CALCOLO
DIFFERENZIALE
PER FUNZIONI DI PIÙ
VARIABILI.
Il teorema del “differenziale Il teorema del “differenziale totale” .
totale” .
Argomenti della lezione Argomenti della lezione
Regole di derivazione e Regole di derivazione e differenziazione.
differenziazione.
Derivate successive.Derivate successive.
IL TEOREMA DEL IL TEOREMA DEL
“ “ DIFFERENZIALE DIFFERENZIALE TOTALE” .
TOTALE” .
Teorema
Se f : A Rn R, A aperto, ha derivate parziali continue in A,
allora è differenziabile
in ogni punto x0 A.
Calcoli a parte…
REGOLE DI
DERIVAZIONE E DI
DIFFERENZIAZIONE.
Vista la definizione di derivata parziale e il suo legame con la nozione di differenziale messa in evidenza precedentemente,
possiamo concludere che le regole di derivazione già note continuano a valere per le derivate parziali,
direzionali e per il differenziale.
Dunque:
Dk(
f +
g) =
Dkf +
Dkg d(
f +
g) =
df +
dgDk(fg) = (Dkf)g + f(Dkg) d(fg) = (df)g + f(dg)
Dk(f/g) =
( (
Dkf)gg -f
((Dkg))/
(g2)d(f/g) =
( (
df)gg -f
((dg))/
(g2)DERIVAZIONE DI
FUNZIONE COMPOSTA
Teorema
differenziabile in x0 A, e sia
g(t)=(x
1(t),…, x
n(t))
Tderivabile in t
0: g’(t
0)=( x
1’(t
0) ,…, x
n’(t
0))
T, g(t
0) =
x0 , allora è derivabile int
0Sia f : A Rn R, A aperto,
F(t) =f(g(
t))
, e valeF ’(t0) = D1f(x0)x1’(t0) +…+
+ Dnf(x0)xn’(t0) con g(t): I Rn .
Calcoli a parte ...
DERIVATE
SUCCESSIVE.
Sia f : A R2 R, A aperto, dotata di derivate parziali
rispetto a x e a y in tutto A o in una sua parte aperta A1 . Allora
D1f: A1 R e D2f: A1 R , sono funzioni delle
quali ci si può chiedere se sono derivabili rispetto a x o a y.
Si potranno considerare
, ,
e
∂
∂y
∂f
( )
∂x∂
∂y
∂f
( )
∂y∂
∂x
∂f
( )
∂x∂
∂x
∂f
( )
∂ySi indicherà
∂
∂x
∂f
( )
∂y (x0,y0) = ∂x∂y____ (x∂2f 0,y0)∂
∂y
∂f
( )
∂x (x0,y0) = ∂y∂x____ (x∂2f 0,y0) Più in generale∂
∂xi ∂f
∂xk
( )
(x10,…, xn0) ∂2f∂x____ (xi∂xk 10,…,xn0)
=
Ci chiediamo:
quale relazione c’è tra
∂2f
∂x∂y____ (x0,y0) ∂2f
∂y∂x____ (x0,y0)
e ?
O tra
∂2f
∂x____ (xk∂xi 10,…,xn0) e
Altre notazioni per indicare le derivate successive:
∂2f
∂x∂y____ (x0,y0) = fxy (x0,y0) =
= D2xyf(x0,y0) = D212f(x0,y0) =
= ∂2xyf(x0,y0) = ∂212f(x0,y0) E notazioni analoghe per
∂2f
∂x____ (xi∂xk 10,…,xn0)
Teorema
(Sull’inversione dell’ordine delle derivate (di K.H.A. Schwarz) )
Siano fxy e fyx definite su un aperto A, e siano continue in (x0,y0) A.
In generale, per il teorema di Schwarz, ammesso che siano
continue in un aperto A Rn , due derivate, calcolate nello stesso
punto, che differiscono solo per
l’ordine di derivazione sono uguali.
