CAPITOLO 5
LAVORO ED ENERGIA
5.1 GENERALITÀ
In questo capitolo si farà riferimento a concetto quali lavoro ed energia termini che hanno nella tecnica significati precisi molto diversi dal linguaggio quotidiano. Si accennerà anche forme diverse di energia: energia cinetica legata alla velocità assunta da un corpo e potenziale associata alla sua posizione.
5.2 LAVORO
E' opportuno ricordare la definizione di questa grandezza fisica di grandissima importanza: si consideri un corpo in moto (velocità w
), lungo la traiettoria rappresentata in figura. Sul corpo agisce una forza F
formante un angolo con il vettore velocità w.
Nell'intervallo di tempo d il corpo si sposta sulla traiettoria della quantità:
d s w d
Il lavoro dL compiuto dalla forza F nel tempo d è definito dal seguente prodotto scalare:
dL F d s F w d
Si ricorda che il prodotto scalare di due vettori è pari al prodotto dell'uno per la proiezione dell' altro nella stessa direzione per cui si ha anche
dL = F cos ds
Il lavoro dL è evidentemente positivo se la componente della forza nella direzione dello spostamento (F cos e ds hanno lo stesso verso.
In generale il lavoro totale compiuto da una forza F F s
( ) nel tratto di traiettoria compresa tra s1 ed s2 sarà dato dalla somma dei singoli contributi dLF d s lungo il percorso da s1 a s2 .
L'integrazione di tale espressione lungo l'arco di traiettoria potrà effettuarsi con le dovute modalità matematiche, ovviamente solo se sarà conosciuta la funzione F F s
( ).
Se poi sul corpo agiscono più forze, il lavoro totale compiuto da esse risulta pari a quello compiuto dalla risultante delle stesse:
dL F d s F d s F d si F d s
i
1 2 ...
ris Si osservi infine che quando una forza F agisce perpendicolarmente allo spostamento ds, non viene compiuto alcun lavoro (cos = 0). Ad esempio la forza di gravità non compie alcun lavoro su di un corpo in moto su un piano orizzontale.
L'unità di misura del lavoro è il "Joule" simbolo (J): il lavoro di un joule corrisponde allo spostamento di 1 metro del punto di applicazione di una forza di 1 Newton agente nella direzione dello spostamento stesso; si ha quindi:
1 (J) = 1 (N) • 1 (m)
Esempio
Un carrello, sottoposto ad una forza peso F = 400 (N), scende lungo un piano inclinato ( = 30°), azionando un argano. Calcolare il lavoro della forza peso F nel tratto s = 15 (m), ipotizzando nulli tutti gli attriti.
Soluzione
Considerando solo i moduli si osserva che la componente della forza peso F nella direzione dello spostamento vale F cos dove = (90° - = 60°. Si ha, quindi:
L = F cos s = 400 (N) cos 60° 15 (m) = 3000 (J)
5.3 ENERGIA CINETICA
Si consideri un corpo (massa m) in moto su di un piano senza attrito con velocità wo.
A partire dall'istante o su di esso agisce una forza F costante e parallela alla direzione del moto per secondi. Il moto lungo l'asse x è quindi uniformemente caratterizzato da un'accelerazione a costante. Il lavoro dL compiuto dalla forza applicata F in un tratto dx è:
dLF ds F dx I moduli di F e di a sono esprimibili da:
F = m • a = m dw/d
dx = w d
per cui:
w d m w dw
d mdw dx F
dL
Il lavoro L compiuto dalla forza F è:
c w
w
E w
m w
m dw w m
L
12 2 21 20 0
E, cioè, L eguaglia la variazione della quantità 2 20 2 1 2
1m w m w o variazione di energia
cinetica del corpo ΔEc.
Si introduce qui per la prima volta il termine "energia".
Si può osservare che il corpo, qualora riducesse la sua velocità da w a wo potrebbe, a sua volta, rendere disponibile opposta quantità di lavoro L’:
Ec
w m w
m
L' 20 2 2
1 2
1
L'unità di misura della energia cinetica e, pertanto, di qualunque altra forma di energia, è quindi uguale all'unità di lavoro [J].
5.4 ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE
Mentre, come descritto, l'energia in forma cinetica risulta associata al moto di un corpo, con il termine di energia potenziale si intende definire una forma di energia (capacità di compiere un lavoro) associata alla posizione del corpo stesso.
Si possono considerare forme diverse di energia potenziale, la più comune è l'energia potenziale gravitazionale.
Si immagini, ad esempio, di muovere una massa m (w = cost.) dalla quota H2 alla quota H1; per fare cio è ovviamente necessario applicare al corpo una forza esterna F' eguale e contraria alla forza peso F = - m g agente sul corpo.
Il lavoro L'1,2compiuto dalla forza F' applicata è:
2 1
2 1 '
2 , 1
' ( )
1
2
mgH H
g m H H g m ds F L
H
H
L'espressione ottenuta suggerisce l'idea di attribuire alla massa m alla quota H un’energia di posizione Ep o energia potenziale gravitazionale:
Ep = m g H Grazie a questa idea di nuovo può scriversi:
L'1,2 = Ep
e cioè la variazione di energia potenziale corrisponde al lavoro della forza esterna applicata.
In riferimento ora al lavoro L1,2 compiuto dalla forza peso F risulta:
L1,2 = -Ep
E' opportuno osservare che la variazione di energia potenziale Ep dipende solo dalla differenza di quota (H1- H2) = h e non dal cammino percorso.
Si può osservare che se il corpo viene portato lungo il cammino A B tratteggiato in figura dalla quota H2 alla quota H1, risulta possibile scomporre il percorso secondo una successione di spostamenti orizzontali e verticali. I tratti orizzontali non possono fornire contributi al lavoro complessivo essendo sia la forza applicata F' o che quella peso F perpendicolari allo spostamento. Gli unici contributi significativi riguardano quindi i soli tratti verticali di percorso.
Quando il lavoro compiuto da una forza è indipendente dal percorso, come ad esempio si è appene visto per la forza peso F, si dice che tale forza è conservativa e in tal caso è sempre possibile introdurre una funzione energia potenziale Ep che dipende solo dalla posizione del corpo. Se una forza è conservativa, anche il lavoro totale da essa effettuato lungo un qualsiasi percorso chiuso, e cioè un percorso che riporti il corpo in esame nella stessa posizione iniziale, è nullo.
Ad esempio, si consideri il percorso complessivamente chiuso indicato in figura (21 andata,1 2 ritorno). Risulta evidentemente, in riferimento ai lavori fatti dalla forza peso:
L21 + L12 = - m g (H1 - H2) - m g (H2 - H1) = 0
Si usa esprimere tale condizione nel linguaggio matematico con l'espressione sintetica:
dL
F ds
0ove il simbolo
indica che l'integrale è da valutarsi lungo una qualunque linea chiusa.5.5 ENERGIA POTENZIALE ELASTICA
Un altro comune esempio di forma di energia legata solo alla posizione è fornito dal comportamento di una molla allungata o compressa. Si consideri la molla rappresentata in figura; in posizione di riposo nessuna forza è applicata all'estremo della molla (x = 0).
Per allungare la molla della quantità x occorre applicare una forza F' uguale e contraria alla forza di reazione della molla Fel, la quale, come già detto, dipende linearmente dallo spostamento x dalla posizione di equilibrio (legge di Hooke) Fel= - kx, dove con k è indicata la costante elastica della molla.
Si consideri ora il lavoro che la forza applicata F'= - Fel deve compiere per allungare la molla dalla posizione di riposo della molla (x = 0) alla generica posizione x.
e x
x
E x
k k
x k dx x k
L
2 2
2
0 2
) 1 0 2 ( 1 2
1
Ossia, anche in questo caso si osserva come la variazione di energia potenziale elastica corrisponda al lavoro della forza esterna applicata.
5.6 PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL' ENERGIA MECCANICA
Si consideri la caduta di un corpo (massa m). Alla quota H1 la velocità del corpo sia w1. Supponendo trascurabile la forza di attrito con l’aria il corpo si muoverà verso il basso con moto uniformemente accelerato. Alla quota H2 il corpo ha percorso uno spazio s= - (H2 - H1 ); è stato complessivamente compiuto dalla forza peso F= -mg un lavoro L1,2 pari a:
0 )
( 2 1
2 , 1
2
1 2
1
p H
H H
H
E H
H g m ds g m ds
F
L
Il lavoro compiuto dalla forza peso L1,2 eguaglia, d'altra parte come già visto, la variazione di energia cinetica:
L1 2 Ec 1m w22 m w12 2
1
, 2
Uguagliando le due espressioni del lavoro L1,2:
Ec = -Ep E, quindi:
2 1 2
2 2
1 2
1m w m w =- (m g H2 - m g H1 )
Tale relazione può essere anche scritta nella forma:
.
2 cos
2 1
1 E E E t
Ep c p c
Si può dire che in ogni istante durante la caduta, la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale è costante e cioè pari all'energia totale meccanica iniziale del sistema ET1.
Si supponga ora di voler calcolare la velocità w2 del corpo raggiunta alla quota H2 e cioè dopo una caduta s = - (H2 - H1 ). Si supponga il corpo fermo nello stato iniziale (indice 1, quota H1 , w1 = 0). Anziché usare l’equazione esprimente la velocità del punto materiale per moto uniformemente accelerato come w = f (wo , a, s) già illustrata nel capitolo di cinematica ottenendo immediatamente:
w22 = 2 g s
si può ottenere lo stesso risultato in modo assai semplice facendo uso di questa importante idea di conservazione. In particolare, essendo:
Ec1 = 0 si può scrivere:
2 2
2 2
1
1 2 1
p p
c
c p
p T
T
E E
E
E E
E E
E
E, cioè:
2
2 2
1m w = (m g H1 - m g H2)
Da cui si riottiene, ricavando w2, la nota relazione di cinematica del moto uniformemente accelerato:
s g H H g
w22 ( 1 2)
Più in generale, si può affermare che l'energia cinetica e potenziale (energia meccanica) di un sistema di corpi (ad esempio il nostro pianeta ed il corpo m qui considerato) è costante se nell'ambito del sistema stesso agiscono solo forze conservative e sono assenti scambi di energia o di lavoro con tutto ciò che è esterno al sistema.
5.7 PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL' ENERGIA
In riferimento all'esempio prima discusso, e cioè alla caduta libera di un corpo in assenza di forze di attrito, ci si può chiedere che cosa comporta invece la presenza di tali forze tipicamente non conservative (attrito con aria).
Come si può facilmente osservare, in presenza di attrito, il corpo di massa m raggiunge la quota H2 prima considerata, animato da una velocità minore di quella raggiunta nel caso precedente, e cioè: w2 w2 .
In conseguenza di ciò risulta: EC2 EC2
per cui è anche: 2 1
2 T
c
p E E
E
ossia, l' energia meccanica totale del sistema ET = ET1 non si è conservata.
Un'analisi più approfondita mostra, però, che la quantità di energia mancante o decremento di energia meccanica EM verificatosi in realtà corrisponde esattamente al lavoro meccanico dissipato in attrito La. Tale lavoro di attrito si ritroverà, come si vedrà nella parte di termodinamica, in una maggiore energia di eccitazione delle molecole del corpo e dell'aria circostante e cioè in una nuova forma di energia, detta energia termica.
Se tale termine La = EM viene considerato nel bilancio energetico, si può ancora scrivere :
.
2 cos
1 E E t
ET T T
In generale, in riferimento ora un sistema fisico qualunque (porzione di materia o spazio racchiuso entro ben distinti confini) che sia "isolato" da ciò che lo circonda (il termine isolato significa che si è operato in modo da evitare la possibilità di scambi di energia nelle sue varie forme attraverso i confini del sistema).
In tali condizioni, se all'interno del sistema sono individuabili ad un certo istante forme di energia di tipo E1 , E2 , E3, e se il sistema si è trasformato fino ad assumere una nuova ripartizione di forme di energia E E E E1, 2, 3, 4. risulterà sempre:
2 3 4 1 2 3 4
1 E E E E E E E
E
Ossia, l'energia totale del sistema non varia.
Il principio di conservazione dell'energia può essere così enunciato: "in un sistema isolato l'energia non si crea nè si distrugge, in ogni trasformazione la sua quantità totale rimane costante."
Esempio
Un corpo di massa m = 1.5 (kg), fermo inizialmente ad un’altezza dal suolo di H=3 (m) su di un piano inclinato (=30°) scivola senza attrito. Quale sarà la velocità assunta dal corpo alla fine del piano inclinato?
Soluzione
Il problema può essere facilmente risolto applicando il principio di conservazione dell' energia. Inizialmente al sistema compete solo energia potenziale di tipo gravitazionale (w1= 0) pari a:
Ep1 = m g H
Dopo aver percorso tutto il piano inclinato, l'energia potenziale iniziale si è trasformata totalmente in energia cinetica. Si può quindi scrivere per la conservazione dell' energia totale:
Ep1 = Ec2 E, cioè:
22 2 1m w H
g
m
pertanto:
w2 2gH Risulterà, quindi:
w2 = 7.7 [m/s]
Se avessimo voluto risolvere il problema con l’equazione esprimente la velocità per moto uniformemente accelerato avremmo dovuto valutare il modulo dell’accelerazione causata dalla componente della forza peso F nella direzione dello spostamento.
Analogamente all’esempio già visto nell’esempio all’inizio del capitolo il modulo dell’accelerazione vale a = g cos dove = (90° - = 60°.
Lo spazio percorso vale.
s = H/sin [m]
Si ha, quindi:
) / ( 7 . 7 6 5 . 0 81 . 9 2 cos
2 2 g s m s
w
In presenza della forza di attrito, la velocità acquistata sul piano inclinato sarà minore; il principio di conservazione dell'energia potrà applicarsi solo tenendo conto dell'energia
5.8 POTENZA
La potenza rappresenta la rapidità con cui viene eseguito un lavoro: se in un intervallo di tempo si esegue il lavoro L, la potenza media Pm è:
P L
F s
m
[J/s]
Come è già stato similmente definito il concetto di velocità istantanea, possiamo definire la potenza istantanea come :
P L
F s
F w
lim
0
[J/s]
L'unità di potenza nel sistema S.I. è il "watt" (1 W = 1 J/s), talvolta viene ancora usata come unità il "cavallo vapore" (1 Cv = 735 W). Nella pratica è molto usato (come unità di misura dell'energia) il kilovattora [kW • h] e cioè, ad esempio, l'energia complessivamente consumata da un motore della potenza di 1 kW in un ora (1 kWh = 3.6 • 106 J). Si osserva, poi, che la potenza utilile fornita da un motore all’utilizzatore, non corrisponde mai a quella che questo potrebbe potenzialmente fornire in assenza di attriti interni. Sulla base del principio di conservazione dell’energia la parte di energia mancante si è convertita in energia termica (calore) in conseguenza di questi fenomeni interni.
Esempio
Una pompa per irrigazione trasferisce, ogni 20 min, 30 m3 di acqua in un canale con un dislivello h = 10 (m) sopra il livello di un fiume. Si valuti, applicando il principio di conservazione dell’energia e supponendo assente ogni attrito, la potenza meccanica richiesta dalla pompa. In base al principio di conservazione dell'energia, il lavoro teorico necessario per sollevare m (kg) di acqua è pari alla variazione di energia potenziale:
L = m g h La potenza sarà, quindi:
P L mgh Vgh
ove si è posto m = V con densità dell'acqua ( = 1000 kg/m3). Risulta quindi:
) ( 60 2450
20
10 81 . 9 30
1000 W
Vgh mgh
P L
Ovviamente, in un caso reale la potenza necessaria sarà maggiore di quanto calcolato perché una parte di lavoro meccanico verrà dissipata per attriti.
