MECCANICA SUPERIORE Prova Scritta Appello del 26 febbraio 2018 1. Due masse uguali m

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MECCANICA SUPERIORE

Prova Scritta Appello del 26 febbraio 2018

1. Due masse uguali m1 ed m2 sono collegate tra di loro da una molla, e ciascuna massa `e collegata a una seconda e terza molla (una seconda molla per ciascuna massa), con tali molle collegate a muri opposti. Le tre molle sono allineate e hanno uguali costanti elastiche k, e le masse possono muoversi solo lungo la direzione orizzontale individuata dalle tre molle. Scrivere la Lagrangiana e le equazioni di Lagrange del sistema, nonch`e l’Hamiltoniana e le equazioni di Hamilton del sistema.

2. Consideriamo un gas costituito da N molecole in una scatola di volume V . Supponiamo che il potenziale di interazione tra due molecole sia dato da φ(|ri− rj|) (rij = |ri− rj| `e la distanza tra la i-esima e la j-esima molecola). Mostrare che

(a) la funzione di partizione Z(β) si pu`o scrivere

Z(β) = Z0(β)Q(β) con Z₀(β) funzione di partizione di un gas ideale e

Q(β) = 1 V^N

Z

d³r1...d³rN

Y

i<j

(1 + fij)

con fij = e⁻^βr^ij− 1 (b) per |fij| ≪ 1 ed N ≫ 1

Q(β) ≈ 1 + N² 2V

Z ∞

0 4πr²f(r)dr con f (r) = e⁻^βφ(r)− 1

(c) l’equazione di stato del gas si pu`o scrivere pV

N kBT = 1 − N 2V

Z ∞

0 4πr²f(r)dr

(2)

(d) assumendo che

φ(r) = ∞ 0 < r < a (1)

φ(r) = −ǫb− r

b− a a < r < b (2)

φ(r) = 0 r > b (3)

con ǫ > 0, l’equazione di stato diventa pV

N kBT = 1 + N V d2(T ) e calcolare infine d2(T ) in funzione di a, b ed ǫ.

3. Un fluido incomprimibile e viscoso, di densità ρ e viscosità cinematica ν, si muove di moto stazionario in un canale di lunghezza infinita e sezione circolare di raggio R. Il fluido si muove con velocità ~v(~r) = v(r)êz (l’asse z coincide con l’asse del canale e la coordinata r è la distanza dall’asse z) sotto l’azione di un gradiente di pressione costante ∇P = −C êz (C > 0). Partendo dall’equazione di Navier-Stokes e supponendo che non vi sia forza di gravità, determinare v(r), il suo valore massimo e la portata del flusso attraverso la sezione trasversale del canale.

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MECCANICA SUPERIORE

Prova Scritta Appello del 1^◦ febbraio 2018

1. Il pendolo doppio è costituito da una massa m₁ vincolata a un filo inestensibile di massa trascurabile e di lunghezza ℓ₁, vincolato al punto di sospensione fisso, alla quale è appesa un’altra massa m₂ vincolata a un filo inestensibile di massa trascurabile e di lunghezza ℓ₂. Il pendolo oscilla in un piano verticale. Considerando la presenza della gravità g e trascurando ogni forma di attrito, scrivere la Lagrangiana e le equazioni di Lagrange del pendolo doppio.

2. Si supponga che un gas perfetto formato da N molecole alla temperatura T sia sottoposto alla forza di gravit`a e contenuto in un recipiente cilindrico di raggio R ed altezza h che ruota con velocit`a angolare costante ω attorno all’asse del contenitore cilindrico.

Assumendo che il sistema sia descritto dal modello dell’ensemble canonico esprimere la densit`a del gas n(r, z) in funzione della distanza dall’asse del cilindro r e dell’altezza z.

Calcolare infine l’energia interna del gas.

3. Si supponga che un fluido incomprimibile, sottoposto alla forza di gravit`a e contenuto in un recipiente cilindrico aperto nella parte superiore, ruoti con velocit`a angolare costante ~Ω attorno all’asse del contenitore cilindrico.

Partendo dall’equazione di Navier-Stokes, si determini l’equazione della superficie del fluido.

(Si indichi con h l’altezza, rispetto al fondo del recipiente, del punto della superficie posto sull’asse di rotazione e con Pest la pressione dell’ambiente.)

Si calcoli, infine, l’altezza massima raggiunta dalla superficie del fluido rispetto al fondo del recipiente, sapendo che il raggio del contenitore `e R.

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Prova scritta del 4 febbraio 2019

1. Un corpo di massa M é vincolato a muoversi senza attrito lungo un piano inclinato di un angolo α (rispetto all’orizzontale). Il corpo é soggetto sia all’accelerazione di gravitá, sia all’azione di una molla di costante elastica k, con la molla vincolata alla sommitá del piano inclinato, che si trova ad altezza h0. Scrivere la Lagrangiana e l’Hamiltoniana del sistema, e risolvere il problema del moto utilizzando le equazioni di Hamilton.

2. Si consideri un gas costituito da N molecole di massa molecolare m, contenute in una scatola di volume V a temperatura T . Supponiamo che il potenziale di interazione tra due molecole sia dato da φ(|ri− rj|) (rij = |ri− rj| `e la distanza tra la i-esima e la j-esima molecola). Mostrare

(a) che la funzione di partizione Z(β) si pu`o scrivere Z(β) = Z0(β)Q(β) con Z0(β) funzione di partizione di un gas ideale e

Q(β) = 1 V^N

Z

d³r₁...d³r_N ^Y

i<j

(1 + fij)

con fij = e⁻^βr^ij− 1

(b) che per |fij| ≪ 1 ed N ≫ 1

Q(β) ≈ 1 + N² 2V

Z ^∞

0 4πr²f(r)dr con f (r) = e⁻^βφ(r)− 1

(c) che l’equazione di stato del gas si pu`o scrivere pV

N kBT = 1 − N 2V

Z ^∞

0 4πr²f(r)dr (d) che, assumendo

φ(r) = ∞ 0 < r < a (1)

φ(r) = −ǫb− r

b− a a < r < b (2)

φ(r) = 0 r > b (3)

(5)

con ǫ > 0, l’equazione di stato diventa pV

N kBT = 1 + N V d₂(T ) Calcolare infine d2(T ) in funzione di a, b ed ǫ.

3. Un fluido incomprimibile e viscoso, avente densità ρ e coefficiente di viscosità cinematica ν, si muove di moto stazionario in un canale di lunghezza infinita e sezione circolare di raggio R. Il fluido si muove con velocità v(r) = v(r)ez (l’asse z coincide con l’asse del canale e la coordinata r è la distanza dall’asse z) sotto l’azione di un gradiente di pressione costante ∇P = −Cez

(C > 0). Partendo dall’equazione di Navier-Stokes e supponendo che non vi sia forza di gravit`a, determinare v(r) e la portata del flusso attraverso la sezione trasversale del canale.

Laplaciano in coordinate cilindriche: ∇² ≡ ¹_r_∂r^∂ r_∂r^∂+_r¹₂_∂ϕ^∂²₂ +_∂z^∂²₂

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MECCANICA SUPERIORE Prova Scritta Appello del 10 luglio 2019

1. Due masse uguali m₁ ed m₂ sono collegate tra di loro da una molla, e ciascuna massa `e collegata a una seconda e terza molla (una seconda molla per ciascuna massa), con tali molle collegate a muri opposti. Le tre molle sono allineate e hanno uguali costanti elastiche k, e le masse possono muoversi solo lungo la direzione orizzontale individuata dalle tre molle. Scrivere la Lagrangiana e le equazioni di Lagrange del sistema, nonch`e l’Hamiltoniana e le equazioni di Hamilton del sistema.

2. Si consideri un gas ideale costituito da N particelle, contenuto in una scatola di volume V , a temperatura T . Se l’energia di ciascuna particella `e data da

H = αp ,

dove p è il modulo della quantità di moto, mentre α è una costante positiva, determinare

• l’energia totale media del gas,

• l’equazione di stato,

• la relazione tra energia totale media e pressione.

3. Un fluido incomprimibile di viscosit`a cinematica ν, contenuto tra due pareti piane, parallele, infinite e perpendicolari all’asse z, che distano D l’una dall’altra, si muove di moto stazionario sotto l’effetto di un gradiente costante di pressione ∇P = −Gpe_x (con Gp > 0 costante).

Determinare il campo di velocità del fluido e la velocità massima. Si supponga che non ci sia forza di gravità.

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MECCANICA SUPERIORE Prova scritta dell’ 11 settembre 2019

1. Un corpo di massa m si muove nel piano xy sotto l’influenza di un potenziale bidimensionale

“a portauova” descritto dalla seguente energia potenziale:

U(x, y) = −mgh⁰{cos(kx) + cos(ky) + ε sin[k(x + y)]} (1) dove g, h⁰ e k sono delle costanti. Scrivere la Hamiltoniana e le equazioni di Hamilton del sistema, e determinare gli integrali primi del moto, se ve ne sono. Determinare anche il valore di ε affinche’ il problema diventi equivalente a quello di due pendoli disaccoppiati.

2. Un gas perfetto `e costituito da N particelle a temperatura T . La i-esima particella `e soggetta ad un potenziale esterno della forma

U(xⁱ, yi, zi) = k

2(x²i + yi²+ z²i) (2) ove k rappresenta una costante elastica e xⁱ, yⁱ e zⁱ sono le coordinate della i-esima particella.

Calcolare l’energia interna del gas nonch´e la distanza media di una particella dall’origine del sistema di riferimento.

3. Un fluido con viscosità cinematica ν è contenuto fra due pareti piane (perpendicolari all’asse y) che distano h l’una dall’altra. La parete superiore, posta ad y = h si muove con velocità costante v⁰ = v⁰e_x. Determinare il profilo del campo di velocità del fluido.

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MECCANICA SUPERIORE Prova Scritta del 12 aprile 2018

1. Un pendolo piano di massa m₂ e’ appeso a un punto di sospensione che ha una massa m₁ e che puo’ scivolare orizzontalmente senza attrito lungo l’asse x (la massa m₁ non puo’ muoversi lungo y). Il pendolo ha lunghezza ℓ e oscilla in presenza della gravita’ g, diretta verticalmente lungo l’asse y. Scrivere la Lagrangiana e le equazioni di Lagrange del sistema, e determinare gli integrali primi del moto.

2. Si determinino il valore medio ed il valore pi`u probabile del modulo quadro della velocit`a di una particella di gas perfetto a temperatura T .

3. Un fluido incomprimibile di viscosit`a cinematica ν, contenuto tra due pareti piane, parallele, infinite e perpendicolari all’asse z, che distano D l’una dall’altra, si muove di moto stazionario sotto l’effetto di un gradiente costante di pressione ∇P = −Gpe_x (con Gp > 0 costante).

Determinare il campo di velocità del fluido e la velocità massima. Si supponga che non ci sia forza di gravità.

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MECCANICA SUPERIORE Prova in itinere del 15 novembre 2019

1. Una massa m¹ si puo’ muovere orizzontalmente, ed ´e collegata a un muro immobile da una molla di costante elastica k. Una seconda massa m² ´e collegata alla prima massa da un’altra molla di costante elastica k. Entrambe le masse si muovono senza attrito lungo l’asse x. Le molle hanno uguali lunghezze a riposo ℓ⁰. Scrivere la Lagrangiana e le equazioni di Lagrange del sistema, ed indicare, se possibile, le caratteristiche del moto.

2. Un pendolo di massa m e lunghezza ℓ é appeso un punto di sospensione fisso, in presenza di gravitá. La massa del pendolo é carica elettricamente con carica positiva q, e si trova anche in presenza di un campo elettrico costante E diretto verso l’alto. Scrivere la Hamiltoniana e le equazioni di Hamilton del sistema.

3. Si supponga che l’atmosfera terrestre si possa trattare come un gas perfetto, con equazione di stato P = (kB/µ)ρT (µ `e la massa molecolare media).

a) Partendo dall’equazione per l’equilibrio statico di un fluido ∇P = ρg e supponendo che l’andamento verticale della tempertura sia T (z) = T⁰ −Γz, dove T⁰ `e la temperatura al livello del mare (z = 0) e Γ `e costante, si determini l’andamento verticale della pressione P (z), indicando con P⁰ la pressione al livello del mare.

b) Utilizzando il risultato ottenuto, si calcoli la pressione alla quota z¹ = 8000 m, supponendo che P⁰ = 1.013 × 10⁵ Pa, T⁰ = 290 K, Γ = 6.5 × 10⁻³ K m⁻¹ e µ = 29 uma (uma = 1.66 × 10⁻²⁷ kg, unit`a di massa atomica).

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MECCANICA SUPERIORE Prova Scritta del 19 giugno 2019

1. Un punto materiale di massa m è vincolato a muoversi su una superficie conica che ha il vertice rivolto verso il basso, in presenza di gravitá g. Il punto si muove senza attrito, e l’angolo di apertura del cono è θ = θ₀, cioe’ costante. Usando le coordinate sferiche, scrivere la Hamiltoniana e le equazioni di Hamilton del sistema, e individuare gli integrali primi del moto. Discutere anche come si possa introdurre l’energia potenziale efficace per il problema unidimensionale equivalente.

2. Si supponga che un fluido incomprimibile, sottoposto alla forza di gravit`a e contenuto in un recipiente cilindrico aperto nella parte superiore, ruoti con velocit`a angolare costante ~Ω attorno all’asse del contenitore cilindrico.

Partendo dall’equazione di Navier-Stokes, si determini l’equazione della superficie del fluido.

(Si indichi con h l’altezza, rispetto al fondo del recipiente, del punto della superficie posto sull’asse di rotazione e con P_est la pressione dell’ambiente.)

Si calcoli, infine, l’altezza massima raggiunta dalla superficie del fluido rispetto al fondo del recipiente, sapendo che il raggio del contenitore `e R.

3. Un gas perfetto `e costituito da N molecole biatomiche poste in un contenitore a temperatura T costante. L’energia potenziale di interazione tra gli atomi dell’i-esima molecola ha la forma

U (r_i1, r_i2) = k

2|r_i1− r_i2|² (1)

dove k `e costante mentre r_i1 e r_i1 sono i vettori che individuano la posizione rispettivamente del primo e secondo atomo dell’i-esima molecola. Tutti gli atomi hanno eguale massa m.

Determinare l’espressione della funzione di partizione, dell’energia interna, della pressione del gas e del valor medio della distanza tra gli atomi di ogni molecola.

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MECCANICA SUPERIORE

Prova Scritta del 19 novembre 2019, sessione straordinaria

1. Un corpo di massa M si muove in presenza di una forza centrale data da F = −k

r²uˆ_r (1)

dove k e’ una costante, r la distanza dall’origine delle coordinate, e ˆur il versore diretto nella direzione radiale (uscente). Scrivere la Lagrangiana e le eq. di Lagrange del sistema, ed individuare gli integrali primi del moto. Indicare anche una tecnica per portare il sistema alle quadrature.

2. Un gas perfetto `e costituito da N molecole monotomiche poste in un contenitore di volume V a temperatura T costante. Tutti gli atomi hanno eguale massa m.

Determinare l’espressione della funzione di partizione, dell’energia interna e della pressione del gas.

3. Uno strato di fluido incomprimibile e viscoso, di spessore h, ha superficie superiore libera ed è limitato inferiormente da un piano fisso, inclinato di un angolo α rispetto all’orizzontale. Siano ρ la densità del fluido, ν = η/ρ il suo coefficiente di viscosità cinematica, Pest la pressione dell’ambiente. Partendo dall’equazione di Navier-Stokes e supponendo che il gradiente di pressione sia diverso da zero solo nella direzione perpendicolare al piano inclinato, determinare, in regime stazionario, il campo di velocità del fluido.

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MECCANICA SUPERIORE Prova scritta del 21 febbraio 2019

1. Due corpi puntiformi di masse m1 ed m2 sono collegati a tre molle di eguale costante elastica k:

la prima molla collega la massa m₁ a un punto fisso, la seconda molla collega le due masse m₁ ed m₂ tra di loro, e la terza molla collega la massa m₂ a un secondo punto fisso, di modo che le tre molle sono allineate. Si supponga che nella configurazione di equilibrio le molle non siano ne allungate ne compresse, e si trascuri ogni attrito. Scrivere la Lagrangiana e l’Hamiltoniana del sistema, le equazioni di Lagrange, e trovare la soluzione del problema del moto, calcolando le frequenze di oscillazione del sistema.

2. Un gas perfetto sia costituito da particelle di massa m a temperatura T , vincolate a muoversi lungo la semiretta 0 ≤ x < ∞, e soggette al potenziale

V (x) = Ax²

con A costante positiva. Determinare funzione di partizione canonica, energia media e capacit`a termica del sistema. Calcolare, infine, il valore medio ed il valore pi`u probabile per la posizione di una particella.

3. Uno strato di fluido incomprimibile e viscoso, di spessore h, ha superficie superiore libera ed è limitato inferiormente da un piano fisso, inclinato di un angolo α rispetto all’orizzontale. Siano ρ la densità del fluido, ν = η/ρ il suo coefficiente di viscosità cinematica, P_est la pressione dell’ambiente. Partendo dall’equazione di Navier-Stokes e supponendo che il gradiente di pressione sia diverso da zero solo nella direzione perpendicolare al piano inclinato, determinare, in regime stazionario, il campo di velocità del fluido.