Provadiprova 1 - aggiornamento 23ott - Analisi 2 IngCivAmb 2013-14

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Universit`a di Trento - Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Analisi matematica 2 - a.a. 2013-14 - Prof. Gabriele Anzellotti

Provadiprova 1 - aggiornamento del 23 Ottobre 2013

a)

Curve: rappresentazione qualitativa, velocit`a, versore tangente, curvatura, lunghezza, integrale di una funzione rispetto alla lunghezza d’arco; baricentro. 9 punti

b)

Calcolo per affettamento del volume di un insieme in R³: insieme ottenuto ruotando un insieme in R² intorno a una retta; insieme che sta fra i grafici di due funzioni di due variabili; insieme E = ψ(F) ottenuto come immagine attraverso una trasformazione lineare ψ di un insieme F di cui il volume `e gi`a noto. 9 punti

c)

Calcolo dell’integrale di una funzione di due variabili f sopra un insieme E mediante le formule di riduzione o mediante un cambiamento di variabile affine f (pu`o includere la rappresentazione grafica qualitativa dell’insieme E e della funzione f ); baricentro di un insieme 9 punti

d)

Trasformazioni lineari e affini in R²: uso delle matrici e dei vettori; immagine e immagine inversa di un semplice sottoinsieme di R²(retta, segmento, triangolo, parallelogramma, cerchio); parametrizzazione affine di un parallelogramma e di un triangolo; area dell’immagine di un insieme attraverso una trasformazione affine. 9 punti

I punti a disposizione sono in tutto 36. La sufficienza si ottiene con 18 punti, che ad esempio si hanno con due esercizi svolti completamente.

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Esempi per b)

1. Si consideri il sottoinsieme E di R³ottenuto ruotando intorno all’asse z l’insieme F= {(x, z) ∈ R²

ln x < z < 0}

i. Fare un disegno qualitativo che rappresenti l’insieme F.

ii. Calcolare l’area di F.

iii. Fare un disegno qualitativo dell’insieme E.

iv. Calcolare il volume dell’insieme E.

2. Sia R > 0 e si consideri l’insieme E = {(x, y, z) ∈ R³

(x − 1)²+ (y − 1)²+ z²≤ 1 , y < 2 − 2x}

i. Fare un disegno qualitativo della proiezione ortogonale dell’insieme E sul piano xy.

ii. Fare un disegno qualitativo dell’insieme E.

iii. Calcolare il volume dell’insieme E.

3. Si consideri l’insieme E = {(x, y, z) ∈ R³: y²+ z²≤ 1, z ≥ 0, 0 ≤ x ≤ 2 − z}.

i. Si rappresentino le proiezioni dell’insieme E sui piani coordinati xy, xz, yz.

ii. Per ogni t ∈ R si descriva l’insieme E_t ottenuto intersecando E con il piano z = t, si disegnino le proiezioni di E_tsui tre piani coordinati e si calcoli l’area di E_t.

iii. Si calcoli il volume dell’insieme E. [R: π −²₃]

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Esempi per c):

1.

i. Si rappresenti graficamente l’insieme E=n

(x, y) ∈ R²

0 ≤ x ≤ 2 −y

2; 0 ≤ y ≤ 2o ii. Si rappresenti il grafico della funzione f(x, y) = 1

1 + ysull’insieme E.

iii. Si calcoli l’integrale Z

E

1

1 + ydxdy R.⁵₂log_e3 − 1

2. Nel piano R²si considerino le coordinate xy.

i. Si disegni il parallelogramma H di vertici P₀= (−2, 1) , P₁= (2, 2) , P₂= (1, −3) , P₃= (5, −2).

ii. Si scriva una parametrizzazione affine di H dal quadrato Q = {(x, y)

0 < x < 1 ; 0 < y < 1}.

iii. Si determinino le coordinate del baricentro di H.

iv.

Z

H

(x + y) dxdy R. 19

3.

i. Si descriva e si rappresenti il grafico della funzione f (x, y) = e^x^y sull’insieme Q =(x, y) ∈ R²

0 < x < 1 , 0 < y < 1 . ii. Si rappresenti graficamente l’insieme A=(x, y) ∈ R²

0 < x < y², 0 < y < 1 iii. Si mostri che la funzione f `e limitata sull’insieme A.

iv. Si calcoli l’integrale Z

A

f(x, y) dxdy R.¹₂

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Esempi per a):

1. Si consideri l’insieme M = {(x, y)

x³= y², 0 ≤ x ≤ 2}.

i. Si rappresenti l’insieme M con un disegno qualitativo.

ii. Si scriva una parametrizzazione iniettiva di M con una curva γ(t) : I→ R²di classe C¹a tratti.

iii. Si scriva un’espressione del versore tangente τ(t) della curva e lo si rappresenti sul disegno.

iv. Si calcoli la lunghezza della curva, ossia la lunghezza di M. [R.16 27

11 2

³₂

− 1

! ]

2. Si consideri la curva piana α : [0, 2π] : → R², (cardioide) definita da α(t) = ((1 + cos t) cos t , (1 + cos t) sin t) i. Si rappresenti la curva con un disegno qualitativo.

ii. Si scriva la velocit`a della curva, si dica se la curva `e di classe C¹e regolare, si scriva l’equazione della retta tangente alla curva nel punto α(^π₂).

iii. Si calcoli la lunghezza della curva. [R.8]

iv. Si trovi il baricentro della curva. [R.(⁴₅, 0)]

Per la cardioide e per altri esercizi sulle curve, si veda http://www.science.unitn.it/˜mazzucch/

public_html/esercizi-curve.pdf e pi`u in generale la pagina di esercizi realizzata da Sonia Mazzucchi per il corso del 2012-13 http://www.science.unitn.it/˜mazzucch/public_html/

AnalisiMatematica2CivileAmbientale.html.

3.

Si consideri la curva γ : [0, π] : → R³, definita da

α(t) = (2t , 1 − sin t , cos t)

i. Si rappresenti la curva con un disegno qualitativo e si scriva il nome di questo tipo di curva.

ii. Si scriva la velocit`a e si calcoli la lunghezza della curva. [R. ` = π√ 5]

iii. Si scriva la funzione lunghezza d’arco s(t) tale che s⁰= kγ⁰k e si parametrizzi la curva rispetto alla lunghezza d’arco.

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Esempi per d):

1.Sia ψ : R²→ R²la funzione lineare che manda x = (x₁, x₂) in y = (y1, y₂), dove y1= 2x1 e y₂= x₁−x₂ . i. Si scriva la matrice che rappresenta ψ rispetto alla base standard e1, e₂ e si scrivano i vettori ψ(e1),

ψ(e₂)

ii. Si disegni l’immagine ψ(E) dell’insieme E = {x ∈ R²

− 1 ≤ x₁≤ 0 , 0 ≤ x₂≤ 1} . iii. Si scriva la funzione inversa x = ψ⁻¹(y).

iv. Sia T la retta di equazione x₂= 2x1− 1 . Si scriva l’equazione della retta ψ(T ) e si disegnino entrambe le rette.

Dato nella provetta del 2 maggio 2013. La soluzione si trova in questa pagina http://www.science.

unitn.it/˜anzellot/archivio.html#hide_ing_1213

2. Si consideri la funzione lineare ψ : R²→ R², x 7→ y = ψ(x) definita da y1= x₁− x₂e y₂= 2x1

i. Si scriva la matrice che rappresenta ψ rispetto alla base standard e1, e₂. ii. Si scrivano i vettori ψ(e1), ψ(e2) .

iii. Si descriva e si disegni l’insieme ψ(E) , dove E = [0, 1] × [0, 1]; se ne calcoli poi l’area.

iv. Sia N la retta di equazione x₁+ 3x2= 1 . Si disegnino N e ψ(N). Si scriva l’equazione della retta ψ(N)

La soluzione si trova nel diario del corso di analisi 2 IngCivAmb - 2012-13 (Esercizio 17.2.1 a pagina 47), che si trova nella pagina

3.

Si consideri il triangolo T in R²di vertici A = (2, −1), B = (3, 2), C = (−1, 3).

i. Si disegni il triangolo.

ii. Si scriva una trasformazione affine ψ(x) = ϕ(x) + w, dove ϕ `e una trasformazione lineare e w ∈ R², che mandi il triangolo standard di vertici 0, e₁, e₂nel triangolo T .

iii. Si utilizzi la matrice M della trasformazione lineare ϕ per calcolare l’area del triangolo T e si confronti il risultato ottenuto con il calcolo elementare che si fa contando i quadretti.

iv. Si descriva l’insieme ψ(B), dove B `e il cerchio di raggio R e centro l’origine.