1 0 ESERCIZIO : Determinare l'insieme

(1)

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTA' DI INGEGNERIA

PRE-ESAME DI ANALISI MATEMATICA II { A.A. 1999/2000 CORSI DI LAUREA IN

INGEGNERIA PER L'AMBIENTE ED IL TERRITORIO INGEGNERIA CIVILE

09 novembre 1999 (1/1)

1 ⁰ ESERCIZIO : Determinare l'insieme

^E

di denizione della funzione

f

(

^x^y

) :=

^q^x

²

^;^y

⁴ (

^y

²

^;^x

⁴ ) log(

^y

²

^;^x

⁴ ) e dire se

^E

e chiuso, limitato, connesso.

La

^f

si puo prolungare per continuita in

^E

? La

^f

e uniformemente continua in

^E

?

2 ⁰ ESERCIZIO : Determinare massimi e minimi assoluti della funzione

f

(

^x^y

) :=

^x

² +

^y

²

^;

2

^xy

nell'insieme

^D

:=

^f

(

^x^y

)

²

IR ² :

^x

² +

^y

²

^;

2

^x

0

^g

.

3 ⁰ ESERCIZIO : Determinare l'insieme di tutti i

^z ²

IC per i quali la serie

1

X

n

=2

log

ⁿ

n

(3i

^z^;

1)

^;

²

ⁿ

e convergente.

4 ⁰ ESERCIZIO : Sia (

^fⁿ

)

ⁿ

una successione di funzioni

^fⁿ

:

^E ^!

IR convergente puntualmente ma non uniformemente in

^E

ad una funzione

^f

:

^E ^!

IR e tale che per ogni

^x ² ^E

la successione numerica (

^fⁿ

(

^x

))

ⁿ

e monotona. Provare che

⁹ ^" ^>

0 ed una successione (

^xⁿ

)

ⁿ

di punti di

^E

tale che

^jfⁿ

(

^xⁿ

)

^;^f

(

^xⁿ

)

^j^"

per ogni

ⁿ²

IN.

CRITERI DI VALUTAZIONE

Punteggi da 18 a 23: Esenzione dalla sola prova scritta per gli argomenti del programma svolti no al 29 ottobre 1999 (spazi vettoriali reali, spazi euclidei, archi regolari, funzioni di pi u variabili reali, successioni e serie di funzioni).

Punteggi da 24 a 30: Esenzione da ogni prova di esame per gli argomenti del programma svolti no al 29 ottobre 1999 (tranne, ovviamente, sapere usare ci o che serve del programmasvolto ai ni della rimante parte del programma).

1 0 ESERCIZIO : Determinare l'insieme

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTA' DI INGEGNERIA

PRE-ESAME DI ANALISI MATEMATICA II { A.A. 1999/2000 CORSI DI LAUREA IN

INGEGNERIA PER L'AMBIENTE ED IL TERRITORIO INGEGNERIA CIVILE

09 novembre 1999 (1/1)

1 0 ESERCIZIO : Determinare l'insieme

di denizione della funzione

(

) :=

2

4 (

2

4 ) log(

2

4 ) e dire se

e chiuso, limitato, connesso.

La

si puo prolungare per continuita in

? La

e uniformemente continua in

?

2 0 ESERCIZIO : Determinare massimi e minimi assoluti della funzione

(

) :=

2 +

2

2

nell'insieme

:=

(

)

IR 2 :

2 +

2

2

0

.

3 0 ESERCIZIO : Determinare l'insieme di tutti i

IC per i quali la serie

=2

log

(3i

1)

2

e convergente.

4 0 ESERCIZIO : Sia (

)

una successione di funzioni

:

IR convergente puntualmente ma non uniformemente in

ad una funzione

:

IR e tale che per ogni

la successione numerica (

(

))

e monotona. Provare che

0 ed una successione (

)

di punti di

tale che

(

)

(

)

per ogni

IN.

CRITERI DI VALUTAZIONE

Punteggi da 18 a 23: Esenzione dalla sola prova scritta per gli argomenti del programma svolti no al 29 ottobre 1999 (spazi vettoriali reali, spazi euclidei, archi regolari, funzioni di pi u variabili reali, successioni e serie di funzioni).

Punteggi da 24 a 30: Esenzione da ogni prova di esame per gli argomenti del programma svolti no al 29 ottobre 1999 (tranne, ovviamente, sapere usare ci o che serve del programmasvolto ai ni della rimante parte del programma).

Il punteggio (

18) sar a comunicato dal docente appena possibile e comunque entro la ne del corso. Esso

concorrer aalla determinazionedella valutazione nale qualoralo studenteche intenda avvalersi dei risultati conseguiti

in questo pre-esame lo comunichi al docente stesso entro la ne del corso.

1 ⁰ ESERCIZIO : Determinare l'insieme

²

⁴ (

²

⁴ ) log(

²

⁴ ) e dire se

e chiuso, limitato, connesso.

si puo prolungare per continuita in

e uniformemente continua in

2 ⁰ ESERCIZIO : Determinare massimi e minimi assoluti della funzione

² +

²

IR ² :

² +

²

3 ⁰ ESERCIZIO : Determinare l'insieme di tutti i

²

e convergente.

4 ⁰ ESERCIZIO : Sia (

e monotona. Provare che