Lavoro ed Energia

Lavoro ed Energia

utilizzando la sola legge di Newton

F = ma

non posso calcolare la velocità del corpo in fondo alla pista, pur conoscendo la velocità iniziale:

devo conoscere nel dettaglio la traiettoria:

molto complicato!!!

Scorciatoia

energia/lavoro

esempio

oppure

traiettoria complicata

forme di energia presenti nell’universo:

r  energia meccanica

r  energia elettromagnetica r  energia chimica

r  energia termica r  energia nucleare

legge di conservazione dell’energia:

la quantità

totale

energia cinetica:

energia associata

allo stato di moto del corpo

2

2 1 mv K ≡

[N.B. r più un corpo è veloce, maggiore è la sua energia r corpo a riposo ha energia cinetica nulla ]

dimensioni e unità di misura:

2 2 2

1 1

1

] [ ] [ ] [

s kg m J

joule

v m K

=

=

=

energia

2

2 1 mv

ordini di grandezza K ≡

proiettile m= 4.2 g v=950 m/s K = 1895 J giocatore di rugby m=110 kg v=8.1 m/s K = 3609 J portaerei m= 91400 t v=32 nodi K = 12 10⁶ J 1 t = 10³ kg

1 nodo = 1 miglio marino/h=1852m/h=0.52 m/s

lavoro

forza

r  lavoro > 0 cedo energia r  lavoro < 0 prelevo energia

il lavoro ha le stesse unità di misura dell’energia]

joule v

m K

L ] = [ ] = [ ] [ ]

⇒ [

espressione del lavoro [forza costante]:

corpo → puntiforme F → costante

s = spostamento finale

θ = angolo forza-spostamento v₀ = velocità iniziale

v = velocità finale

x

x

m a

F =

x

x a

s v s v

a v

v − =

+

= 2 2

2 0 2 2

0 2

seconda legge di Newton su asse x

s ma mv

mv² − ₀² = _x 2

1 2

1

s F s

F L

s F L

K

! !

⋅

=

=

=

=

Δ ^cos θ

⇒

⇒

N.B. solo la componente della forza

parallela allo spostamento compie lavoro

prodotto

scalare

proprietà del lavoro:

r è un numero (non necessita di direzione e verso)

r  è nullo se la forza è nulla

r  è nullo se lo spostamento è nullo

[ spingere contro una cassa che rimane ferma non dà lavoro !!]

r  è nullo se lo spostamento è perpendicolare alla forza

r  è positivo se la forza è parallela e concorde allo spostamento r  è negativo se la forza è opposta allo spostamento

unità di misura del lavoro:

[ ][ ]

L

joule K

L

⋅

=

=

=

=

=

=

] 2

][

][

[ ]

[

] [ ] [

m Newton joule = 1 ⋅ 1

Teorema dell’energia cinetica

[o delle forze vive]

il lavoro svolto da una forza costante nello spostare un corpo puntiforme

è pari alla variazione di energia cinetica del corpo

L K

K

L K

K K

i f

i f

+

=

=

−

= Δ

s ma s

F L

mv K

mv

K_{i i f f}

⋅

=

⋅

=

=

=

) (

2 , 1

2

1 _{2 2}

⇒

esempio: lavoro svolto della forza peso [forza costante]

r  lancio in aria un pomodoro (particella di massa m)

r la velocità diminuisce (v₀ → v) per effetto della forza peso

2 2 0

2 1 2 1

mv K

mv K

f i

=

=

f

i

K

K >

⇒

r  lavoro fatto dalla forza peso [ in salita ]:

s mg s

mg s

F

L_g = !_g ⋅! = cos(180⁰) = −

s

dopo avere raggiunto la

massima elevazione il corpo cade:

r  lavoro fatto dalla forza peso [ in discesa ]:

s mg s

mg s

F

L_g = !_g ⋅ ! = cos(0⁰) = +

Lavoro svolto da Forza Variabile

r  forza F(x) varia con la posizione x

r  suddivido il percorso in

Δx piccoli, così che F(x) = costante in Δx = valore medio di F(x) in Δx

r  espressione approssimata del lavoro:

r  risultato esatto:

Fj

x F L

=

Δ Δ

∑

∑ ^{Δ = Δ}

= L F x

L

[ ] _∫

∑

= Δ →

f

i

x

x

x Fj x F x dx

L lim ( )

0

lavoro = area sottesa dalla curva F(x) tra x_i e x_f

Teorema dell’energia cinetica

[forza variabile]

∫

∫

∫

∫

∫

=

=

=

=

=

f

i f

i f

i

f

i f

i

v

v x

x x

x

x

x x

x

dv mv dtdx

dx dx m dv dt dx

m dv

dx ma dx

x F

L ( )

2 2

2 1 2

1

i

f mv

mv

L = −

quando si svolge lavoro su un sistema e

la sola variazione del sistema è il modulo della velocità il lavoro totale compiuto dalla forza risultante è pari alla

variazione di energia cinetica del corpo

N.B.

è correlato ad una variazione del modulo della velocità non ad una variazione del vettore velocità

⇒

esempio: lavoro svolto da una molla [forza variabile]

forza di richiamo [legge di Hooke]

forza variabile con la posizione

lavoro fatto dalla molla tra le posizioni x_i ed x_f:

[se x_i = x_f ⇒ L_m = 0 ]

lavoro fatto da forza applicata

F

F

lavoro uguale e contrario alla molla !!!

x k F ! !

−

=

2 2

2 1 2

) 1

( _{i f}

x

x

m k x dx kx kx

L

f

i

−

=

−

=

∫

kx kx

F

F !

= − !

= − ( − ) =

2

0 2

) 1

( _a

x

app k x dx kx

L

a

=

=

∫

x_i=x_max

x_f=0

Attenzione:

2 2

2 1 2

1

i f

ris tot

mv mv

s F

K L

−

=

⋅

Δ

=

! !

forza risultante =

somma di tutte le forze agenti sull’oggetto

Il teorema dell ’ energia cinetica è valido

solo se L è il lavoro totale compiuto sull ’ _oggetto:

si deve considerare il lavoro compiuto da tutte le forze

s F

s F s

F s

F

L L

L L

L F

L F

L F

ris

n n

tot

n n

! !

! !

! !

! !

!

!

!

⋅

=

⋅ +

⋅ +

⋅

=

+ +

=

⇒

⇒

⇒

) ...

(

...

...

, ,

2 1

2 1

2 2

1 1

esercizi Lavoro-Energia Cinetica

Potenza

rapidità con cui viene svolto il lavoro:

r  potenza media

r  potenza istantanea

dimensioni e unità di misura:

t P L

= Δ

dt dL t

P L

t

=

= Δ

→ Δ

lim

s W J

Watt = 1 = 1

] [

] ] [

[ T

P = L

W CV

vapore

cavallo 1 735 . 5

1 − = =

kJ J

s W

h W ora

Watt 1 ( 1 )( 3600 ) 3 . 6 10 3 . 6

1 = = = ⋅

=

rapidità con cui la forza sviluppa il lavoro:

θ

θ _cos θ _cos

cos )

( Fv

dt F dx

dt

dx F

dt s F d dt

P dL ⋅ = = =

=

=

! !

v F P ! !

⋅

=

in generale:

la potenza è definita per ogni

trasferimento di energia

dt

P = dE

Il wattora è una misura di energia!

esercizi potenza

Lavoro svolto da Forza Esterna

[Sistema NON isolato]

lavoro :

energia trasferita

per mezzo di una forza esterna che agisce su di esso

= ? L

r  sistema semplice [corpo puntiforme]: F modifica solo K

r  sistema complesso: F modifica K ed energia interna E_int

esempio 1: corpo puntiforme (libro)

libro che scorre

su superficie con attrito v_i = velocità iniziale v_f = velocità finale

considero come sistema la superficie:

4  la forza di attrito del blocco compie lavoro sulla superficie 4  la superficie non si muove dopo che il libro si ferma

[violazione del teorema dell’energia cinetica

per sistemi complessi: entra in gioco nuova forma di energia]

⇒ la superficie si riscalda

lavoro svolto ha aumentato la temperatura non la velocità del sistema

energia interna

temperatura del sistema_def

=

N.B. lavoro svolto dal libro corrisponde a trasferimento di energia al sistema

Tale energia appare come energia interna e NON cinetica

E

x f

x f

L

= !

⋅ Δ ! = −

Δ = − Δ

K x

f x

f

L

= !

⋅ Δ ! = −

Δ = Δ

esempio 2: corpo esteso (superficie)

►il libro perde velocità per effetto della forza di attrito

CALORE

Metodi per Trasferire Energia

[Sistema NON isolato]

lavoro:

applico forza a sistema e

cambio suo punto di applicazione [genera variazione

energia cinetica o energia interna]

onde meccaniche:

trasferisco energia mediante

perturbazione ondosa in aria o altro mezzo [esempio: suono, onde radio,

onde sismiche, onde marine]

calore:

trasferisco energia mediante

urti microscopici [conduzione termica]

[esempio: il manico del cucchiaio si riscalda a causa del rapido movimento di elettroni nella cavità del cucchiaio. Il moto si propaga]

trasferimento di materia:

materia attraversa il contorno del sistema trasportando con sé energia

[esempio: pieno delle auto, trasporto di energia nelle stanze per mezzo di aria calda]

trasmissione elettrica:

trasferimento di energia per mezzo di corrente elettrica

[esempio: modo di trasferimento

di energia ad elettrodomestrici]

radiazione elettromagnetica:

trasferimento di energia per mezzo

di onde elettromagnetiche come la luce, le microonde, le onde radio …

NON necessita di molecole dell’ambiente circostante al sistema.

propagazione anche ne vuoto !!

[esempio: forno a microonde, energia luminosa]

equazione di continuità contiene teorema energia cinetica

Conservazione dell’energia in generale

∑

=

Δ E

E

4  

4  

4  

4  

l’energia totale di un sistema può variare solo se viene trasferita energia

dal di fuori o al di fuori del sistema

l’

energia

né creare né distruggere l ’ energia si conserva

equazione di continuità

RE TE

TM OM

sistema

L Q E E E E

E = + + + + +

Δ

! "

!#

$

K = L

Δ