Sui problemi al contorno per le equazioni ellittico-paraboliche di ordine 2m (*)(**). MABIABOS~BI TI~ICiBICO (N~po]i)

Sui problemi al contorno

per le equazioni ellittico-paraboliche di ordine 2m (*)(**).

MABIABOS~BI£ TI~ICiBICO

(N~po]i)

Summary. - I n this note a theorem o/existence and uniqueness /or a boundary value problvm /or a class o/ 2m-order elliptic.parabolio operators is 2~roved.

Introduzione.

I n u n r e c e n t e lavoro [4], A. CA~Fo~A h a s t u d i a t o u n p r o b l e m a al c o n t o r n o per u n ' e q u a z i o n e ellittieo-paraboliea in u n dominio l i m i t a t o G c R -+~. D e t t o (x, t) il generico p n n t o di G, l ' o p e r a t o r e s t n d i a t o g del t i p o :

(1) L = ~ (-- 1)l~lI)~(a~(x, t)l)~.) -~- (--

1)?l)~(a(x, t)D~.) ~L qD~-~

e d i suoi coeffieienti verifie~no le ipotesi f o n 4 ~ m e n t a l i :

l ~ a~(x,t)~>aol~l ~ VSen'; q ( - 1 ) ~ > o

~[a(x, t)]~+°-~ < Dg~(x, t)< d~[a(x, t)] ~°+°-~

{ - }

dove d(x, t) r a p p r e s e n t a la dist~nza d~l cilinch'o T = (x, t): ~ x~ < 1, 0 < t < l che si suppone c o n t e n u t o nel dominio G. P e r i p u n t i (x, t ) e G - T si suppone che r i s u l t h t > l , m e n t r e , delle due basi di T , la base superiore Z~, priv~t~ dell~ fron- t i e r s , si suppone t u t t a i n t e r n a a G e l'altra, X0~ t u t t ~ c o n t e n u t a in F = ~G. Si pone /'o : / ' - - Xo. I1 p r o b l e m a studi~to in [4] 6 il seguente:

(2)

L u = f D ~ l r ° = 0 k

D ~ I ~ ° ~- 0

in ~ ,

p e r k --- 0, 1, ..., m - - 1 , p e r k -~- 0, 1, ..., m -- 2 .

(*) Entrata in Redazione il 15 settembre 1976.

(**) Lavoro eseguito nell'ambito del Gruppo Nazion~le per l'Anulisi Funzionale e le sue Applicazioni del C.N.R.

226 tWAt~IAI~O~AI~IA Tt~ICAI~!CO: ~ i problemi a~ contorno per le equazionl, ecv.

I n opportune ipotesi, per il problema (2) si stabilisce in [4] un teorema di esistenza e unicit4.

lqeI presente lavoro ci si pone in una situazione notevolmente pifi generale, sia per quanto riguarda il dominio G, sia per quanto riguarda la struttura dell'operatore L.

Inf2~tti, il dominio G si suppone contenga diversi citindri T~, T~ nei quali l'ope- ratore degenera in r a t i o modo; e l'operatore L, nei cilindri snddetti, indicando con x -~ (x~, ..., x~_l, x~o+~, ..., x~+~), assume la forma:

(3) Z (--1)I~ID:(a~D~') + ~s~9"s-a'ph ~

I~I,IBI~<m

con 2 < s < m, h = 1, 2, mentre in G -- U (T~ t3 T~ a) risulta ellittico, venendo ad US-

~,s,h

sumere una forma particolare, analoga alla (1), solo in vicinanza dei cilindri TsT~ e T~ h.

Cib complica notevolmente le eose per quanto riguarda la dimostrazione di alcuni risnltati. I1 problema che si studia per questo operatore L, problema che ho pre- sentato in un~ recente nora lincea [5], consiste ne]Faffiancar6 alPequazione L u = ] delle condizioni al contorno (del tipo Diriehlet) che sono in numero di m sui pezzi di frontiera adiacenti alle zone di ellitticit~ e sulle supcrfici laterali dei ciHndri, mentre il loro numero varia sulle basi dei cilindri, a seconda dei valori di s ed h che figu- rano in (3) ed ~ seeonda del segno di pa.~

La descrizione del dominio G e delle classi funzionali associate si trova nel para- grafo ls mentre nel paragrafo 2 viene impostato il problema e viene stabilito un teorem~ di unicit~ in un opportuno spazio funzionale JE(G).

]~ appunto nell~ dimostr~zione di questo teorem~ di unicit~ che 1~ maggiore generalit~ di L rispetto a [4], comporta nuove difficolt£ e costringe ad uppesantire tecnicamente i ragionamenti.

Nel n. 2 vengono unehe enunciuti dei teoremi di regolarizz~zione e di esistcnza.

Qui si presenta una rilev~nte novit~ di metodo rispetto ~ [4]. I n f a t t i in [4] si stabi- liv~ prima, con proeedimenti di piccolo parametro, un teorema di esistenza di solu- zioni deboli, e, poi, queste soluzioni venivano regolarizzate.

Nel nostro caso, riealcare quests stra:d~ nppuriv~ estremamente maechinoso, dato il modo differenziato di 4egenerare 4elFoperatore L nei cilindri Ts~ e T~ a. Abbiumo, quin4i, seguito una via diversa e ormai standard ne]la trattazione di questi pro- blemi, identifica.ndo L con an operatore £ da ~(G) in L~(G), facendo vedere ehe questo £ ~ a codominio chins% e sfruttando le ben note propriet£ degli operatori codominio chiaso.

]~ in questo quadro che si inserisce il discorso sul]a regolarizzazion% che testa, comunque, lu parte ecntrale del lavoro. Per ottenerlu si sfruttano, come in [4], le tecniehe degli spuzi di Sobolev con peso, messe a punto da TEoIsI in [6], combinate con quelle ormai classiche di AG~oN [2], superando cosl la difficolt£ principale che consiste nel regolarizzare nelle zone di pass~ggio adiacenti ~i cilindri Ts~ ~ e T~ a. Cib viene ottenuto nel n. 5.

Nel n. 3 e n. 4 sono dimostrati alcuni lemmi preliminari.

MARIA~OSARI2~ TRICARIC0: SUi problemi al vontorno per le equazioni, eec. 227

~ e l n. 6 vengono dimostrati i risultati finah a t t i n e n t i ad alcuni mighoramenti delle ipotesi sui coefficienti; vengono unche o t t e n u t e delle maggiorazioni puntuali legate alla forma delFoperatore e a l l a dimensione dello spazio.

Per avere le maggiorazioni pi~ generali possibile sarebbe necessurio costruire prima u n a teoria L ~ per questa elasse di problemi.

1. - I1 d o m i n i o G e le c l a s s i f u n z i o n a l i a s s o c i a t e .

Nello spazio euclideo R -+~ di generico p u n t o x ' = (x!, ..., x~+~) consideriamo u n dominio limitato G di ffontiera localmente lipsehitziana.

Supponiamo che G contenga dei cilindri, a dub a due disgiunti, 481 tipo:

- (r M , as~ ~ x~ ~ o ~ ~ V ~

~i ~ {~'~a"+~:Z(x, -'~"~<(~i~) ~, ~i ~ - '~< ~<-~

k sh

dove ~sa ed ~k sono dei n u m e r i positivi, m e n t r e l'ufficio degli indiei: k e {1, ..., n ~- 1}, s e {2, ..., m} ed h e {L 2} verr~ chiurito nel seguito. ~ o n si esclude ehe aleuni dei cilindri H ~ ed H~ ~ possano essere vuoti; quando cib accada, si eonverr£ che risulti:

b,\ + ~]sh < ash, ~ ~ pe~ Hsh ~ = ~, ovvero bl ~ < ~i~-- ~i ~ per H i ~ = 0. Supporremo~ inol- tre~ per semplicit~, eh% per ogni t e r n a di indiei k, s, h, esista al pifi u n eilindro Hs~

e u n eilindro H~ ~ n o n vuoti contenuti in G. P e r i eilindri Hs~ ed H~ ~ non vuoti, p oi,

k k

si supportS: ash< bs~ ed a i ~ < bl ~, e 8i porr~:

--- a k < x ~ < b k } • D e t t e Fs~ e /~i ~ le superfici laterali di Hs~ ed H~ h, poniamo:

{~'e ~- ~ ~ = {x'e ~ . ~ c ~ - {~'e H ~ : x~ = k,, + W~} k

A s h = Hsh" Xk = ash} ' Bsh Hsh" xk = b~h} , , s n - -

~ = , B i ~ =

Hi"

v i ~ = ~i~: = ~ -

A~ = (~,~ Hi": ~ ~ } {~'~ : x~ = b ~ } , {~'~ ~,~ 4 ~}

e supponiamo che risulti:

k , s , h

o k o sh

GD U [0~

u

c~].

k . s , h

L a porzione di frontiera /~o = F - - U (As~ u B~ h) verr~ supposta di classe C ~.

k , s , h

228 ~AR~AROSARIA Ti~ICAI~ICO: ~ t i problemi a~ contorno per le equazioni, evv.

I n t r o d o t ~ e , p e r k = 1, ..., n -~ 1, le f u n z i o n i :

g~o(x') = m i n {dist~(w ~, ~ se

U

(~"~ w H~ ~) :/: 0

$,h

e d e t t o 0 u n n u m e r o posi~ivo, p o n i a m o :

~ ( x ' ) = [ ~ ] ~+°

c o n m i n t e r o p o s i t i v o . Assegn~te~ i n f m e , delle c o s t a n t i re~li ~ p ~ , p e r k : l , . . . , n @ l e 8 = 2~ ..., m~ l~Oni~mo:

e c o ~ s i d e r i a m o gli spazi f u n z i o n ~ l i O ) :

~ ( G ) = u e O ( ~ )

3 ~ ( ¢ ) = u e 3 ~ ( ¢ )

JC,(G) = u e Y~(G)

~ ( 1,~

se 1 ~ - - ) > 0

se p ~ ( - - 1 ) ~s ~ < 0

e WSm'l°¢(G - U (Tff U T~ )) (~ L2(G), o ~ D ~ e Z2(G)

]c>Gh

p e r k : l ~ . . . ~ n - ~ l

2 s - - h 2 k

D k ~ E 5 ( t t ~ w tt~ ~)

D~Ulro = 0 D ~ , t ~ , = o D~ul~f: = 0 D~ uI~,o = 0 Z @ I ~ . = 0 D~ulB~ = 0

p e r l = 0 , 1 ~ . . . , m - - i

p e r t --- 0, 1, ..., s - - h - - y ~ ( 2 - - h) p e r l = 0 , 1 , ..., s - - h -- ( 1 - - yks)(2 - - h)

p e r l --- 0, 1~ ..., m - - 1 /

p e r l = 0 , 1 , . . . ~ s - - h -- ( 1 - - y~)(2 - - h) p e r 1 = 0, 1~ ...~ s h - - y ~ s ( 2 - - h)

m u n i t i della n o r m a :

n + l n + l m

=

I1.(.)

-t- ~ l l e k G ull~:(<~) -I- X ~ rilD2~-lu ~ u, ~ L:(.:%.~') +

k = l k = l s = 2

l#elle p o s i z i o n i p r e e e d e n t i si i n t e n d e e h e : k e {1, ..., n + 1}~ s e {2, ..., m} e h e {1, 2}.

I n d i e h i ~ m o ~ ora~ c o n J il g e n e r i c o eitindro del t i p o :

(~) Qui e nel seguito si user£ la notazione D~ = 818x~.

M A ~ I A ~ o s A ~ T~ICA~ICO: Sui problemi al eontorno per le equazioni, eee. 229

d e n o t a n d o c o n S l u s u p e r f i c i e l u t e r a l e d i J e c o n A e B l e b ~ s i : {(x, t): t = a} e {(x, t ) : t = b}.

A J v e r r ~ n n o u s s o c i u t e l e c l a s s i f u n z i o n u l i :

¢ ( J ) ⁼

v~(J) ---- e Z~(J)

D ~ e ~52(J) D~u[s = 0

o--:}

p e r ~ = 0~ 1~ ..., 2 m p e r [a[ < m

p e r 1 = 0 , 1 , . . . , m - - 1 V don~nio H c J -- S, ~ ~ ¢°°(H) e p e r o g n i a < m + 1 lo s p a z i o :

D~u, 1 ) [ - % e L~(J) D~u]s = 0

~ ( J ) = u ~ Z ~ ( J )

~1~

= D i ~ l ~ = 0

p e r l = O , l , . . . , m - - 1 p e r l = 0 , 1 , . . . , a - - 2 I n 5¢"(J) si i n t r o d u r r g i l p r o d o t t o s c u l ~ r e :

J J

e 1~ n o r m ~ c h e n e d e r i v ~ :

= I[D~uIIL.(j)+ i]n, u]l~,(j).

[ a ] ~ < m

I n p u r t i c o l ~ r e , ~i c i l i n d r i T ~ e T~ a, i n c u i t = x~ e x = (xl, . . . , x ~ _ l , x ~ + l , ..., x~+~) v e r r ~ n n o c o l l e g u t e l e s e g u e n t i u l t e x i o r i c l a s s i f u n z i o n u l i :

~ , ( T ~ ) =

/ ) 2 ~ - - h ° 2 k

D~u, ~ ~ e L (T~) p e r ] ~ [ < 2 m D ~ u l z ~ = 0 p e r ~ --- 0, 1, . . . , m - - 1

D~u[~ h = 0 p e r ~ = 0, 1, ..., s - - h - - ( 1 - - ?k~)(2 - - h) D ~ u [ ~ = 0 p e r 1 = 0, 1, ..., s - - h - - ? ~ ( 2 - - h)

t rpsh\

* b l - k I u e L~(T~ ~)

D : ~ ~ 2s--h 2 sh

D k u e L ( T k ) per l~] < 2m p e r 1 =- 0, 1~ . . . , m - - 1

p e r l = 0, 1, ..., s - - h - - ( 1 - - y ~ ) ( 2 - - h) p e r 1 = 0, 1, ..., s - - h - - y ~ ( 2 - - h)

~ v e n d o i n d i c u t o c o n X ~ e l ~ h le s u p e r f i c i l ~ t e r M i d e i c i l i n d r i .

230 M_~IAI~.OSARIA T~IC.4~ICo: S~ti problemi al eontorno per le equ~zioni, eev.

]~otiamo e s p l i c i t a m e n t e che, per h = 2, risulta:

~ , ( T ~ ) c ~ ( 2 ~ ) ; 8z ~ ~

Si n o t i a n e h e ehe, p r o l u n g a t ~ a r b i t r a r i a m e n t e a G -- Ts~ [risp. G -- T~ ~] 1~ generica fun- zione u e ;E,(T~:a) [risp. u e JC*(T~)]~ e d e t t a ¢ un~ q u a l u n q u e lunzione di classe C~(G) ehe sia nulla in G - T ~ [risp. G -- T~ ~] si ha e v i d e n t e m e n t e :

Vu e ~ , ( / ' , ~ ) , k

¢u e JC,(G)

Vu e JC,(Z~h) .

I : l / JC,(T,n), infine, si i n t r o d u r r £ la n o r m a : k

"a~ ~Tsh~ ]a n o r m a : e u n a l o g a m e n t e nello Sl)azio , . . ~ k J,

[ a l ~ 2 m

2. - P o s i z i o n e del problema. E n u n c i a t o dei risultati. T e o r e m a di unicith.

~ e l dominio G d e s e r i t t o nel n. 1 assegnamo u n o p e r a t o r e ellittieo-parabolieo di ordine 2m:

L = L ' + .~ =-- ~. adx')D~ + ;~

l~I<.2m

a eoeffieienti G ( x ' ) e Cr~I(G) verificanti le seguenti ipotesi:

A) L 6 u n i f o r m e m e n t e ellittico in ogni dominio K c G - U (Ts~ u T~ a) e 1~

h~s,/z

e o s t a n t e di ellitticit~ dipende 4a K .

B) Nei eilindri Hs~ ed H~ h, p o s t o : x : (xl, ..., x~_l, xk+l, ..., xn+~), L ' assume la formm:

I~1 ~ ' ~ 1 ) D k ( a ( x ) D ~ _ ~ , ~ 2 , - ~

L ' = Z (--i) D ~ ( ~ ( ~ ) G . ) ÷ ( - ~ ~ ' ~ ' ) ÷ p ~ - , o "

b')

dove p~8 sono le costunti gi~ i n t r o d o t t e al n u m e r o p r e c e d e n t e , m e n t r e i coefiicienti p ~ sono delle c o s t a n t i tali che:

p~(- 1)'-1 > o, w~{1, . . . , , +1}, vse {2,

..., ~ } .

MARIAROSAtCIA TRICAt~tCO: ~Ui

problemi a~ eontorno per ~e equazioni~ eoe.

231

I n o l t r e :

b")

esistono delle eosganti r % > O, o)~ e d ~% t~ali ehe, p e r lyl @ ~ < 2 m :

I a(x') ~ 0

in T~h

a(x') .~ 0 in T~ a l . \ ~ + o - ~

lash

~ \sin + 0- l sh

)

Vx'~ ~ ^- T~h

V x ' e H "h ^{- -} Ti h

(2.1)

( m : t ' )

b") esistono delle c o s t a n t i assolute go e v0 tali che:

[ G~ (x' ~ ~ >~ ~

~:,

w ~ -~,,,,o,0 , , ,

.,..,,,,,

Vx,~ e [a,\, bs\ + 'Ts~],

Z f G~(x, x~lD:uD~dx>ffoltUll~(z2)- VollUi]~qGb

[¢¢l,lfll~m

.~

w ~ #~(~2), Vx~ ~ [a2 - 4 ~, b2].

I n f m e risultu:

~_. k ~ s h - - ' ~ sh

b Iv) a ~ a ~ , V~, V~, ed esistono dei h u m e r i

Gh e]Gh, b~[ e G ~ ja~ b~h[,

tuli che:

(2.2)

Dka~t~ ~--0

p e r

a~h..~Xk<e;h e

p e r "k " ~ k ~ " k ^, c ( G xE~,b2:]).

P e r P o p e r a t o r e ]5 ora descritto, p o n i a m o f o r m M m e n t e il p r o b l e m a :

(2.3)

Lu = ]

I ) ~ u l r 2) ° = 0 D~.ul~:. = 0 Dkul~ 2 0

in ~ (con

] e L~(G))

per p = 0 , l , . . . , m - - 1

p e r p - - - 0 , 1 , . . . , s -- h - - yks(2 -- h) p e r p = O , 1 , . . . , s -- h - - ( 1 - - ?k,)(2 -- h)

c o n

~ { i , . . . , , + i } , ~ { 2 , . . . , ~ } , ~ { I , 2 }

dove, ricordi~mo, 6:

=i I perp~S C-IY>o,

7k8

i

^{0 p e r} to~ ( - 1)' < O. ^~8

232 ~ k t ~ O S A I ~ I A TRIc~]~co: S u i problemi al eontorno per le equa.zio~i~ eee.

Conviene a n c h e i n t r o d u r r e Foloeratore L* ~ggitmto f o r m a l e di L, leer il cluMe ~ come facile controllare, vale la f o r m u l a di Green:

P e r L* si p o r r ~ f o r m a l m e n t e il p r o b l e m a :

(2.3)*

.L*v : D :V[r. = 0

D ~ v b ~ = 0

in b (con V ~ Z'(G)) p e r p : 0 ~ l , . . . ~ m - - 1

p e r p = 0, 1, ..., s -- h - - (1 -- 7~.)(2 -- h) p e r p = 0 , 1 , . . . , s -- h - - y~(2 -- h)

con ~ ~ {~, ..., ~ + ]~}, ~ ~ {~, ..., ~}, ~ ~ {~, ~}.

I n q u e s t o n n m e r o ci p r o 2 o n i u m o di stabilire dei t e o r e m i 4i unicit~ per i p r o b l e m i (2.3) e (2.3)* r i s p e t t i v a m e n t e negti spazi ;E(G) e :E.(G).

E n u n c e r e m o , inoltre, dei t e o r e m i di regolarizzazione e dei t e o r e m i di esistenza.

A n z i t u t t o , negti intervMli [b~, b~ + ~.~] e [a~ ~ - - ~ h , b ~ , assegnamo i n m n e r i :

~,~ < - . < - . < ~,, < : . x,~ y,~ x~ < b,~ -~ ~ ; . e p o n i a m o :

N ; \ ⁼ { , ' e ~.;.: , . < ,..} ;

~ = { x ' ~ t t ~ ~: y~ -~ ~ - ~ ~ ~ ;

--k ~ ---k

M2

= ¢ ' ~ H 2 : . . ~ x . - ~ . . ~ ;

Consideriamo,

0 < ~l(x') < 1

~ ( x ' ) = ~.~.(x~)

~ ( x ' ) - - cf~ (xk) sh

cf l -~ 0

poi, u n a funzione ~1 ~ C ~ ( R ~+1) verificante in G le seguenti condizioni:

Vx' ; ~1 ~- 1 in G - - U (H~n ~) H ~ )

k,Soh

in Hs~ , con Ws~ e C~(R) e D~q~s~(x~)>0 in H~ ~, con ~ e C~(R) e D , . ~ h ( x k ) < - 0 in U ( N ~ u i v 2 ) ;

k,s,h

k k

7~,s,h

in U (F~.~ u F'2).

k,s,h

M A R I A I ~ O S A I ~ I A TRICARICO: S u i problemi al eontorno per le equazioni, eee. 233

Ci p r o p o n i a m o di p r o r a t e il seguen~e ~eorem~ di u n i c i ~ :

TEO~EMA 2.1. - E s i s t e u n )~o > 0 tale ehe, se 2>3~o, ~ale l'implicazione:

u ~ ~E(G), Z u --- 0 ~ u ---= 0 q.o. i n G .

D I ~ . : - P o s t o : u~ ~ u % , u~ = u(1 - - ~o~) - - uF~, si h~ o v v i a m e n t e :

• (~.~) ul - o i . U (~v~\ ^u ~vl ~)

7~,s,h

M o ] t i p l i c u n d o l ' e q u ~ z i o n e L u - ~ 0 p e r u e i n t e g r ~ n d o su G, e s s e n d o u~ + u~ -~ u, si h ~ :

(£6)

G G G

C o n s i d e r i a m o , or~, u n d o m i n i o Go c G di clusse C ~ (con h ~ > 2m) ~a.le c h e :

~ o ; a - U (~;~ u - ' W ) ;

/c.s,h ai~

{do,

U

(r},,

u

r£')} > o.

]c,s,h

O w i ~ m e n t e r i s u l t ~ : u~ ~ W (Go), i n q u u ~ t o ~G o 3G c U [(~V~h - - Ts~h) t.) (~V~ a - - 1 ~ ) ]

k , s , h

t z

m e n t r e 8 c h i u r o c h e L ~ u n i f o r m e m e n t e ellittico in G o. E d ulloru, se ~ Z ~ E o , c o n 2o o p p o r t u n o , gr~zie a11~ d i s u g u a g l i ~ n z u di G ~ r d i n g , si h ~ :

(2.7)

f%Luidx'~f%-L%dx'> ~o[,~, If-, ~,, II~,(o.> + ~ If-, II~.(o.>]

^{r n + i m}

dt G#

c o n Po c o s t ~ n t e ~ssolut~.

Osserviumo~ looi, c h e p e r il g e n e r i c o cilindro H , ~ gruzie ~]le p r o g r i e t ~ di ~ol, si h ~ :

r f (:l .,.;°(o),

(2.8) tIDk uills.(ao)~ ~ 2 >~ ~ 2 , D ~ u D ~ D ~ u D ~ cfldx =

~ = o \ ~ / -=

: f ..;°>,,x,+ a',_o (T) f

°"(9(9r

^DkuDk~tDk

^{~iDe q)i}

^{dx >1}

¢ . l = 0 ,~

f i ~ - - I r ~

1 7~ 2

¢ = 0

~iDk u.D~uD k q;i

m - i I ~ ~ ,

]

,l D k u il L,( ~,h) II D k u ll L ,( ~,h )

234 ~I~R~OS~a~IA TI~ICARICO:

~ui probZemi al contorno per le equazion% eco.

1 ~ , [ ~ ~ I~-~ ~ ]

i = 0

[( )

avendo, l~rima, ricordato che D ~ z = 0 in /z~ per i > O e Ul0plicato, poi, lu disa- guaglianz~ di Eherling.

Poich~ u n analogo diseorso si pub fare per gli H~ a, d~ (2.7) e (2.8) si deduce:

(2.9)

q

dove P o e K sono eostanti assolute, m e n t r e s e ~ verranno iissate o p p o r t u n a m e n t e atla fine.

Passiamo, ora, a minorare il secondo addendo de1 secondo membro di (2.6).

Anzitutto, rieordando il signifieato di q~ = 1 - - q l , si ha:

(2.1o)

a s5 s~"

Minoriumo, ad esempio, il generico addendo della p r i m a sommatoria del seeondo membro. Per gli altri si procede in modo anaIogo. Tenendo conto delle ipotesi sui coefficienti di L (e, in p~rticol~re, del f a t t o che

a(x') ~ 0

in Ts~ ) si ottiene, inte- grando o p p o r t u n a m e n t c per p a t t i e prendendo ~ pifl grande di u n conveniente ~o > l~:

(2.11) f u Lu~ dx'

\

2 ~ ~ 2~2~ dx'

d 't~hl/~j~m

2

8~h-- Ts~ ~ h

dove q0 > 0 b u n a costante assoluta.

M ~ R O S A ~ I A TRICAI¢ICO: Sui problemi al eontorno per le equazioni, eve. 235 Osserviamo ehe l'ultimo addendo dell'ultimo membro di (2.11) risulta n o n nega- tivo, sia 1)er h ---- 2, grazie Ml'ipotesi p~(-- 1y -~ > 0, sia per h ~- 1, in quanto:

k s s - - 1 s - - 1 s dx = t 1 ~1c8{

1

D~ (u~o~ -~ = 0

p~ ( - 1 D~ (urf~)D~(uq)~) ~ , -

grazie alle eondizioni (2.3) soddisLutte da u e J~(G), ed Mle condizioni soddisfatte da ~ . Dopo cib da (2.11) discende:

(2.12) f ucf~L(u?~) gx' >

(:r)~h U ~ s h

D~q~D~ ~o~dx Jr- ~ l i a(x )D~uD~uD~ q%D~ q~

i=0

^{L ~ = O}

m~

dx'

avendo osservato che in t u t t o N,~ risulta: D ~ 2 -- 0 per i > 0.

l~ieordando che in @s~ U/~,~ ~: ~e>½, e applicando le disuguaglianze di HOlder ed Eherling, da (2.12) consegue:

(2.13) /

u~°aZ(u~°2) dx' ^{" ~ % m~ 2}

s,5,

it

[ m--I=~o t

^{: - - 1}

]

- - K llDrull

L'<MO)

IlD~ull~;:<_~X) + ~: IID~IIL.<MS)II'D~I[~=<~5)

i= iJ=O

I

m--1 i 2 ] 2

^{TO m}

[(;)

avendo posto % ---min (a(x, -k Da (2.10) e (2.13) discende:

(Y ] k,8.h (7

( )

+

l l D r u l l ~ : ( ~ s , o + s . ) ] - - K ~

@G

~.:.~

236 ] V I ~ R O S A R I i T~ie~]~xeo:

Sui problemi al eontorno per le equazioni, eve.

Andiamo, or~, u minor~re gli u l t i m i due a d d e n d i di (2.6). A n z i t u t t o si h~, essendo:

~ -~ 0 per

x ~ < ~ , q~ ~ 0

per x o > ~ :

minoriumo, ud esempi% u n generico a d d e n d o dell~ 1)rim~ sommu; p e r gli aItri si p r o c e d e in m o d o ~n~logo. Si h~, p e r 2 > 2o, ~vendo indic~to con 2' o u n c o n v e n i e n t e fit

n u m e r o 1)ifi g r a n d e di )~o:

(2.16)

f ulLu~dx'= fcflcf2[J ~r.tZJ<~ ~" %~D~uDxu~ ~ -}- ]~u~] dx'-{-

i h Mh

d , /

M,\ i,~

DkuD o of 1. DkuD o ~ d x -l-

t=O i ~ O

+ p~,(_ 1)~-:.[ ,-1 Do (u~1)Do ~-h+l (u~2)dx = ,

. 1

f

= (x')q~cfz(D2u)~dx'-~ - a(x')cflD~ ~, | . | D~u.D~-*q~dx ' -i-

f

^{m - I}

[m\

-~- a(x')~D~u ~

I l ~

m-~

~vendo osservato che in /~h ~: D ~ • -~ 1 ) ~ ~ - - 0 per i > 0.

l~icordundo le p r o p r i e t ~ di ~ e ~ , ed essendo Vk ~ {1, ..., n ~ 1}, Vs ~ {2, ..., m}

e h e {1, 2}:

a(x, ~)>~

%, e

a(x, ~ ) ~

%, d~ll~ (2.16) si ricavu fucilmente:

i = 0

0o, [ o . .o1 ]

)/[ARIAROSAtIIA TRIOARIOO:

S~t.i problemi al eontorno per le eq~ta.zioni, eoo.

237 L'ultimo addendo del secondo m e m b r o di (2.17), che indicheremo con

J~,

si pub scrivere:

(2.18) j~ = ~)~s(__

~),-lf~l~2D~-lrli, D~+l-h,ll, a,~,jl_

-(,_,+1)

4 , = 0 $

._~p~S(__l)S_ 1 V 2 . D ; _ h + I ~ 0 s / 1 D ; ¢ u D i _ a _ , q ~ , d x , . f -

%a u ~b,

~ ' ~ ' - 1)~_ ~ ~ s 1 s - h + 1 ~ _ . , ~ ~ . - 1 - ~ .,~+~-~-~ .

+ •

A]k'bb't]k~Jflk

~ l l l k

~2 a~

^l

~=o ~ = o \ +

avendo, anche qui, h o t , t o t h e in F,~ ^6: D ~ D ~ e 0 per i > O.

I1 primo addendo della (2.18), per h --= 2, ~ certamen~e non negativo, per la con- dizione: p~ (--1) ~ s- > 0; inveee, per h = 1, si minora:

(2.19) p~

(-1) uD~adx'>

ricordiamo che ^{6 : 2}

< s < m .

]~, poi, f~cile convincersi che t u t t i gli altri addendi del secondo m e m b r o della (2.18) si possono minorare con cluantit~ del tipo:

e ~ l m - 1 i 2 ]

I n defmitiva d~ (2.17), (2.18) e (2.19) si ricava:

(2.20)

f uiY~u2dx'> -~

^"~'0 l[Dk uH~q~b~)--K ~IID~ u[IL~(~ u ~ ) @ ^{~ 2}

[ m 2

1 m-1 i 2 ] T° m

-}- ~ :~o flDku

I1L:(®h u '~h> - - K [ID~ -~ u I[~.<~h) llDg ~ [l~:(~h) > ¥ [ID~ ultL,(~X) +

" a-llD~u[IL'<%°%)+-~--Ilull~'<®Su~,) ^÷

[

_{8 2 @ []DS--1 2 ] m 2}

K[aliDkuil~,(M~.) k

uliL,<~2,>J > [lDk uliL,<~>-~-

C(e) ~ ]

16 -

.tnnali eli Malemaftca

238 MAlC~A]~OS~RIA T~CA~ICO: S u i problemi al eontorno per le equazioni, etc.

Da, (2.15) e (2.20) segue o v v i a m e n t e :

":t: k , s , h

G ~,s,h G/k.s,n

Poich~ f u , Zu~dx; si m i n o r a e s a t t a m e n t e allo stesso modo, da (2.6), (2.9), (2.14) e (2.21) si r i c a v a :

(2.22) 0 =fuLu dx'

^>1

O k,s,h

8 ~ qn 2

, °

~venao osscrwto the Go ~ U (F~ u ~ v Fi ~ u ~i~), e e~e v~/> ~ in ~ , u ~ u A q u e s t o p u n t o , poich~ netla (2.22) Po, Ko, % e qo sono costanti assolute, m e n t r e 2, a e d e possono essere fissati l i b e r a m e n t e , n o n t e s t a da osservare ehe ~ eert~-

//g

m e n t e possibile t r o v a r e delle o p p o r t u n e costanti positive a o e 20 > 2 o con ~o da fis- sarsi in seguito a ao, tali che, p e r :

risulti:

> 0 ~

~°~- Ko ~(~)> 0, qo~-- KoO(~)> 0.

8 a a

D o p o cib, dallu (2.22), r a g g r u p p ~ n d o i t e r m i n i c o n t e n e n t i la sola u, segue l'asserto.

)/[AI{IAI{OSAt~IA T~1CAt~ICO: SUi problemi at eontorno per te equ~zioni, eee. 239

(2.23)

I n munieru del t n t t o unulog~ si prova il seguente teorema:

T~Ol~E~± 2:II. - ~,siste u n 2.o> O~ tale ehe, se ~t>~o, vale t'implieazione:

u ~ J ~ . ( G ) , L * u ~ 0 ~ u ~ 0 q.o. in 6 .

E n u n c i u m o ora i segaenti teoremi di regol~rizzazione t h e s~r~nno provati he1 n. 5:

TEOI~E)~A 2 . I I I . - Sia u ~ L~(G) u n a funzione tale ehe:

( on

q q

S i ha altora:

(2.2~) u ~ ..~(G) i

dove K b una eostante assoluta.

lI~ll~(.) < K[Ii/H~.(~) + ]iull~.(.)]

TEO~E~A 2.IV. - S i a v e Z~(G) una ]unzione tare ohe:

fvL '=f vdx' ^(con

(2.25)

G

S i ha allora :

(2.26) v e ~ . ( G ) ; l]v]ljc.(a)<K[Ilq~llL,(a ) + ][vliL.<a)]

dove K ~ una eostante assoluta.

Sulla base dei teoremi 2.I, 2.II, 2 . I I I , 2.IV, possiumo giungere a stabilire dei teoremi di esistenzu per i problemi (2.3) e (2.3)*. t~iferiamoci, ad esempio, al pro- blema (2.3).

~] ovvio che, i a t r o d u c e n d o POl)erutore (continuo):

che al generico u e JC(G) associa £u -~ L u ~ L2(G), il problema (2.3) prende la forma:

(2.27) u ~ ~ ( G ) , ~u ---~ ] con ] ~ L'~(G).

D'altro canto, se u e ~ ( G ) , grazie ullu formul~ di Green, si pub scrivere lu (2.23) con ] = L u ~ ~u. E d ullor~, in forz~ del t e o r e m a 2 . I I I , possiamo dire che:

( 2 . 2 s ) ISull~(~)<K[lt~[l~,<~) + II~l[~,(j We~(G).

L a (2.28)~ gr~zie ul teorema di P e e ~ e , p e r m e t t e di ~sserire che l'operatore ~ t m ope- ratore ~ codominio chiuso. Per il t e o r e m a 2.I, poi, tale oper~tore risulta iniettivo, per )- >~ )*o.

240 ~ I A ~ O S A ~ T~CA~ICO: S u i problemi al eontorno per le e~uazioni, ece.

Consideriamo, allor8, roperatore aggiunto funziona~e di £:

definito dalla posizione:

(2.30) <£*v, u> = <v, £u> ~ - - f v L u d x ' , Vu 6 ~ ( G ) , Vv ~ L'~(G).

G

Per p r o r a t e che £ ~ sl~riettivo, in base u noti teoremi, b s s t a provsre Fimplicszione:

(2.31) v e L'~(G), £*v = 0 ==> v ~- 0 q.o. in G.

Ma dire che: ~*v = 0, signifiea dire, grszie all8 (2.30), che:

(2.32) v e L'~(G) , [ v L u dx' = 0 Vu e JC(G) .

G

Or~, 18 (2.32) non ~ altro e h e l a (2.25) scritta per ~0 = 0. Pertsnt% grszie 81 teo- rem~ 2.IV, dslla (2.32) diseende ehe: v ~ J C , ( G ) . Ed allor~, applieando la formula di Green, sempre dslla (2.32) si riesva:

[ u L * v d x ' = 0 Vu e Je(G) ==> L * v -~ 0 (2.33)

Si ~, eiob, provata l'implieazione:

(2.34) v ~ Z ~ ( G ) , ~*v = 0 :=> v E J C . ( G ) , L * v = O.

Mu, ullora, se ~ ~>~o, in forza del teorem8 2.II, possiamo ehe ~: v ~ 0 q.o. in G.

I n uttri termini, se ~ ~>)~o, vale l~implicszione (2.31). Si ~, in definitive, prov~to il seguente teorema:

T ~ o ~ E ~ 2.V. (di esistenz8 e unieit~). - Se ~ ).>).o, a ~ ' a , per ogni ] ~ L~(G), il problema (2.3) ammette u n a eg u n a sola soluzione u i n ~ ( G ) .

Un teorem~ perfettamente anslogo sussiste per il problema (2.3)*.

D~ora in poi ssremo impegnati ~ regolarizzare te u ~ L~(G) ehe verificano 1~ (2.23), e, cio~, u stsbilire il teorem8 2.III.

3. - A l c u n i p r o b l e m i a u s i l i a r i i n u n cilindro.

Per tr~ttsre il problem8 della regolsrizzszione delle u e L'~(G) veri~csnti 18 (2.23), sbbiamo bisogno di premettere 81cuni lemmi e teoremi rigusrdsnti certi operstori

~usiliaxi ehe andiamo ~d introdurre.

~V[Atl,IAICOSAI~IA TlcICAI~ICO:

Sui problemi al eontorno per le equazioni, eev.

2~1 Assegnamo in eiuscuno dei cilindri Ts~ ma o p e r a t o r e del t i p o :

8--1

~skh

= ~ (-- I)'fl]JO~ (6~afl (~)J~: ")

- - ~'l'nksy)28--1~k |-I- P2ks~2s--2~k ~-I- ~ [ b k S D 2 s - 2 ~ - 1

_]_ (;l~s

"°'/c "r~28-- 21--23 J

= k s lc

con p~S 0 in Ts~ e p~ # 0 in Tsl.

Con i coeffieienti verifieunti le seguenti eondizioni:

(3.~) I we{i,...,~+m}

~,

a = ~ ( x ) ~ > a o l ~ ] ^TM

] a l = l f l l = m

(3.2)

% o @ ) > v o > 0 con e 0 cost~nte tale che:

(3.3)

(--1)s-lp~'>O ;

p ~ 8 = 0 ::> ( - - 1 ) S - ~ p ~ > 0

~ {1, n + 1).

e le funzioni

a~(x)e C (Ts~) Vo~, Vfi e k e ...,

I n d i c a t e , a,t solito, con As~ e Bs~ le basi dei eilindri Ts~h e con ~ le s,perfici late- rali, eonsideriamo in ciascun eilindro il problema:

(3.4)

k l

/)~ul.~,, = o

o k

in Tsa

per 1 = 0, 1, ..., m - - 1

per l = 0, 1, ..., s -- h -- (1 -- yk~)(2 -- h) per t : 0 , 1 , . . . , s -- h - - yk~(2 -- h) dove, rieordiumo, 7~ ~ definito da:

I Y ~ = 0

se p ~ ( - z) ~ > 0 se p~8(_ 1)8 < 0 .

A ciascm] oper~tore As~ associamo la f o r m a bilineare:

(3.5)

: ~ ( u , v) ~ ~ '

I ~ t , I f l l < < . m J

-F p~8(__ 1), f D;uD~-tvdx,_F (__ 1)~-lp~s f D~-luD~-lvdx,_~ -

z.% T.%

fo fo j

s--l--1 k8 8--I 8--I--1 ~ s--l--I ks s - - l - - 1 s--l--I ~I]

-t- ~ ( - - 1 )

b, k D~ vdx Jr-

( - - 1 )

v~ k uD~ vdx

I = 1

r.% To\

= ks k

con p~S 0 in Ts~ e Pl # 0 in T81.

2~t2 M A I C ~ O S ~ A T~CAICICo: Sui

problemi al eontorno per le equazioni, e~e.

Vogli~mo p r o r a t e il seguente lemm~:

L]~z~A 3.1. - Vk e {1, ..., n + 1}, Vs e {2, ..., m} e h e {1, 2} 3~o > 0

ta~e ehe, VA > ).o si abbia:

VIe

C~(T~s~ ) esiste almeno una u ¢ & ( T ~ ) soluzione del problema

(3.4).

Dz~. - D i s t i n g u i a m o i due c~si: h --~ 1 e h = 2.

Cominci~mo col p r o v a r e F~sserto p e r h = 2,

Consideriamo, ~ t~le scopo, la f o r m u bilineure

¢~(u,v)

definitu ne]lo

s /~ s /z .

J~ (T,~)×J~ (T,~), per la (3.2), se 1 6 ((sufficientemente g r a n d e ~>, si h~:

f

[a~,I#l~<m

bs~ T ~

aa~ f2sa

8 - - I

4- ( - 1)'-lP'~IID~-%II~,(T:.)-- Z ~' ~ ,-x = -,+z+x

ossiu p e r gli oper~tori A~.

spazio

~vendo osservato che:

f D ~ u D ~ - % d x ' =

0 Vl = 1, ..., s -- 1 .

Poich6, o v v i ~ m e a t e , risultu:

per il t e o r e m u di Lux-Milgram, si ha: V] e C~(T~), 3 ! u e Je'(T~):

(3.7)

:~,~(u, v) = f i r ax' Vv e ~ ' ( r ~ ) .

Poich6 risultu:

possiamo riscrivere lu (3.7) per le v e ; E , ( T ~ ) . I n t e g r ~ n d o per p a t t i , o t t e n i a m o :

t "

r,~, T.% J

+ ( - k uDk v d x ' + ~ (--1) b~

l = l

MAlCIA]~OSARII TR~OA]~IOO: S u i problemi a~ eontorno per le equazioni, etc. 243

" ~ ' S - - / - - 1 k S l ~ r ~ S - - / - - 1 . r ~ s - - ~ - - l - z

o,]

k s 2s -- 2 t

+ ~ D~ ~a~ + Z & D~ s-~-~

J J Ic~Mfli<~.m

* 2

Con che 1~ (3.7) 4iventa:

Vv e ~ , ( 2 ~ ) .

Inoltre, poich6 u eJ6S(T~e), si ha:

(3.9)

D : u e L2(T~9.)

= 0

per 1< < ~

I ~ = 0 , 1 , ...,s--2

per

l

p = s - - l , ..., m - - 1.

Sfruttando i procedimenti di regolarizzuzione ~doperati in [3] si pub vedere che,

oa k .

essendo ] ~ C ( T J . (3.1o)

(3.11)

u e C~(K) V dominio K c T~ -- Z~

verificu q.o. le (3.4:) in Ts~. k

Poieh~ le (3.9) e (3.10) comportuno l'appartenenza di u ud J~(T~2) l'~sserto ~ provato nel cuso degli oper~tori A~2-

Per dimostrare il lemm~ ~nche per gli oper~tori A~, consideri~mo, Vk e Vs, l'operatore:

con s ( - 1) s > 0.

Evidentemente A~

Ao = ~ , + ~ + ~D~ s

dello stesso tipo degli As~ studiati in precedenza, con l'unica differenz~ di avere s ~ 1 in luogo di s. Pertunto, gr~zie a quunto si ~ ora provato

(cfr. la (3.7)), possi~mo dire ehe, qualunque sis s, con (--1)% > 0, risult~:

2 ,~ s + l k

Vl ~ L (Tsl), 3 ! % e ~ (Tsl)

(3.12) :~l(U~, V) + e(-- 1) ~ . f D , k % D ~ v dx = Iv dx s , [ , Vv 6 JC ,+1 (Tsl) .

4 ,

r:, r:,

2~4 1V[ARIAROSAlCIA TRICAI~IC0: Sq~i problemi al oontor~,o per le equazioni, eve.

S c r i v e n d o la (3.12) p e r v = u~, se Z 6 (( s b b s s t s n z a g r a n 4 e ~, ed e~ > 0 u n a o g p o r - t u n a c o s t a n t e , si t r s e :

(3.13) f ] u , dx'

8 - - 1

l = l

. ~ - - s ÷ l ÷ l 2 c¢ 9, s

lal<m

D~lIs

(3.13)

si r i c a v ~ i m m e d i s t s m e n t e :

(3.1 t)

lal~m

A l l o s c o p o di p r o v s r e t h e le u v e r i f i c s n t i l s (3.12) c o n v e r g o n o a d u n s u p e r c u i v s l - g s n o le (3.4), c o n v i e n e q u i i n t r o d u r r e u n s u l t e r i o r e classe f u n z i o n s l e , ehe v e r r ~ in- dicst c o n

L (T~) per l~1<2m

of~ o k

3 due domini: H u c AsI, K~ c B~I, tali ehe:

= = o = 0 , 1 , . . . , 8 - 1

D~ulH ~ = 0 p e r 1 = 0, 1, ..., s - - 1 - - y ~ /)~uI~ ~ ---- 0 p e r 1 = 0, 1, ..., s - - 1 - - (1 - - 9"~8:

1)~u]z L = 0 p e r 1 = 0, 1, ..., m - - 1

]~ chi~ro c h e 6(T~1 ) n o n ~ i n c l u s s i n ~ + ~ ( Tl~*lt~ i n q u a n t o , o su K ~ , o s u H ~ , la gene- r i c s u ^e ~(T~I ) verifies e s ~ t t a m e n t e u n a c o n d i z i o n e i n m e n o r i s p e t t o a quelle neees- JC (Tsl). P e r t a n t o n o n si p u b s c r i v e r e la (3.12) 13er la ssrie p e r l ' s p p a r t e n e n z s a d 8+1

g e n e r i c s v e g(T~l).

A n d i ~ m o , ~llora,, s v e d e r e qu~le r e l a z i o n e r i m p i s z z i 1s (3.12) se a d o p e r i ~ m o le v e 9 ( T ~ ) c o m e t e s t - f u n c t i o n s . A t~le s c o p o , i n d i c h i a m o c o n I - - I ~ e J --= J~ d u e

k~( o / :

i n t o r n i (su R ~+1) del d o m i n i o K~ c J~l se Pl - - 1 ) 8 < 0 [risp. del d o m i n i o H~ c A~I , se Pike(-- 1)~ > 0] a s s o c i a t o s l l a g e n e r i c s v e 9 ( T ~ ) , t~li d a a v e r s i :

o k

K~ c l c J c J c [2~ × R [risp. H~ c l c J c J c ~2~ x R ] .

Sisno, poi, $0, ^{G e}

C~(R ~+1)

due funzioni tali che:

$o ---i in I; $o - - 0 in R ~ + 1 - J ;

$i -- 0 in f; $i -- 1 in R ~+I -- J;

O < G < I

0<I; $ o + & - - i

MA~IA~0S~XA T~IO~XOo: Sui prob~emi al vontorno per ~e equazioni, evv. 2~5

e p o n i a m o , p e r la generica v e 9 ( T ~ ) :

Vo ⁼ V~o, vl ⁼ v~l.

O v v i a m e ~ t e , si a~r~:

(3.15)

s+l ~ a n2s-l~ LU(T~I) per

vx ^{e 3£} (Ts~) ; D~vl, .,..~ v 1 ^e 1o:] < 2m

v o - - - v in I ( 3 T , ~ , v o - - 0 in R" + ~ - J .

Possiamo, quindi, scrivere 1~ (3.12) pe~ v = v~, e, integr~ndo p e r p a t t i , t r ~ r n e : (3.16)

N o t i a m o , d a l t r o n d e , che, sieeome in ~'s~ (3 J n o n eadono p u n t i ~ngolosi di; ~ sl adoloer~ndo p r o e e d i m e n t i di regolarizzazione del tipo di quelli eli [3], dalla (3.12) si pub d e d u r r e :

(3.17)

D ~ 2

[ ~ + ~,~ + ~]~, = I i~ r~ n J

D~%[~zL,~ = 0 p e r ~ = 0, 1, ..., s -- 1 .

~[oltiplieando, allora, p e r v e i n t e g r a n d o p e r p a r t i , si h a : (3.18)

T~I n ,~ T~, n J

em~nz m~,. n..Z

+ f

_{Ts~, n J T~I}

f

_{n J}

si n o t i che: 8T~ ¢~ I D K~ se p ~ ( - - 1) ~ < 0, m e n t r e : ~T~ n 1 3 H~, se p~8(_ 1)8 > 0.

D~ (3.16) e (3.18), essendo: Vo + v~ ~- v, si deduce:

(3.19) f

%( A~O* v dx'-t- A f % v dx' =

f

Ora, dalla (10.2) di [3] s c r i t t a p e r a ~ r -- 1 = s, si t r a e :

(3.20) ½-I/~ 8 ~ 8+1

246 ~L~I~III%OSAICL~ T ~ I C ~ I c o : Sui proble/mi al eontorno per le equazioni, etc.

Dalle (3.13) si deduce l'esistenza di u n a successione { u J , ~ , con e~ -~ 0, convergente debolmente in L~(T~) ~d un~ u e L~(T~). Scrivendo, ~ltor% 1~ (3.19) per tali u ~ e passando ~1 limite per , - ~ co, grazie a (3.14) e (3.20) si ottiene:

T ~

L~ (3.14) assicura anche che le D:u~. convergono debolmente in I e ( T ~ ) ~ D~u D u ! ~ = 0 per l = 0 , 1 , . . . ~ m - - l ~ si ha:

(per [~]<m), e poieh~ b: ~ ~]z,~

(3.22) D ~ u ~ Z ~ ( T ~ ) , per ] ~ [ < m e D ~ u [ z ~ = 0 per l = O , l , . . . , m - - 1 inoltre, con i procedimenti di regolarizzazione di [3]~ essendo /e C ~ si prova che:

(3.23) (3.24)

u e C¢°(K), V dominio K c T~ -- ~ u verifica quasi ovunque in T~ le (3.4).

L e (3.22) e (3.23) comport~no l'appa.rtenenza di u a d JL(T~); il l e m m a b cosi provato anche p e r h = 1.

Passiamo~ ora, ~ considerare il caso partieolare in cui, in A~, risulta:

~s /¢s

p~ = 0-¢~p2 # O .

Sulla base del lemm~ 3.I~ rieorrendo ad operatori integrali del tipo di quelli intro- d o t t i nel n. 3 di [4]~ e svolgendo lo stesso tipo di ragionamenti, si giunge a provare il seguente:

* Z e : ~ , ( T ~ ) TEOI¢~A 3.I. - 3 t 0 > 0 tale ehe, se t~>io, allora: V2~e C o ( ~ ) , 3!

tale ehe risu~ti:

AsaZ + XZ = F ; D k Z+ Je,(Tsh)

(3.25) ~ z s - ~ k

(3.26) IID~ ~ 8 - ~

ZIiLqr:O-~- Z

IID~ZHL, c~:~)<elIFII~,(Th)

I a l ~ 2 m

con c i~dipendente da F.

l~ileviumo, infme, che in modo de1 t u t t o anulogo si procede nei cflindri T~ a.

In essi si pone il problemu:

(3.4')

= o

= 0

= 0

per ~-~-O, 1 , . . . , m - - 1

per l = O , 1 , . . . , s -- h - - (1-- ?~)(2 -- h) per l = 0 , 1 ~ . . . , s -- h - - y~(2 -- h)

:M~t~I~osA~.~ T l ~ I C ~ c o : S u i problemi al contorno per le equazioni, eev. 2~7 e con procedimenti del t u t t o analoghi a quelli fin qui adoperati, si giunge a pro- r a r e u n teorem~ che si e n u n t i a e s a t t a m e n t e t o m e il t e o r e m a 3.I, salvo che per la sostituzione di T ~ con /~a.

4. - U l t e r i o r i p r o b l e m i a u s i l i a r i in u n eilindro.

Assegnamo nel cilindro Js~ = ~ x [ x k , k x~] un operatore ellittito A ~ a cocifi- cienti costanti:

A,~ = ( - 1 ) ~ Z ~ ~ 1) ~ bD k 2~ ~k, n 2 , - h

I,~l = Ifll = m

con h ~

{1, 2},

dove si ~ 1)osto x = (x~, ...,x~_~, x~+~, ..., x~+~) e dove la cost~nte p~' di segno quMunque, m e n t r e risulta:

e > 0 , b > 0 , p~S(_l)~-~ > 0

l c q = 1 3 l = m

Ci p r o p o n i a m o di studi/are fl laroblema:

=

t

D~u _O~sa ~ - _{x [m~,mk]} = 0 .D~u(x, Y~e) = D~u(x k ~k) Osserviam% intunto, t h e l'ol)eratore As~:

in Jsa (con ] ~ Z~(J~a)) o k

per 1 = 0,1, ..., m - - 1 per l = O~ 1~ ...~ 2 m -- 1 .

As~: ff(J~h) -+ Z~(J~h) lineare e eontinuo.

Accanto a As~ consideriamo, 10oi, l'operatore (Ash). uggiunto formale di Ash:

k o~ fl h ~ k s T ~ 2 s - - h

(A~a). = (-- 1) ~ ~ + (-- 1)~bD~ ~ +

e l'operatore ~./AT~.~a~* aggiunto funzionMe di A~; ossi~ l'operatore:

(A~D*: L2(J~) =-~ [ff(J~a)]' definito dMla posizione:

f v 2 ~

(4.3) <(A~D*v,u> = <v,A~u> = A~hudx' Vueff(J~h), V v e L (Jsa).

Jh

248 ~V[ARIAtCOSARIA TRICAI~ICO: S~i problemi al contorno per le equazioni~ eee.

Cominci~mo col p r o r a t e :

L E p t A 4.1. - Sussistono le seguenti implieazioni:

(4.5) ] e L (Jsa), u e L (J~). fvdx', Yv e ¢ ( J ~ ) =>

s,~ s.5

con K ingipendente da ~, u e v.

D ~ . - L e due implicuzioni (4.4) e (4.5) si provuno in modo ~n~logo; possi~mo limiturci, dunque, ~ dimostraxne unu sola., per-esempio ]u (4.4). P e r prov~re 1~ (4.4) dobbi~mo prim~ di t u t t o ~ r vedere che v ~ W ~ ( J ~ ) . Or~, per i lounti x ' ~ J ~ i a t e r n i u J ~ , si dimostr~ senzu difficolt~ essendo l'oper~tore As~ e]Iittic% l'esistenza di u n intorno I a J ~ di x ~ tale che:

(~.6)

P e r i p u n t i x'E ~ s ~ x ] ~ 7 ~ , ~ [ a,ncor~ si :pub ottenere l~ (4.6), dopo u n oloportuno cumbiumento di coordinute che (( uppiuttisc~ ~) loc~lmente lu frontier~ di J~a. l~est~, quindi, du o t t e n e r e 1~ (4.6) per i p u n t i del tipo (x, xk) e (x, xk) con x ~ D~; A t~le scopo, s f r u t t u n d o lu periodicit~ rispetto ud x~ delle u ~ ff(J~), prolunghiumo le fun- zioni ], u, v, al di fuori di J ~ nei citindri sovr~pposti ~ J,~: J ' = ~ X[x~, 2 x ~ - ~ ] e J'~ : ~ X [ 2 ~ -- ~ , ~ j ponendo:

l ( x , x,o) = t ( x , x~ - (x~ - ~ ) )

~ ( x , x~) = u ( x , x~ - (x~ - ~ ) )

~(x, x~) = ~ ( x , x~ - (x~ - ~ ) )

/(x, x~) = / ( x , x~ + (x~ - ~ ) )

~(x, x~) = ~(x, x~ + (x~ - ~ ) ) v(x, x~) = v(x, x~ + (x~ - ~ ) )

Vx~ e [~,~, 2 ~ - ~ ]

V x ~ e [ 2 ~ -- ~ , ~k] •

Cosi p r o l u n g a t a 1~ funzione u risulta chiaramente di classe ff(Js~, U J ' U J"); inoltre si vede ~acilmente che:

J ~ u J ' u J ~ J ~ u J ' u J "

M ~ n ~ A n o s ~ T R a c k , co: S u i prob~emi al contorno per le equazioni, etc. 249 I n t a l m o d o i p u n t i (x, Y~) e (x~ x~) con x ~ ~ risultano i n t e r n i ~1 cilindro J " t3 Js~ w J ' o al pi~ a p p a r t e n e ~ t i ~11~ sui0erficie laterale dello stesso cilindro~ m a n o n alle basi:

in ogni caso ci siamo riloortuti ad uno dei due casi p r e c e d e n t i e~ quindi~ possi~mo concludere che:

Successivamente~ d~11~ relazione:

J ~ J ~

i n t e g r a n d o per p a r t i su Js~, e r i c o r d a n d o 1~ definizione di 'Y(J~), si ha:

f [ ( A ~ ) , v - - ]] u , t x ' = 0 Vu z '~(J~) ga~

d~ cui, p e r l ~ r b i t r ~ r i e t ~ di u e 'Y(J~a), si r i c e r s :

(~.8) ( A ~ ) , v = ] .

I~esta, quindi, du p r o r a t e soltanto 1~ periodicit~ di v e delle sue d e r i v a t e r i s p e t t o a d x k sulle basi del cilindro; da cib seguir~, i n ~ t t i , l'appa, r t e n e n z a di v alla classe ff(J~n). A tale scopo, 1)osto ~ = x~ -- ~ , x~ = ~ + r~ con r i n t e r o q u a l u n q u e , con-

co /z

sideriamo u a ' u r b i t r a r i a funzione ~ ( x ) ~ C O (~2~) ed u n a funzione #(x~)eO~'(R) tale che:

o per e/3 < Ix - <2e/3

#(xk) = (xk -- ~kJ~'~2~-~ per Ix k -- x~] < ~/6

#(xk) periodi'ca in tu~to R di periodo ~.

Vr~ Z

I n f m e , con M > 0, p o n i a m o :

UM(X, X k) = ~(X)#(Xk) exp [-- M ( x k -- x~) 2] in [x~ -- Q/2, x~ ~- ~/2], Vr ~ Z . O v v i a m e n t e risulta: u ~ e ff(J~), per cui s i h a :

f ax'= f dx,

8h Jsh

Ossi~:

V M > O .

1) bD k u M + e u ~ + p~ D k u M 4x - - ] ~ g x

[ a [ = Ifl] = m j ~

250 MARL(R0SAR!A TR!OARIC0: S u i p r o b l e m i al eontorno p e r le equazioni, eev.

d~ cui, integr~ndo opportunamente per lourti e tenendo presente che:

si ^h~:

(4.9)

Z ~ z I ~ z ~ × ~ = o ,

( - i)'~bfvD~%~ &'

Di qui si ricava:

(4.1o)

Vl ; D ~ u ~ ] , ~ = , i = 0 , Vl V= 2 m - - 1, Vr e Z

~ f f ' a ~ d x ~ - - e f u M v d x / - ~ -- j~

j ~ Io¢1 = IflI = m j , ~

e da (4.10), osservsndo che risulta:

2 / a - - 1

D k UM(X , X~) ---- ~(x)(2m -- 1)!

si deduce:

(4.11) (-- 1)"b(2m -- 1)!fq~(x)[v(x, ~k) - - v(x, ~'~)]dx --

dove si sis 1oosto:

Vx;

] ~v ( - 1 ) ~ Z ~ ~

= - - - - e@D~D~v

l ~ t = l f l I = m

e dove la T~ grazie ulla (4.7), verifies le relszioni:

(4.12)

(4.1a)

It ~!I L,(J},0 < K [ tl.f II z,,(j~,o nL il v II z,,(J2,,)]

II D~v

I]

~,,(j}~) << K [ III ll.(j~) + I1~' II ~,<~2,a] •

Sfruttsndo le (4.12) e (4.13) si possono, quindi, maggiorsre gli integrandi ~ secondo membro nells (4.11), uniformemente risl0etto ad M, con nns funzione sommabile;

osservsto, quindi, ehe Vle Vxk~ ]xk, xk[ risult~: lira M - - > + co D ~ u ~ ( x , xk) ---- O, lOossi~mo ~p- plie~re il teoremu di Lebesgue, sul Ioussaggio ul limite sotto il segao di integrale, 91 seeondo membro dell~ (4.11), ottenendo cosi:

~I~A~OSA~)~ T R a c k , CO: Sui probtemi al eontorno per le equazioni~ eve. 251

¢0 k

da cui, per l'arbitrariet~ di ~0(x) e C O ( ~ a ) si ric~va:

(4.14) v(x, Y.,) ~-- v(x, x,) q.o. in ~2,~.

Stabitita 1~ (4.14), ci r i m a n e d a dimostrare le analoghe della (4.14) per le derivate rispetto ad x~, 4ella v; procederemo, allora, per induzione; supponendo che risttlti:

(4.1~) D~-~,(x, ~) = D~-~,(x, x,)

dimostriamo che vale 13ure:

D~v(x, Y.~) : D~v(x, x~) V l < 2 m -- 1 .

A tale scopo, osserviamo che, per la (4.15), integrando o p p o r t u n a m e n t e in (4.9)~

si o t t i e n e : (4.16)

J.\ J,~ J.5

÷ ( - 1) ~*~ ~, f ~ u D : D ~ x ' - - ~ L ~ , ~ - ~ -

1~1 = Ifll = ra j~a ,/~h. J v " ~ k 'a d x l •

P o n e n d o eli nuovo T : ] - - e v - ~ (--1)me~D:D~v, utilizz~ndo la funzione:

I ~ l = l f l l = m

/ °

#~(x~) ~ C°'(R) e periodica di periodo ~ ~ x k -- per e/3 < Ix~ - ~21 < 2e/3

per Ix k -- x~l < ~/6

~k

Vre Z

e, quin4i, ponendo:

%~(x, xk) : qJ(x)~(x~.) exp [ - M ( x k -- xk) ] ~ 2 per Ixk -- x~l < ~/2

da (4.16) con procedimento analogo ~ quello adoperato per giungere atl~ (4.14), si t r o v a :

f ~

(x)[D~v(x, ~) - Die(x,

~k)]ax = 0 vq e v o ( ~ ) c~ Ok

da cui, come si voleva, per l'~rbitr~riet~ di ~ ~ C O (~sh) k

D~v(x, 5k) = 1)~v(x, ~k) (1.o. in ~2~, V/<2m -- 1 .

252 M A ] ~ O S A R I ~ T ~ c ~ c o : Sui problemi al eontorno per le equazioni, eee. ,~

An~logumente si pub p r o w r e che:

D~vloah × ~ . . ~ - - 0 per 1 : 0, 1, ..., m -- 1 e con cib il lemm~ ~ complet~mente provato.

Dimostriumo, oru, il seguente teorem~:

T ] ~ o ~ n ~ 4.I. - V] c Z~(J~a) ~ ! u m ~(J~): A~au~ -~ ]. Ossia, V] e L~(J~a), esiste una ed una sola soluzione gel problema (4.2). Se~ poi, risulta: f e C (J~), allora, ~a solu-

co I¢ - -

zione u ~ '$(J~) appartiene anehe a C (Jsa 8~9~a × {#~, 7~}).

D ~ . ^- Se u c ff(J~a), si h~, o w i a m e n t e : As~u ~ L (J~a) e ~ ~ inoltre, integrundo per p~rti, si h a :

sh s.~

Allora, per ]a (4.5), si pub dire che:

(~.~7)

Dull~ (4.17), per il teorem~ di Peetre, si ric~v~ che l'operatore As~ 6 a codomimo chiuso e il nucleo h~ dimensioae finita. Dunque, se dimostreremo che yule Yimpli- cazio~e:

(4.1s)

^{(A~h)*v = 0 ,} v e Z~(J~a) ~ v = 0 q.o. in J ~ avremo dimostr~to t h e il problem~ (4.2) ~ risolubile V]e Z2(J~).

Dimostri~mo~ ~llor~, 1~ (4.18), per h = 1 e h = 2.

A t~le scopo, osservi~mo che, dix'e c h e v e L2(J~) e (A~h) v ---- 0, vuol dire, per 1~ (~.3), che:

(4.19) v e L2(J~) fvA~h u d x ' = 0 Vu e ¢(J~h) .

Moltiplicand% allots, l'ecluuzione (A~h).v = 0 per v, integrundo per p a t t i su J ~ e s f r u t t a n d o la periodicitg di v, si ottiene, per h = 1:

(4.20) 0 = ~ ec, a l D ~ v D ~ v d x ' + b l ( D ' ~ v ) ~ d x ' +

j .p

+ofv dx,+ , s(_l) lfD -lvmv x'=bf(Drv) d '+

J h Js~ J *~

i

^{v dx'}

M ~ R o s ~ I ~ T ~ z c ~ c o :

Sui problemi al co~torno per le equazioni, eec.

253

~ - ~ f v ~ x r ~ - b f ( D ~ v ) ~ x ~

I~l = m

An~logumente per h ⁼ 2:

(¢.2o') ~vD~vdx -4:- b

W k

lal = ItS[ = ~n

÷ v f v~dx' ÷ b f (D~v)~dx' + p~'(-- x)-- f (D~-%)~dx' > c,,vI]~.(¢,~)

e s s e I l d o e~ b~ lo~ (--1) ~s s - ~ > 0 e ~vendo indicato con ~(~, x~).1~ tr~sformat~ di Fourier di v risl)etto a d x. D~ (4.20) e (~.20') si ricav~, in ogni caso, come volcvusi dimo- str~re:

v ~ 0 q.o. in Js~.

Poich@ in modo del t u t t o unulogo si pub dimostr~re chc:

(~.2~)

~ " $ ( J ~ ) , A ~ u = 0 ~ u = 0

q.o. in J~

la soluzione del problemu (4.2), in corrispondenz~ di ciuscunu

]~ L~(J~h), ~

unicu, in qu~nto 1~ (4.21) ussicur~ che il nucleo dell'oper~tore Asl~ ~ costituito dull~ sol~

u ~- 0. I1 tcorem~ rest~ cosi complet~mente prov~to.

Studiamo~

or~, il problemu (4.2) ne] cilindro Js~ = ~ a × [ x ~ , x~] per u n t)~rti- 7~

colare operatore A, nei cui coefilcienti compaia, u n para.metro a~ > 0. Precisamente consideriamo: Vk~ {1, ..., n -~

1},

Vs e {2, ..., m} e h ~ {1, 2} l'oper~tore:

~"\ ( - 1 ) '~ ~ ~ D ~ D ~ ~ b ( - - 1 ~ OT~2,~ ~ ~ ~--2~T~2~--~

I a I = l f l l = m

~s j _ ) s - 1

dove le costun~i b, 0, v, pe (-- sono cost~nti positive, lu p~ h~ segno qu~lunRue e le c~p verific~no 18 (4:.1). Ci proponi~mo di dimostr~re u n teorem~ ehe r~ifini il

17 ^-

Anr~ali ~i Malvmatica

25~ M~I{Y~A~0S~mXA TI{xCA~xCo: Sui problemi al contorno per le equazioni, etc.

risult~to o t t e n u t o col t e o r e m u 4.I, pe~altro w l i d o p e r l ' o p e r a t o r e A ~ , o t t e n c n d o ma.ggioruzioni in cui comp~i~ e s u t t u m e n t e il ruolo del p u r a m e t r o a~. D i m o s t r i u m o cio~:

- C0 (<h), 9 ! v e C ( J m - 8 ~ X {Y~, ~ j ) t~ ff(J~a).

(~.22) (4.23)

- - - 0 p e r l = O , 1 , . . . , m - - 1

0 I 2m _ h - - 2 s ii T~2s--h ~ ~¢

l a ~ < 2 m

~b t]

Din{. - Lu (4.22) 8 d i r e t t a c o n s e g u e n z a del t e o r e m a 4.I.

Moltiplicando l ' e q u a z i o n e A~av = ~b u n a v o t t ~ p e r (-- 1) ~ 0 ~ a~D~ v, u n ' ~ l t r ~ p e r v,

9 J l C O r ~ p 0 i ~ l O e r ~ c s _ h - - 2 ~ a ~ 2 s - h /~a % ~J~ v e i n t e g r ~ n d o p e r p ~ r t i s a . J~\, p r o c e d e n d o c o m e nel t e o r e I n ~ 3 . I I I di [4], si o t t i e n e lu maggior~zione:

(~.2~)

^{0 2m h--2s 28--h}

+

[cq~<2m

II D: v II.(.,:.> < K il (~ lI.(j;,) •

" D~D~v con I~l + l < 2 m , che, invece,

I~imane, cos1, d a m a g g i o r a r e le d e r i v a t e m i s t e ~

nel t e o r e m ~ 3 . I I I di [g] c o m p a i o n o solo p e r t~l + l = 2m.

I n d i c h i a m o con V u n p r o l u n g ~ m e n t o di v in R ~ + ~ - J ~ , t a l e da a v e r s i :

(4.25)

V e W2"~(Rn+I) ; V ~ 0 al di fuori di u n a sfer~ S D J ~ ][D~D k VIfL~(R.+q-~.KItD~Dkv]]L~(jh) p e r [~[ + l < 2 m .

A d o p e r ~ n d o gli o p e r a t o r i 3 ---- (1/i)D, p e r [~[ + ~ < 2 m , si h a :

(4.26)

R n + l d

R n + z Rn+X

d o v e con ~(~, 3) a b b i a m o i n d i c a t o la t r a s f o r m a t a di F o u r i e r di Y(x, x~). P o n e n d o p : 2raft si ~vr~, essendo ~ + fccl<2m:

2pie, [ 2(2//z)1~ I 2.2m(2m--Z)

iP - - 1 - - (2m - - 1)fl (2m - - l) ---- 4m

MA~IA~OSAI¢~ T~ZCA~Co: S u i problemi a~ eontorno per le equazioni, eee. 255 e, quindi, per le (4.24) e (4.25), dalla (4.26) si ricava:

(4.27)

2m j

Ra+l

2 m - - 1 f 1 e ~ / t D~mV ~ +~

2 m - - 1 ~ , ~

_~ _ _ e - ~., - ~, IlD2V]]~o(."+')<K[e2":+'<~'; + e-2+~/2"-']lI+])~,<+:=):

- - 2 m lat~<2m

avendo osservato che in ogni caso risulta: 1~l(2~I=l)](v-~)<l + I~[ ~ , V ~ e R " . Fissando anche e, imponendo che risulti:

trovi~mo:

82m1~ c;~ 20 ~ e - 2ml(2m- D

e ~ a~ ~(~+-~)1(~) ", e2~/za[ 2° -= a [ ~°/+

per cui, sostituendo in (4.27)~ t r o v i a m o :

e c~uindi:

II D~ D k V H L,(~-+') < K % ]i q~ l] ~,(+h)

q~ IlD=nk vliL,<~.+,) <Kti~ll~,(j:~>.

e, dunque, r i t o r n a n d o alla v e s o m m a n d o si perviene ~11~:

( 4 . 2 8 ) ~ o~t~ = z

i~I + l<<.2m

L a (4.28) con la (4.24) prova la (4.23) e con cib il t e o r e m a ~ c o m p l e t a m e n t e dimostra£o.

5. - II t e o r e m a di r e g o l a r i z z a z i o n e .

Vogli~mo, ~ questo p u n t o , occuparci del problema di regolarizz~re le u veri- ficanti l'equ~zione (2.23).

P e r noti teoremi sutle equuzioni ellittiche si h a a n z i t u t t o : T E o l ~ E ~ 5.I. - Vu ~£~(G) verifieante la (2.23) risulta:

(5.1) u e W2~(K) V dominio K c G 1 = G -- U (Ts~ u T~ h)

k,s,h

L u = l in G 1 ; D , u t r n a 1 = 0 per l = 0, 1 , . . . , m - - 1

(5.2)