Lavoro ed Energia

Lavoro ed Energia

L. Martina

Dipartimento di Fisica, Università del Salento, Sezione INFN - Lecce

1. Che cos’e’ l’energia 2. La Forza Peso

3. Il lavoro della Forza Peso 4. Il lavoro delle forze di attrito

5. Lavoro di forze generiche: Forze Conservative e Non 6. Energia potenziale della Forza Peso

7. Macchine

8. Energia cinetica

9. Teorema dell’Energia Cinetica

10. Forze Centrali e interazioni fondamentali

11.Altri esempi celebri e analisi qualitativa dei moti

12.La forza di Lorentz

Che cos’e’ l’energia

Ad ogni sistema fisico e’ associata una grandezza numerica:

l’ ENERGIA,

L’ ENERGIA,

esprime la capacita’ di un sistema a compiere

LAVORO

Ahh … Quanto pesa il macigno !!

Ho fatto un bel lavoro!

Che bella noce !!!

Che delusione, riproviamo !!!

Il piatto e’ servito !!!

Ma che ENERGIAEN ERGIAERGIA per prepararlo!ergon = LAVORO EN  en =IN

C’e’ della

Capacita’ di compiere Lavoro

nel macigno sollevato ad una data altezza

La Forza Peso

• Una Forza e’ una grandezza fisica vettoriale , la cui intensita’

e’ misurata con il dinamometro

• La Forza Peso e’ quella esercitata dalla Terra su ogni altro corpo

in prossimita’ della sua superficie

• II Principio di Newton:

• Quando una Forza muove qualcosa fa un Lavoro

a M

F  



g m F 





 ^P

^P

 ^{F P}

^P

Lavoro    

Lavoro di una forza costante

 

in fin in fin

cos

x in fin y in fin z in fin

x y z

F P P F P P

F P P F P P F P P



  

 

 

 

P_in

P_fin F

P_inP_fin p/2

nel SI il lavoro si misura in Joule = Newton X m

Dimensioni : [ Lavoro ] = [ Forza ] [ spostamento] = ML T^-2 L = ML² T^-2

P_in

P_fin

F

P_inP_fin x f

z y

macigno

F 

H 

 

 

0

?

Peso in fin

peso macigno macigno

Gigante in fin

Lavoro P P

F H M g H

Lavoro P P

 

   

 

 



Qual e’ il Lavoro compiuto dalla (sola) Forza Peso sul macigno ?

Forze

non necessariamente

costanti, uniformi, attriti interni, …

macigno

F 

H 

 

0

Peso in fin

peso macigno macigno

Lavoro P P

F H M g H

 

     

P

P

P

P

1 attr1 1 attr 1

Lavoro  F     l  F l  l 

P _iniziale

P _finale

1

F 

P _iniziale

P _finale

l 

l 

2

F 

3

F 

attr attr

attr

attr

F F F

F 

 

 



   

2

2 2 3 3

iniz med med fin

attr attr

Lavoro Lavoro P P Lavoro P P

F l F l

   

         ^{ F}

 ^{l }

^{ l }



3 2

1

l l

l   





1 2

Lavoro  Lavoro

Lavoro delle forze di Attrito

(radente)

 

tot iniziale finale i i

i

Peso iniziale finale

Lavoro P P lungo F l

F P P

g

  

 

 ^{ }





l_i

Lavoro di una Forza uniforme lungo un cammino arbitrario

P

Vero solo per forze uniformi !!!!!

F_i = F_Peso

P

g

Lavoro di una Forza non uniforme

lungo un cammino arbitrario

 

tot iniziale finale i i

i

Lavoro P  P lungo g   F l ^  ^

P

P

F_i l_i

g

 0

Pi

l 

  ^,

Lavoro F F dl

g   g  ^

 

Forze Conservative e

Non Conservative

  ^,

iniziale

P

Lavoro F ^ g  

F dl ^  ^

  ^,

 ^,



Lavoro F  g  Lavoro F  g

 ^,

 ⁰

Lavoro F  g   g g 

 ^,

 ⁰

Lavoro F  g   g

CONSERVATIVA

F 

P _iniziale

P _finale

g₁

g₂

g_chiusa

g₂

La Forza Peso e’

CONSERVATIVA

P

F_i = F_Peso

P

g

g

 

   

 

1 2

1 2

,

, ,

0

Peso chiusa

Peso Peso

Peso iniziale finale Peso iniziale finale

Lavoro F

Lavoro F Lavoro F

F P P F P P

g g g

g g

  

  

    



 

 

 

Il lavoro dipende solo dagli estremi del cammino,

non dal cammino stesso

Energia Potenziale della Forza Peso

  ^{ }  

   

   

 

, ˆ

finale iniziale Peso iniziale finale

iniziale iniziale finale

iniziale finale iniziale

iniziale

U P U P Lavoro F P P

U P Mg z P P

U P M g z z

U P M g h

   

   

  

 





P

F_i = F_Peso

P

z_finale

z_iniziale z

x

In P

la particella possiede una energia potenziale

U(P

) ,

che consente alla Forza Peso di compiere il lavoro

M g h = U(P

) - U(P

) nel riportarla in P

h

Energia Potenziale

di Forze Conservative

 ^, 

iniziale

P

iniziale finale P

Lavoro F P ^  P   F dl ^  ^

 





1 g g

g

Lavoro Lavoro Lavoro

Fissato arbitrariamente P₀ l’Energia Potenziale e’ definita da

 

U P   

F dl ^  ^

P _iniziale

P _finale

g₁ g₂

g₃

P ₀

 

  ^{ }

0

0

0 0

,

finale finale

iniziale iniziale

finale iniziale

iniziale finale

iniziale finale

P P P

P P P

P P

finale iniziale P P

P P

Lavoro F P P

F dl F dl F dl

F dl F dl U P U P U

 

     

 

         

  

 



  

  

 

 

L’Energia Potenziale dipende dalla posizione del corpo relativamente a un punto di riferimento Gravitazionale

Elettrica Elastica

…

Variazione di E. P.

• Sollevare pesi usando la Forza Peso

• Usare l’energia potenziale di certi Pesi per spostare (compiere lavoro su) altri Pesi

Macchine

F 

2

1

F 

F 

2 2

U F L

  



^, 

Lavoro F  l   F l

2

F appl l   U

1 1

U F l

 

•Macchine ideali

•Le Macchine ideali sono reversibili

A parita’ di condizioni,

puo’ una macchina reale fare meglio di una ideale?

l L _l L

F 

F 

F 

F 

2

2 1

1

reale ideale

l  l

 

1 _appl , 2

U Lavoro F l U

     

1 2 0

U U

   

reale ideale

l  l

L

F 

F 

Macch. B (reale) (0-4)

L

Macch. B (reale) (1)

Macch. A (rev.) (2)

L

L

Macch. A (rev.) (3)

?

Forza. Motrice “gratis”

MOTO PERPETUO 1

1 1

2 2

2

2

Verifica Sperimentale: il moto perpetuo NON ESISTE

Una macchina reale migliore di una ideale consentirebbe

il moto perpetuo! (I specie)

•Le macchine ideali (reversibili) sono “le migliori”

•Tutte le macchine reversibili producono lo stesso effetto a parita’

di condizioni

•Si torna esattamente alla situazione di partenza indipendentemente dal “cammino”

•La non esistenza del moto perpetuo di I specie equivale alla Conservazione Energia

reale ideale

l  l

1 2 0

U U

   

1 2 0

M g l  M g L 

Es1: Le leve

F  2 L  l 

2

1

b

b

F  1

1 1 2 2

M b  M b

O

Legge di Archimede sulle leve

Es.2 Su un piano inclinato liscio (senza attrito) di lati assegnati e filo inestensibile, qual e’ il rapporto delle masse perche’ si abbia l’equilibrio (reversibilita’)?

4l 3l 5l

M m ?

4l 3l 5l

M

m ? 5l

  Mg 3 l    mg 5 l  0 m M 5

 3

L’epitaffio di Stevino

p R L

F L

Mg  2 p Mg

R F p

p

 2

Es.3 Il martinetto a vite (senza attrito): quale forza F debbo applicare al braccio per mantenere in equilibrio il martinetto carico con la massa M?

Torricelli:

tanto si guadagna in forza quanto si perde in cammino M

R p

F ? L

p F ? p L

2

Momento della Forza

NB Lo spostamento L e’ un parametro , che definisce possibili mutamenti de sistema, ma non interviene nel risultato finale

Es.4 (OlIFis 2002)

Determinare la condizione di equilibrio per il sistema

costituito dal disco di massa M, vincolato ad un grave di massa K M con un filo inestensibile e privo di massa, che passa

attraverso una carrucola C, priva di massa. Il contatto tra disco e filo e’ senza attrito

1. Quali parametri definiscono la configurazione del sistema?

2. Cosa significa “ condizione di equilibrio “ ?

3. Come si calcola U attorno a q_eq ?

q

disco grave

0

U U q q q

     

q

Trovare !!!

' 0 M g z  ^ K M g z  ^

O

C

A R B

K M M

D z

q

q q

q

z

z’

4. Come calcolare z’ in termini di z e q?

Usare l’inestensibilita’ del filo

e le relazioni geometriche

5. Risolvere l’equazione trigonometrica

'

z OC CA AB

      

2sin cos

OC R  OC q  z

 q 

2

sin z

q   R q 

tan 2 cos

R z

CA  CA 

q q

 

2 sin

AB  R q  AB  q  z

2 2

1 cos 1 2 sin

K q cos q

q

 

      

q O

C

A B

K M M

O’ B’

D D’

z

qq q

z

z’

1 8 1

cos 1 1

16 K 4

q   ^    ^   

6. Interpretare da un punto di vista fisico la soluzione ottenuta

Energia cinetica

O h₀

h₁

2 0

1

2

1 gt h

h   

F mv mg

mv g

t  v  

F v m F

mv m

F F

g mv h

h

2 2 2

0

1

2 2

1 2

1   



 



 

 



 



 









F h  h  U  U   U

 

 

 

2 2

finale iniziale

iniziale finale

m m

v  v    U Lavoro P  P

 

 

2 2

finale finale iniziale iniziale

m m

v  U  v  U

1. Energia cinetica

2. Conservazione dell’energia meccanica

2

2 1 mv T 

E    T U const

h0

h1

X g₁

g₂

v₁(X)=v₂(X)

const mgh

v

m

  2

1 

Es. 1 Romeo vuole passare a Giulietta,

che si trova affacciata al balcone di altezza h

dal suolo, una rosa di massa m: qual e’ la velocita’ minima di lancio?

    ⁰

0 2 2

2

  m v



m mgh

h

gh v

 2

Es 2 Una massa m sospesa con una fune ideale trascina una seconda massa M, posta su un piano senza attrito e inizialmente con velocita’ V₀.

Quanto vale la velocita’ del sistema se m scende di h?

M

m h

 

 

2 2

2

2 M V

m V mgh

M V

m v



  

v V 

2 0

2 V

M m

V mgh

v



 



Particella su piano orizzontale con attrito radente: se inizialmente ha velocita’ v0, quanto spazio percorre prima di fermarsi?

v₀

F 

Teorema dell’Energia cinetica

 ^v

 ^m  ^v

 ^Lavoro

 ^P

^P



m



 

2 2

L ?

v_fin =0

 P

P

 LF

Lavoro     

 

2 0 2

2 m v

m v

T  m   



F

v L m

2 0

 2

Es1

l h

m

F ?

 

 

2

0

2 2

m m

T v F l

    

 

 

1 0

0

2 2

m m

T v mgh

   

l F  mgh

Es2 Una massa inizialmente ferma cade da un’altezza h su un terreno,

affondando per una profondita’ l: determinare la resistenza offerta dal terreno

Es3 La massa m giace su un piano orizzontale liscio e vincolata da una fune ideale, che si puo’ avvolgere attorno ad un cilindro rigido di raggio R.

Se inizialmente si muove con velocita’ angolare wⁱⁿ, quale sara’ la sua velocita’

dopo un dato numero di avvolgimenti?

 0













 L F 

r  F 

v  t

 

 

^{ ,  0}

2 2

finale iniziale

T

m m

v  v  Lavoro F g  w

l

v  l

w

 l

w

Es4 La massa m giace su un piano orizzontale liscio e vincolata da una fune ideale, che attraversa un foro centrale e tirata da una forza F.

Se inizialmente si muove con velocita’ angolare wⁱⁿ, quale sara’ la sua velocita’

dopo aver accorciato la fune di r ? v

F_T

1

1 2 /

fin in

NR l

w w

 p



v F_T F

L F

r F r

         

 

2 2

finale iniziale

m m

v  v   F r

     

 

2 2

2 2

1 2

1 /

fin in

in in

r F

r l l m

w  ^{ } w  ^{  }

 

   

Es5 Un grave m e’ sospeso con un filo inestensibile ad un disco di raggio R, libero di ruotare attorno ad un asse orizzontale senza attriti.

Abbandonato da fermo il disco impega un tempo T per scendere di un’altezza h.

Determinare il momento di inerzia del disco

2 2

1

2 2

I w  m v  mgh

h

R

w  v R /

2

v 2mg h

I m R

     

 

2

2

1 2

v a T h a T a mg

I m R

  

  

 

 

2

1

2

I g T m R h

 

   

 

Forza di gravitazione universale

r r G Mm

F ˆ



 

F  r

r r   ˆ

M

m

 0

chiuso

L

 

0 2

0

1 1

P

grav P

r r

U P F dl

G Mm du GMm

u r r

   

 

   

 





 

Forza di Coulomb

r r q k q

F ˆ

2 2





 0

L

1 0

L

1 0

2  

L L

 

0

1 1

U

P kq q

r r

 

   

 

Es1 Calcolare la velocita’ iniziale necessaria

ad una particella per sfuggire all’attrazione gravitazionale della Terra

1 0 2

1

 



r

GMm mv

E

sec /

10

2 2

m r gr

v GM

T







Es2 Sapendo che per l’atomo di idrogeno il potenziale di ionizzazione dell’ elettrone e’

di E_ion =21.8 x 10^-19 J , facendo l’ipotesi che la sua orbita attorno al protone abbia un raggio a_B = .5 x 10^-10 m, trovare la velocita’ dell’elettrone.

2 2

0

1

2 4

E mv e E

pe a

   

2

5 0

2 15 10 / sec

4

v e E m

m pe a

 

     

 

a₀

T E_ion

Forza di richiamo elastica (Oscillatore Armonico)

x x k

F    ˆ

 

¹ 



2

P x

el P x

U P    F dl ^  ^   k u du  k x  x

2 2

2 1 2

1 mv kx E

 

0

2 E

x  k

E_mecc

T

U_el

-x₀ x₀

m v 2 E

max



  t  x  w t  f    v t   x w  w t  f 

x

cos

sin

m

 k

w

 

2

1 m R w T 

Pendolo semplice

 ^{1 cos} 

U

 mgR   ^dt

d  w 

mecc grav

E   T U

2

2 1 1

cos   ^  ¹  

2 1 2

1 mR w mgR 

E

 

R

 g

2

w

Piccole Oscillazioni

 U_grav

E_mecc

 h

 

2 2

1 1 cos

mecc

2

E  mR w  mgR  

Orbite chiuse ed aperte

Diagramma nel piano delle fasi per il pendolo

Forza di Lorentz

B v

q

F  _L  





 0













 L F 

r  F 

v  t

2

2

1 mv E _mecc 

B 

Uniforme e costante

v

E

mgy y

x k v

m





  2

1 2

1 

x y

el grav mecc

T  U  U    E

Piu’ forze

Piu’ particelle ^{S T M S T M}

S T S M T M mecc

T T T U U U

U

U

U

E

     

  











i

i i tot

M T

S

T T T m v

T

2 1

 

tot i i j

i ij

U   U   U

 ^

1. E’ una legge

SPERIMENTALE

2. L’ENERGIA si presenta sotto molte forme diverse : 3. Per ogni forma di energia esiste una appropriata

formula per calcolarla a partire da alcune grandezze fisiche fondamentali: massa, posizione, velocita’, … 4. Esprime la capacita’ del sistema a compiere Lavoro

(ma per I sistemi macroscopici si deve introdurre anche l’Entropia )

5. Le interazioni fondamentali sono sempre conservative

6. Contiene tutta l’informazione relativa ad un sistema conservativo

Gravitazionale Cinetica Elettrica Elastica Termica Radiante

Chimica Nucleare di Massa

…..

In un SISTEMA ISOLATO

l’ENERGIA Totale rimane costante

Conclusioni

Scrivere l’Energia Totale di questo sistema:

E

=T

+U

+U

+ U

+ U

+ ?