Problemi sulla probabilità

Problemi sulla probabilità

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Battaglia navale

Giochiamo a battaglia navale! Per semplicità prendiamo una tabella più piccola di quella usuale, con 5 colonne (numerate da 1 a 5) e 7 righe (contrassegnate con le lettere dell’alfabeto, da a fino a g).

La tabella si può vedere come un prodotto cartesiano:

{ 1,2,3,4,5 } × { a , b , c , d , e , f , g }

Una casella è individuata da una coppia, come

( 3 , e )

,

( 2 ,b )

, ecc.

Consideriamo ora una “portaerei”

piazzata come in figura. Evidentemente si ha:

N= { 3,4 } × { b , c , d }

Supponiamo che un giocatore “spari a caso”, tentando di colpire la portaerei;

evidentemente la probabilità di colpirla è 6/35².

Vogliamo però seguire un procedimento che ci permetta di ottenere il risultato in modo più ragionato e più interessante.

Supponiamo che il giocatore proceda attraverso due scelte successive, fissando la prima coordinata estraendo a sorte³ un numero nell’insieme

{ 1,2,3,4,5 }

e poi estragga a sorte la seconda coordinata fra le lettere

{ a , b , c , d , e , f , g }

.

Nella prima scelta (in orizzontale) ha probabilità 2/5 di centrare il bersaglio, perché i casi favorevoli sono 2 su 5.

Nella seconda scelta (in verticale) ha probabilità 3/7 di centrare il bersaglio, perché i casi favorevoli sono 3 su 7.

Dunque passando dalla prima alla seconda scelta, i casi possibili diventano

5 ∙7=35

(perché ad ogni scelta in orizzontale corrispondono 7 possibili scelte verticali di uguale probabilità), mentre i casi favorevoli diventano

2∙ 3=6

, (perché alle 2 possibili scelte in orizzontale con le quali si può colpire la portaerei, corrispondono 3 possibili scelte verticali di uguale probabilità).

Quindi la probabilità è:

1 Esempi e problemi tratti da Giovanni Prodi Matematica come scoperta Casa editrice G. D’Anna Firenze 1994 pag. 35 - 36.

2 Cioè il rapporto fra il numero di caselle occupato dalla portaerei (che sono

6

) e il totale caselle su cui si gioca (che sono

35

)

3 Quindi con uguale probabilità.

1

2∙ 3 5 ∙ 7 = 2

5 ∙ 3 7 = 6

35

Concludendo, in questo caso la probabilità che si verifichi A e B è data dal prodotto della probabilità di A per la probabilità di B.

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