Corso di Laurea in Ing. Meccanica (M/Z) Prova Parziale di Analisi Matematica 2 del 22 aprile 2017 – A 1. Data la funzione f (x, y) = 1 + x − x

Corso di Laurea in Ing. Meccanica (M/Z)

Prova Parziale di Analisi Matematica 2 del 22 aprile 2017 – A

1. Data la funzione f (x, y) = 1 + x − x ² − xy ²

a) determinarne, se esistono, i punti di massimo e di minimo relativo nel suo dominio, b) determinarne massimi e minimi assoluti nell’insieme

A = {(x, y) ∈ R ² | y ² ≤ x ≤ 2}.

2. Determinare una parametrizzazione della curva semplice e regolare avente per sostegno l’intersezione dell’ellissoide x ² + ^y ₂

+ z ² = 4 con il piano z = x − 2 nella regione y ≥ 1 e orientata in modo tale che il versore T tangente alla curva nel punto P = (1, 2, −1) verifichi T · i < 0. In tale punto si determini inoltre il versore normale e binormale, la curvatura e la torsione.

Risposte

1. I punti stazionari della funzione sono P = ( ¹ ₂ , 0) e Q _± = (0, ±1) e dal test delle derivate parziali seconde P ` e punto di massimo relativo mentre Q ± sono punti di sella.

Nell’insieme A si ha

max A f (x, y) = f ( ¹ ₂ , 0) = ⁵ ₄ e min

A f (x, y) = min

∂A f (x, y) = f (2, ± √

2) = −5.

Si osservi che max

∂A f (x, y) = f ( ¹ ₄ , ± ¹ ₂ ) = ⁹ ₈ < ⁵ ₄ .

2. Una parametrizzazione della curva ` e data da ϕ(t) = (1 + cos t, 2 sin t, cos t − 1) con t ∈ [ ^π ₆ , ^5π ₆ ]. Il punto P = (1, 2, −1) corrisponde a ϕ( ^π ₂ ) dove il versore tangente risulta uguale a T = (−

√ 2 2 , 0, −

√ 2

2 ) e T · i = −

√ 2

2 < 0. Si ha inoltre che in tale punto il versore normale ` e N = (0, −1, 0) mentre il versore binormale ` e B = (−

√ 2 2 , 0,

√ 2

2 ), la curvatura ` e k = 1 e la torsione ` e nulla (la curva ` e difatti piana).

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Prova Parziale di Analisi Matematica 2 del 22 aprile 2017 – B

1. Data la funzione f (x, y) = y ² − y + x ² y − ¹ ₂

a) determinarne, se esistono, i punti di massimo e di minimo relativo nel suo dominio, b) determinarne i punti di massimo e di minimo assoluto nell’insieme

B = {(x, y) ∈ R ² | x ² ≤ y ≤ 1}.

2. Determinare una parametrizzazione della curva semplice e regolare avente per sostegno l’intersezione del paraboloide 2z + 4 = x ² + ^y ₉

con il piano x = z + 2 nella regione x ≥ ¹ ₂ e orientata in modo tale che il versore T tangente alla curva nel punto P = (1, −3, −1) verifichi T · k > 0. In tale punto si determini inoltre il versore normale e binormale, la curvatura e la torsione.

Risposte

1. I punti stazionari sono P = (0, ¹ ₂ ) e Q _± = (±1, 0) e dal test delle derivate parziali seconde P ` e punto di minimo relativo mentre Q ± sono punti di sella.

Nell’insieme B risulta

min B f (x, y) = f (0, ¹ ₂ ) = − ³ ₄ e max

B f (x, y) = max

∂B f (x, y) = f (±1, 1) = ¹ ₂ . Nota: risulta min

∂B f (x, y) = f (± ¹ ₂ , ¹ ₄ ) = − ⁵ ₈ > − ³ ₄ .

2. Una parametrizzazione della curva ` e data da ϕ(t) = (cos t + 1, 3 sin t, cos t − 1) con t ∈ [− ^2π ₃ , ^2π ₃ ]. Il punto P = (1, −3, −1) corrisponde a ϕ(− ^π ₂ ) dove il versore tangente risulta uguale a T = (

√ 2 2 , 0,

√ 2

2 ) e T · k =

√ 2

2 > 0. Si ha inoltre che in tale punto il versore normale ` e N = (0, 1, 0) mentre il versore binormale ` e B = (−

√ 2 2 , 0,

√ 2

2 ), la curvatura ` e k = <sup>3</sup> <sub>2</sub> e la torsione ` e nulla (dato che la curva ` e piana).

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Prova Parziale di Analisi Matematica 2 del 22 aprile 2017 – C

1. Data la funzione f (x, y) = ³ ₂ − x ² y + y − y ²

(a) determinarne, se esistono, i punti di massimo e di minimo relativo nel suo dominio, (b) determinarne i punti di massimo e di minimo assoluto nell’insieme

C = {(x, y) ∈ R ² | x ² ≤ y ≤ 2}.

2. Determinare una parametrizzazione della curva semplice e regolare avente per sostegno l’intersezione dell’ellissoide x ² + y ² + ^z ₈

= 4 con il piano y = x + 2 nella regione z ≥ 2 e orientata in modo tale che il versore T tangente alla curva nel punto P = (−1, 1, 4) verifichi T · j < 0. In tale punto si determini inoltre il versore normale e binormale, la curvatura e la torsione.

Risposte

1. I punti stazionari sono P = (0, ¹ ₂ ) e Q _± = (±1, 0) e dal test delle derivate parziali seconde P ` e punto di massimo relativo mentre Q ± sono punti di sella.

Nell’insieme C risulta

max C f (x, y) = f (0, ¹ ₂ ) = ⁷ ₄ e min

C f (x, y) = min

∂C f (x, y) = f (± √

2, 2) = − ⁹ ₂ .

Nota: risulta max

∂C f (x, y) = f (± ¹ ₂ , ¹ ₄ ) = ¹³ ₈ < ⁷ ₄ .

2. Una parametrizzazione della curva ` e data da ϕ(t) = (cos t − 1, cos t + 1, 4 sin t) con t ∈ [ ^π ₆ , ^5π ₆ ]. Il punto P = (−1, 1, 4) corrisponde a ϕ( ^π ₂ ) dove il versore tangente risulta uguale a T = (−

√ 2 2 , −

√ 2

2 , 0) e T · j = −

√ 2

2 < 0. Si ha inoltre che in tale punto il versore normale ` e N = (0, 0, −1) mentre il versore binormale ` e B = (

√ 2 2 , −

√ 2

2 , 0), la curvatura ` e k = 2 e la torsione ` e nulla (la curva ` e piana).

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Prova Parziale di Analisi Matematica 2 del 22 aprile 2017 – D

1. Data la funzione f (x, y) = xy ² + x ² − x + ¹ ₂

a) determinarne, se esistono, i punti di massimo e di minimo relativo nel suo dominio, b) determinarne i punti di massimo e di minimo assoluto nell’insieme

D = {(x, y) ∈ R ² | y ² ≤ x ≤ 1}.

2. Determinare una parametrizzazione della curva semplice e regolare avente per sostegno l’intersezione del paraboloide z = ^x ₄

+ y ² − ¹ ₄ con il piano y = z − ¹ ₂ nella regione x ≥ 1 e orientata in modo tale che il versore T tangente alla curva nel punto P = (2, ¹ ₂ , 1) verifichi T · j > 0. In tale punto si determini inoltre il versore normale e binormale, la curvatura e la torsione.

Risposte

1. I punti stazionari sono P = ( ¹ ₂ , 0) e Q _± = (0, ±1) e dal test delle derivate parziali seconde P ` e punto di minimo relativo mentre Q ± sono punti di sella.

Nell’insieme D risulta

min D f (x, y) = f ( ¹ ₂ , 0) = ¹ ₄ e max

D f (x, y) = max

∂D f (x, y) = f (1, ±1) = ³ ₂ . Nota: risulta min

∂D f (x, y) = f ( ¹ ₄ , ± ¹ ₂ ) = ³ ₈ > ¹ ₄ .

2. Una parametrizzazione della curva ` e data da ϕ(t) = (2 cos t, ¹ ₂ + sin t, 1 + sin t) con t ∈ [− ^π ₃ , ^π ₃ ]. Il punto P = (2, ¹ ₂ , 1) corrisponde a ϕ(0) dove il versore tangente risulta uguale a T = (0,

√ 2 2 ,

√ 2

2 ) e T · j =

√ 2

2 > 0. Si ha inoltre che in tale punto il versore normale ` e N = (−1, 0, 0) mentre il versore binormale ` e B = (0, −

√ 2 2 ,

√ 2

2 ), la curvatura ` e k = 1 e la torsione ` e nulla (la curva ` e piana).

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