(a) Qual è la probabilità che la radiosveglia funzioni per più di 6 mesi? E per più di un anno? (b) Supponiamo che la radiosveglia funzioni per più di 6 mesi

IV Appello di Probabilità e Statistica Cognome:

Laurea in Matematica Nome:

21 settembre 2009 Matricola:

ESERCIZIO 1. La mia radiosveglia per funzionare necessita di due pile stilo (entrambe cariche).

Ho a disposizione quattro pile, che indico con a, b, c, d, la cui carica residua è pari rispettivamente a 3, 7, 9 e 15 mesi. Scelgo due pile a caso e le inserisco nella radiosveglia.

(a) Qual è la probabilità che la radiosveglia funzioni per più di 6 mesi? E per più di un anno?

(b) Supponiamo che la radiosveglia funzioni per più di 6 mesi. Sulla base di questa informazione, qual è la probabilità che tra le pile inserite ci sia la pila b?

(c) Supponiamo che la radiosveglia smetta di funzionare dopo 9 mesi. A questo punto estraggo dalla radiosveglia una a caso delle due pile già inserite e la sostituisco con una a caso delle due che non avevo scelto all’inizio. (Le pile non utilizzate conservano la loro carica iniziale.) Qual è la probabilità che la radiosveglia funzioni almeno per i 4 mesi successivi?

SOLUZIONE.

(a) È impossibile che la radiosveglia funzioni per più di un anno, dal momento che non ci sono due pile la cui carica residua sia per entrambe almeno di un anno.

Le coppie di pile per cui la durata residua di entrambe è più di sei mesi sono quelle che non contengono la pila a e sono dunque ³₂
= 3 (cioè {b, c}, {c, d} e {b, d}). Dato che le possibili coppie di pile sono ⁴₂
= 6, la probabilità cercata è pari a 3/6 = 1/2.

(b) Definiamo gli eventi E := “la radiosveglia funziona per più di 6 mesi” e B := “la pila b è tra quelle inserite”. Per il punto precedente, P (E) = 1/2. L’evento E ∩ B coincide con la scelta di una delle due coppie {b, c} e {b, d}, per cui P (E ∩ B) = 2/ ⁴₂
= 1/3. Di conseguenza

P (B|E) = P (E ∩ B) P (E) = 1/3

1/2 = 2 3.

(c) Se la radiosveglia smette di funzionare dopo 7 mesi, significa che le pile inserite inizialmente sono c e d. Passati i 7 mesi, le durate residue di queste due pile sono pari rispettivamente a 0 e a 8 mesi, mentre le durate residue delle pile a e b sono per ipotesi ancora pari a 3 e 7 mesi rispettivamente. Di conseguenza, affinché la radiosveglia funzioni almeno per i 4 mesi successivi, è necessario e sufficiente:

• che io estragga dalla radiosveglia la pila c (altrimenti nella radiosveglia rimane la pila c, che è scarica, e la radiosveglia non funziona),

• e che la sostituisca con la pila b (altrimenti la radiosveglia smetterebbe di funzionare dopo 3 mesi, pari alla durata residua della pila a).

Dato che questi due eventi sono indipendenti e hanno ciascuno probabilità 1/2, la probabilità che la radiosveglia funzioni almeno per i 4 mesi successivi è pari a 1/2 · 1/2 = 1/4.

ESERCIZIO 2. Disegniamo nel piano cartesiano un cerchio centrato nell’origine, il cui raggio R è una variabile casuale scalare discreta. Indicando con A l’area del cerchio, supponiamo che A ∼ P o(m), dove m ∈ (0, ∞) è un parametro fissato.

(a) Si determini la distribuzione di R (cioè l’insieme dei valori assunti da R e la sua densità discreta).

(b) Si calcolino E(R²) e E(R⁴).

(c) Si calcoli approssimativamente la probabilità che l’area del cerchio sia maggiore di m−pm/2 quando m ∈ N è grande, dopo aver spiegato perché è lecito usare l’approssimazione normale.

SOLUZIONE.

(a) Per ipotesi A(Ω) = Z⁺ = {0, 1, 2, . . .} e p_A(n) = e^{−m m}_n!ⁿ per n ∈ A(Ω). Dato che A = πR², si ha R =pA/π e di conseguenza R(Ω) = pA(Ω)/π = {pn/π}n=0,1,2,.... Inoltre

p_R(x) = P (R = x) = P (A = πx²) = e^−m m^πx2

(πx²)!, ∀x ∈ R(Ω) . (b) Ricordando che media e varianza di una P o(m) sono uguali a m, si ha

E(R²) = E A π



= E(A)

π = m

π E(R⁴) = E A²

π²



= E(A²)

π² = V ar(A) + E(A)²

π² = m + m² π² .

(c) Sia {X_n}_n=1,2,... una successione iid di variabili P o(1). È noto che, per m ∈ N, si ha X₁+ . . . + X_m∼ P o(m) ∼ A dunque possiamo applicare il metodo dell’approssimazione normale alla variabile A. Posto X_m:= A/m e indicata con Z una variabile N (0, 1), si ha

P



A > m −r m 2



= P



X_m> 1 − 1

√2m



= P X_m− 1 1/√

m > − 1

√2



' P



Z > − 1

√2



= P

 Z ≤ 1

√2



= Φ

 1

√2



' 0.76.

ESERCIZIO 3. Dati due numeri naturali m, n con m ≤ n, si denoti con S_m,n l’insieme delle funzioni iniettive da {1, 2, . . . , m} a {1, 2, . . . , n}, sia P la probabilità uniforme su S_m,n.

(a) Si determini il numero di elementi di S_m,n.

(b) Per i ∈ {1, 2, . . . , m}, sia A_i:= {σ ∈ Sm,n : σ(i) = 1}. Calcolare P (Ai).

(c) Posto B_m,n :=Sm

i=1Ai, calcolare P (B_m,n).

(d) Considerando la funzione X : S_m,n → R definita da

X(σ) := min(σ(1), σ(2), . . . , σ(m)) , per σ ∈ S_m,n, si determini l’insieme dei valori che X può assumere e la sua densità discreta.

SOLUZIONE.

(a)

n!

(n − m)!

(b) Si noti che A_i è in corrispondenza biunivoca con l’insieme delle funzioni iniettive da {1, 2, . . . , m} \ {i} a {2, 3, . . . , n}, che ha la stessa cardinalità di S_m−1,n−1. Dunque

P (A_i) = |S_m−1,n−1|

|S_m,n| = 1 n. (c) Gli A_i sono eventi disgiunti. Perciò

P

m

[

i=1

Ai

!

= m n.

(d) X può assumere i valori {1, 2, . . . , n − m + 1}. L’evento {X = k} è formato dalle mappe iniettive da {1, 2, . . . , m} a {k, k + 1, . . . , n} che assumono il valore k, che ha la stessa cardinalità di B_m,n−k+1. Pertanto

|{X = k}| = m

n − k + 1|S_m,n−k+1| = m n − k + 1

(n − k + 1)!

(n − k + 1 − m)! = m(n − k)!

(n − k + 1 − m)!, da cui

P (X = k) = |{X = k}|

|S_m,n| = m(n − m)!(n − k)!

n!(n − k + 1 − m)!.

ESERCIZIO 4. Sia X una variabile casuale assolutamente continua a valori in (0, 1), cioè la cui densità f_X(x) è nulla per x 6∈ (0, 1). Possiamo interpretare X come un punto aleatorio dell’intervallo (0, 1), che divide tale intervallo in due segmenti. Indichiamo con Z la lunghezza del segmento più lungo. Sia inoltre F_X(·) la funzione di ripartizione di X e introduciamo l’evento A := {X > 1/2}.

(a) Si esprima la variabile Z in funzione delle tre variabili X, 1_A, 1_A^c. (b) Si mostri che la funzione di ripartizione di Z è data da

F_Z(t) =







0 se t ≤ ¹₂

FX(t) − FX(1 − t) se t ∈ [¹₂, 1]

1 se t ≥ 1

,

e che la densità di Z è data da f_Z(t) = f_X(t) + f_X(1 − t)
1₍1 2,1)(t).

(c) Nel caso in cui f_X(t) = 3t²1_(0,1)(t), si determini E(Z).

SOLUZIONE.

(a) Z = X1_A+ (1 − X)1A^c.

(b) La formula per F_Z(t) è chiaramente vera per t ≤ 1/2 e per t ≥ 1. Per t ∈ (1/2, 1), usando la formula Z = X1_A+ (1 − X)1A^c ricavata al punto precedente si ha

F_Z(t) = P (Z ≤ t) = P ({Z ≤ t} ∩ A) + P ({Z ≤ t} ∩ A^c)

= P ({X ≤ t} ∩ A) + P ({(1 − X) ≤ t} ∩ A^c) = P (X ∈ (1/2, t]) + P (X ∈ [(1 − t), 1/2])

= P (X ∈ [(1 − t), t]) = F_X(t) − F_X(1 − t) .

Derivando questa relazione si ottiene la formula per f_Z(t).

(c) Per il punto precedente, f_Z(t) = 3(t²+ (1 − t)²)1₍1

2,1)(t) = (6t²− 6t + 3)1₍1

2,1)(t), quindi E(Z) =

Z +∞

−∞

t · f_Z(t) dt = Z 1

1/2

(6t³− 6t²+ 3t) dt

= 6 ·1 4

 1 − 1

16



− 6 ·1 3

 1 −1

8

 + 3 ·1

2

 1 −1

4



= 25 32.