CALCOLODIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 2.

CALCOLO

DIFFERENZIALE

PER FUNZIONI DI PIÙ

VARIABILI - 2.

 Formula di Taylor per funzioni Formula di Taylor per funzioni di più variabili. Differenziali

di più variabili. Differenziali successivi.

successivi.

Argomenti della lezione Argomenti della lezione

 Massimi e minimi liberi.Massimi e minimi liberi.

FORMULA DI TAYLOR FORMULA DI TAYLOR PER FUNZIONI DI PIÙ PER FUNZIONI DI PIÙ

VARIABILI

VARIABILI

Ricordiamo la formula di Taylor, con il resto alla Lagrange,

per le funzioni di una variabile:

Se f : U  R  R, è una funzione n+1 volte derivabile in un intorno U del punto x⁰ , allora esiste un solo

polinomio T_n(x), detto di Taylor, di grado ≤ n, tale che

f(x)= T_n(x)+ r_n(x)

con r_n(x)= ((Dⁿ⁺¹f)()/(n+1)! ) (x- x⁰)ⁿ⁺¹ , 

compreso tra x e x⁰.

T_n(x)=



Vediamo come questa formula

ci permetta di ottenerne una simile per le funzioni di più variabili.

Iniziamo dal caso di due variabili.

r_n(x)= (x)(x-x⁰)ⁿ , con (x)0 per x  x⁰ , ossia

r_n(x)= o((x-x⁰)ⁿ)

Teorema

(di Taylor, per funzioni

)

Se f : A  R²  R, ha derivate continue fino all’ordine n+1, allora f(x,y)= T_n(x,y)+ r_n(x,y), con

r_n(x,y)= o(|(x,y)^T-(x⁰,y⁰ )^T|ⁿ)

Siano h e k, le due componenti di un vettore “incremento” di (x⁰,y⁰)^T in R². v = (h,k)^T, (x,y)^T = (x⁰,y⁰)^T + v.

L’equazione del segmento che va da (x⁰,y⁰)^T a (x,y)^T è:

(x(t),y(t))^T = (x⁰ + th,y⁰ + tk)^T, 0 ≤ t ≤ 1.

F(t) = f (x⁰ + th,y⁰ + tk) = F(0) + F’(0)t + Prendendo come punto base t⁰=0,

si trova:

+ F’’(0)_____ t² + … + 2!

F ______⁽ⁿ⁾(0)

n! ^tⁿ + F ________⁽ⁿ⁺¹⁾()

(n+1)! ^tⁿ⁺¹

Con  compreso tra 0 e t.

In particolare, prendendo t=1 :

F(1) = f(x⁰ + h,y⁰ + k) = F(0) + F’(0) +

Si tratta ora di calcolare, utilizzando la formula di derivazione di funzione composta, i vari contributi presenti nella formula di Taylor-Lagrange.

+ + … + F’’(0)_____

2!

F ______⁽ⁿ⁾(0)

n! +F ________⁽ⁿ⁺¹⁾()

(n+1)! , (0<<1)

F(0) = f(x⁰,y⁰),

F’(0) = D_t(f x(t),y(t))(0) = (D₁f)(x⁰)h+(D₂f)(x⁰)k, F’’(0)= D_t² (f x(t),y(t))(0)=( D₁₁f)

(x⁰)h²+

+(D₂₁f)(x⁰) kh +(D₁₂f)(x⁰)hk +(D₂₂f)(x⁰)k²=

=(D₁₁f)(x⁰)h² +2(D₂₁f)(x⁰) kh +(D₂₂f)(x⁰)k² Nell’ultima formula abbiamo utilizzato il Teorema di Schwarz.

In generale se, v₁=h e v₂=k:

2

F^(p)(0) =



i₁, i₂,…, i_p = 1

(Dⁱ₁ⁱ₂^…i_pf)(x⁰,y⁰) vⁱ₁vⁱ₂  

vⁱ_p

Sappiamo che F’(0) = df _(x0,y0) (v).

Definiamo d²f_(x0,y0)(v,v) = F’’(0) =

=



i₁, i₂= 1

2

Definiamo in generale

2

F^(p)(0) =



i₁, i₂,…, i_p = 1

(Dⁱ₁ⁱ₂^…i_pf)(x⁰,y⁰)vⁱ₁vⁱ₂  

vⁱ_p

d^pf_(x0,y0)(v,v,…,v) =

Usando la notazione dei differenziali successivi, la formula di Taylor-

Lagrange diviene

f(x⁰ + v) = f (x⁰) + df_(x0,y0)( v) +(1/2!) d²f_(x0,y0)(v,v)

+ … + (1/n!)dⁿf_(x0,y0)(v,v,..,v) +

+ (1/(n+1)!)dⁿ⁺¹f_{(x0,y0)+ v}^T (v,v,..,v,v) Osserviamo che

dⁿ⁺¹f_{(x0,y0)+ v}^T(v,v,…,v,v) =

f)(x⁰+h, y⁰+k)vⁱ₁vⁱ₂  

vⁱ_nvⁱ_n+1

= 

i₁, i₂,…, i_n , i_n+1= 1

(Dⁱ₁ⁱ₂^{… i}_n ^{, i}_n+1

Ma su una sfera chiusa e limitata di centro (x⁰,y⁰) e raggio |v|le derivate

d’ordine n+1 sono tutte limitate da una costante M e v = |v| , con  versore.

f)(x^0+h, y^0+k)vⁱ₁vⁱ₂  

vⁱ_nvⁱ_n+1 ⁼



i₁, i(D₂,…, iⁱ₁ⁱ_2n ^{… i}, i_n+1n ^{, i}= 1_n+1

f)

((x⁰,y⁰)+^v^T)ⁱ₁ⁱ₂ⁱ_nⁱ_n

+1

2

=|v|ⁿ⁺¹



i₁, i₂,…, i_n , i_n+1= 1

(Dⁱ₁ⁱ₂^{… i}_n ^{, i}_n+1

Perciò

|d^{n+ 1}f_{x0+ v}^T (v,v,…,v,v)|≤



| 

i₁, i₂,…, i_n , i_n+1= 1

2 M  ⁱ₁ ⁱ₂   ⁱ_n ⁱ_n+1 |≤

≤|v|ⁿ⁺¹

≤ M  22^(n+1)(n+1) |v|ⁿ⁺¹ = o(|(x,y)^T-(x⁰,y⁰)^T|

n).

Infatti v = (x,y)^T-(x⁰,y⁰)^T.

Se f : A  R^m  R, è una funzione di

classe Cⁿ⁺¹(A), allora vale un teorema analogo al precedente per funzioni

delle m variabili x₁, x₂, … , x_m. Non lo enunciamo per brevità.

2

F^(p)(0) =



i₁, i₂,…, i_p = 1

(Dⁱ₁ⁱ₂^…i_pf)(x⁰ ,y⁰)vⁱ₁vⁱ₂  

vⁱ_p

d^pf_(x0,y0)(v,v,…,v)

=

Abbiamo definito il differenziale p-esimo in (x⁰,y⁰)^T valutato

sull’incremento v= (h,k)^T di (x⁰,y⁰)^T:

Se la derivazione è fatta r volte rispetto a x e s volte rispetto a y, (r+ s = p), tenendo presente che

dx(h,k) = h e dy(h,k) = k e ricordando il Teorema di Schwarz, si può

verificare che:

d^pf_(x0,y0) =



r+s=p

_____p!

r! s!

∂^pf

______

∂x^r ∂y (x^{s 0},y⁰) dx^r dy^s

In particolare, per il differenziale secondo si ha:

d²f_(x0,y0)

=

____∂x²

∂²f (x⁰,y⁰) dx² + 2

____∂²f

∂x ∂y(x⁰,y⁰) dx dy + ____∂²f

∂y²(x⁰,y⁰) dy²

Per funzioni di m variabili:

d²f_x0 =_{i,j =1}



MASSIMI E MINIMI MASSIMI E MINIMI

LIBERI

LIBERI

Ricordiamo che, data una funzione f : A  R^m  R , A aperto, un punto x⁰  A si dice che x⁰ è punto di

massimo relativo per f se esiste un intorno U del punto (per es. una

sfera aperta di centro x⁰) tale che per ogni x  U vale

f(x) ≤ f(x⁰)

Se per ogni x  U vale invece f(x) ≥ f(x⁰)

x⁰ si dice punto di minimo relativo per f

Si dice che x⁰ è punto di massimo

(minimo) assoluto per f : A  R^m  R , se per ogni x  A vale f(x) ≤ f(x⁰) ( rispettivamente f(x) ≥ f(x⁰) )

Vale il seguente

Teorema

(di Fermat)

Sia f : A  R^m  R, A aperto. Sia x⁰  A punto di massimo o di minimo relativo e sia f derivabile in x⁰. Allora

f(x⁰)= 0 .

Basta ricordare che la funzione g₁(t) = f(t,x₂⁰,..,x_m⁰)

ha max o min relativo in x₁⁰ e quindi g₁’ (x₁⁰) = 0 = D₁f (x₁⁰,x₂⁰,..,x_m⁰) .

Analogamente

g₂(t)=f(x₁⁰,t,..,x_m⁰), … , g_m(t)=f(x₁⁰,x₂⁰,..,t) hanno max o min relativo in x₂⁰ ,..,x_m⁰

e quindi

g₂’ (x₂⁰) = 0 = D₂f (x₁⁰,x₂⁰,..,x_m⁰)

…...

g_m’ (x_m⁰) = 0 = D_mf (x₁⁰,x₂⁰,..,x_m⁰) Dunque

f(x⁰)= 0 .

I punti x⁰  A , nei quali f(x⁰)= 0 si dicono punti critici o stazionari di A.

I punti di massimo o minimo

relativo di una funzione definita su un aperto A  R^m sono da ricercarsi, se f è differenziabile in A, per

esempio se f  C¹(A), tra quelli che soddisfano le m equazioni

D_kf (x₁,x₂,..,x_m)=0, k = 1,…,m .