dt = _dt^d( ~F ·ds~ ) = ~F ·^d~_dt^s = ~F · ~v (per F costante) Verifiche

Quale affermazione delle seguenti `e l’unica corretta?

[¡+-—alert@+¿]Il lavoro è dato dal prodotto vettoriale di ~F e ~sIl lavoro è Fs, con F forza e s spostamento Un lavoro positivo fa aumentare l’energia cinetica Il lavoro non è mai negativo La 3) è quella giusta

1 Esercizio

Esercizio

Una cassa di M=15 Kg `e trascinata in salita su una piano rampa liscia a velocit`a costante, per una distanza d= 5.7 m e fino ad una altezza h=2.5 m rispetto al punto di partenza, ed infine si arresta. Calcolare:

1.

2.

3.

4.

1. il lavoro svolto dalla forza peso;

2. il lavoro della tensione T della fune usata.

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Nicola GigliettoA.A. 2013/14 3 PROBLEMA 7.17

Soluzione: 1) la forza peso è costante quindi il lavoro è dato da L = P~·d~= mgcos(90^◦+θ)d = −mgsinθd e θ è l’inclinazione della rampa rispetto all’orizzonte data anche da sinθ = ^h_d quindi L = −mgd^hd = −15Kg9.8m/s²· 2.5m = −368J 2) La tensione della fune T non è nota quindi non possiamo sapere se è una forza costante a meno che non risolviamo la dinamica del sistema (quindi fare il bilancio delle forze ecc.) Tuttavia possiamo usare il teorema del lavoro e dell’energia nella forma generica e applicata a tutte le forze agenti: L = ∆E_k = 0 perchè il corpo parte da fermo e si ferma alla fine. L =R ( ~P + ~T + ~N) ·ds~ = LP + LN+ LT Il primo termine è già noto, N è la reazione normale del piano che essendo normale è perpendicolare allo spostamento che è parallelo al piano. Quindi L_N = 0 ed in definitiva LP+ LT = 0 ⇒ L^T= −L^P= +368J

2 Problema 7.8

Problema 7.8

Un blocco di massa M=0.4 Kg scivola, con velocit`a costante v=0.5 m/s, su un piano orizzontale privo di attrito. Il blocco si arresta comprimendo una molla collocata sul suo percorso. Se la costante elastica `e k=750 N/m di quanto viene compressa la molla?

Il lavoro per comprimere una molla `e L =Rxf

xi F (x)dx = Rxf

xi (−kx)dx =

−¹₂k(x²_f − x²i) e nel nostro caso xi = 0 è la posizione a riposo della molla e xf è la posizione finale ignota. Applichiamo il teorema L = ∆K = −¹₂kx²_f e per l’en. cinetica ∆Ek = ¹₂(M v_f²− Mvi²). La velocità finale eec vf = 0 quindi −¹₂kx²_f = −¹₂M v_i² da cui x²_f = ^{M v}_kⁱ² ⇒ x^f =

qM

kvi = 1.2cm.

3 Problema 7.17

Problema 7.17

Un elicottero recupera un uomo di massa M=72 Kg, sollevandolo di 15 m, con una accelerazione pari a 0.1g. Calcolare il lavoro fatto sull’uomo:

a) dall’elicottero;

b) dalla forza peso;

c) la velocit`a e l’energia cinetica dell’uomo un attimo prima di entrare nell’elicottero.

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Durante la salita si ha T − Mg = Ma il lavoro fatto dall’elicottero `e il lavoro fatto dalla tensione della fune W = L = Rh

0 T dxricavando T dall’eq. della dinamica T = M (g + a) = 72(1 + 0.1)g = 79.2 · g N ⇒ Lel = T · h = 79.2 · 9.8 · 15 J = 1.2 · 10⁴ J L^P = −Mgh = −1.1 · 10⁴ J L^tot= L^el+ L^P = ∆Ek= ₂¹Mv²_f ⇒ L^tot = 0.1 · 10⁴ J e vf =

q2Ltot

M =

5.4 m/s

4 Esercizio

Un blocco di massa M è tirato da fermo da una forza F. Conside- rando che M=6Kg e F=12N, calcolare la velocità del blocco dopo aver percorso un tratto di s=3m, sia nel caso del piano liscio che il caso del piano scabro, con µd= 0.15. Nel caso il piano sia liscio e senza attrito possiamo utilizzare il teor. lavoro-en.cinetica dal momento che si vuo- le sapere solo la velocità finale (cambiava totalmente la risoluzione se si vole- va conoscere il tempo impiegato): il lavoro complessivo è L = ( ~F+ ~N+ ~P)·~s ma ~N e ~P sono ⊥ a ~s quindi risulterà L = F s = ∆Ek e poichè vi = 0 al- lora si ha F s = ¹₂M v_f² da cui ricaviamo v_f² = ^{2F s}_M = ^2·12·3₆ m²/s² per cui vf = √

12m/s = 3.5m/s Nel secondo caso agisce anche la forza di attrito che risulta essere costante e pari a F_a = µ_dN = µ_dM g ed il lavoro totale è L = (F − Fâ)s = F s − µ^dN s = F s − µ^dM gs con il segno meno che nasce dal fatto che la forza di attrito ha verso opposto allo spostamento. In realtà tutte le forze di attrito producono lavori negativi in quanto oppongono re- sistenza al moto e tendono aridurrel’energia cinetica. Facciamo i conti:

Fa= 0.15·6·9.8N = 8.82N quindi L = (F −F^a)s = (12−8.82)·3J = ∆E^k⇒ v²_f = ^{2(F −F}_M^a^)s = 3.18m²/s² ⇒ v^f = 1.8m/s

Esercizio 22P

Un blocco di 250 Kg è lasciato cadere su una molla verticale avente costante elastica k=2.5N/cm. Il blocco rimane poggiato sulla molla che si comprime di 12 cm prima di fermarsi. Durante la compressione quale lavoro viene svolto (a) dalla molla, (b) dalla forza di gravità (c) qual’era la velocità del blocco al momento dell’urto con la molla?

(d) raddoppiando la velocit`a quanto diventa la compressione della molla? k = 2.5 N/cm = 250 N/m a) Lavoro molla: L = −¹₂k(x²_f − x²i) =

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−¹₂kx² = −125 · (0.12)² J b) Lavoro gravita’ L = mgh > 0 non sapendo h possiamo usare il teorema lav-en. cinetica: L = L^p+ Lm= 0

Esercizio 7.31 (ed.VI)

La cabina di un montacarichi a pieno carico ha una massa complessiva di 1200 kg e deve salire di 54 m in 3 min. Il contrappeso ha una massa di 950 kg. Supponendo il movimento a velocità costante trovare la potenza richiesta al motore quando il cavo solleva la cabina. Complessivamente se la cabina sale (lavoro negativo), il contrappeso scende (lavoro positivo) e si ha che LM− Mg · 54 + mg · 54 = 0 (non varia l’en. cintetica) per cui il lavoro del motore è L^M = (1200 − 950) · 9, 8 · 54 = 132.3 kJ la potenza è

L

∆t = ¹³²³⁰⁰₁₈₀ = 735 W Esercizio 7.46 (ed VI)

Una cassa di massa 230 kg `e sospesa tramite una fune lunga 12,0 m. Spingendo orizzontalmente sulla cassa con una forza F variabile, la spostiamo di 4 m sul piano orizzontale.

1. a) Qual’eec l’intensit`a della forza nella posizione finale?

2. b) Qual’`e il lavoro totale fatto sulla cassa?

3. c) Qual’`e il lavoro fatto dalla sola peso e dalla fune?

Per i punti b) e c) tenere conto che all’inizio e alla fine la cassa `e ferma.

Nella posizione finale abbiamo una situazione di equilibrio il diagramma delle forze ci suggerisce le seguenti equazioni: x: F − T sin θ = 0 e y:

+T cos θ−Mg = 0 pertanto T = _{cos θ}^{M g} eF = T sin θ = Mg tan θe tan θ = _L^d per cui F = 230 · 9, 8₁₂⁴ = 751, 3 N b) Il teorema del lavoro-en.cinetica ci dice che L = L^F + L^P + L^T = ∆E_k = 0 pertanto il lavoro totale `e nullo inoltre L^P = M~g · ~d = 0 (perch`e . . . ) e L^F = ~F · ~d = F · d =