Spazi vettoriali euclidei
Sia 𝑛 un numero intero positivo. Indichiamo con ℝ# l’insieme di tutte le 𝑛-uple ordinate di numeri reali
𝑥⃗ = (𝑥(; 𝑥*; … ; 𝑥#) .
La 𝑛-upla 𝑥⃗ viene chiamata punto o vettore dello spazio ℝ#.
Il numero 𝑥( viene chiamato prima componente del vettore 𝑥⃗ oppure prima coordinata del punto, il numero 𝑥* è detto seconda coordinata di 𝑥⃗, … il numero 𝑥# sarà l’𝑛-esima coordinata di 𝑥⃗.
In altre parole, ℝ# non è altro che il prodotto cartesiano di ℝ con se stesso fatto 𝑛 volte e costituisce uno spazio vettoriale (sul campo degli scalari).
ℝ# = ℝ × … × ℝ , 𝑛 volte
ℝ(, ℝ* e ℝ1 rappresentano rispettivamente la retta, il piano e lo spazio euclideo, in cui sia fissato un riferimento cartesiano.
Possiamo considerare ℝ# come la generalizzazione alla dimensione 𝑛 della retta, del piano e dello spazio.
I vettori 𝑒⃗( = (1; 0; 0 … ), 𝑒⃗* = (0; 1; 0; … ), …, 𝑒⃗# = (0; … ; 0; 1) sono detti versori dello spazio ℝ# e costituiscono la base canonica ℬ = {𝑒⃗(; … ; 𝑒⃗#} dello spazio vettoriale.
Somma di vettori
Siano 𝑥⃗ = (𝑥(; … ; 𝑥#) e 𝑦⃗ = (𝑦(; … ; 𝑦#) due vettori dello spazio ℝ#. Si dice somma dei due vettori 𝑥⃗ e 𝑦⃗ il vettore
𝑥⃗ + 𝑦⃗ = (𝑥(+ 𝑦(; … ; 𝑥# + 𝑦#) . Prodotto per uno scalare
Preso uno scalare 𝛼 ∈ ℝ (un numero reale) e un vettore 𝑥⃗ = (𝑥(; … ; 𝑥#) ∈ ℝ#, chiamiamo prodotto del vettore 𝑥⃗ per lo scalare 𝛼, il vettore
𝛼𝑥⃗ = (𝛼𝑥(; … ; 𝛼𝑥#) . Prodotto scalare fra due vettori
Siano 𝑥⃗ = (𝑥(; … ; 𝑥#) ∈ ℝ# e 𝑦⃗ = (𝑦(; … ; 𝑦#) ∈ ℝ# due vettori. Definiamo prodotto scalare tra i due vettori, il numero
𝑥⃗ ⋅ 𝑦⃗ = 𝑥(𝑦(+ 𝑥*𝑦* + ⋯ + 𝑥#𝑦# = > 𝑥?𝑦?
#
?@(
.
Due vettori si dicono 𝑥⃗ = (𝑥(; … ; 𝑥#) ∈ ℝ# e 𝑦⃗ = (𝑦(; … ; 𝑦#) ∈ ℝ# si dicono ortogonali se hanno prodotto scalare nullo, ossia se
𝑥⃗ ⋅ 𝑦⃗ = 0 ⟹ 𝑥⃗ ⊥ 𝑦⃗ . Spazio euclideo
ℝ#, munito delle tre operazioni ora definite, si chiama spazio euclideo 𝑛-dimensionale.
Definizione di norma
Sia 𝑥⃗ = (𝑥( ; … ; 𝑥#) ∈ ℝ# un vettore. Si chiama norma di 𝑥⃗ il numero reale positivo
‖𝑥⃗‖ = D𝑥⃗ ⋅ 𝑥⃗ = E𝑥(* + 𝑥** + ⋯ + 𝑥#* .
Geometricamente, la norma di un vettore rappresenta la sua lunghezza, ossia rappresenta la distanza di un punto dall’origine.
Proprietà della norma
1. ‖𝑥⃗‖ ≥ 0 e ‖𝑥⃗‖ = 0 ⟺ 𝑥⃗ = 0H⃗ = (0; … ; 0) 2. ‖𝛼𝑥⃗‖ = |𝛼|‖𝑥⃗‖
3. Disuguaglianza triangolare: ‖𝑥⃗ + 𝑦⃗‖ ≤ ‖𝑥⃗‖ + ‖𝑦⃗‖
4. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: |𝑥⃗ ⋅ 𝑦⃗| ≤ ‖𝑥⃗‖‖𝑦⃗‖
Spazi metrici
Sia 𝑋 ≠ ∅ un insieme diverso dall’insieme vuoto e sia 𝑑 ∶ 𝑋 × 𝑋 → ℝQR una funzione di due variabili 𝑑(𝑥; 𝑦). Diciamo che (𝑋; 𝑑) è uno spazio metrico se sono soddisfatte le seguenti proprietà: ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 ∶
1. 𝑑(𝑥; 𝑦) ≥ 0 e 𝑑(𝑥; 𝑦) = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑦 2. 𝑑(𝑥; 𝑦) = 𝑑(𝑦; 𝑥)
3. 𝑑(𝑥; 𝑧) ≤ 𝑑(𝑥; 𝑦) + 𝑑(𝑦; 𝑧) (disuguaglianza triangolare)
La funzione 𝑑 ∶ 𝑋 × 𝑋 → ℝQR si chiama metrica o distanza su 𝑋. Gli elementi di 𝑋 si dicono punti dello spazio metrico.
Intorni
Qualora si sia definito il concetto di distanza in un insieme, la nozione più naturale ad essa associata è quella di “palla” di centro e raggio assegnato.
Definizione di palla
Sia (𝑋; 𝑑) uno spazio metrico. Sia 𝑥 ∈ 𝑋 un punto dello spazio e sia 𝑟 > 0. Definiamo palla aperta di centro 𝒙 e raggio 𝒓 (o intorno circolare di centro 𝑥 e raggio 𝑟) l’insieme
𝐵(𝑥; 𝑟) ≔ {𝑦 ∈ 𝑋 ∶ 𝑑(𝑥; 𝑦) < 𝑟} ,
ossia l’insieme dei punti dello spazio che distano meno del raggio 𝑟 dal punto 𝑥.
Definizione di intorno
Dato un punto 𝑥 ∈ 𝑋, un insieme 𝐼 ⊆ 𝑋 tale che 𝑥 ∈ 𝐼 si dice intorno di 𝑥 se contiene almeno una palla aperta di centro 𝑥, ossia se ∃𝑟 > 0 tale che 𝐵(𝑥; 𝑟) ⊆ 𝐼.
𝐼
Classificazione dei punti
Sia (𝑋; 𝑑) uno spazio metrico e sia 𝐴 ⊆ 𝑋 un suo sottoinsieme. Mediante la nozione di palla aperta o intorno circolare, i punti di 𝑋 si possono classificare, rispetto ad 𝐴, in punti interni, esterni o di frontiera.
Definizione
Un punto 𝑥 ∈ 𝑋 si dice:
1. Interno ad 𝐴 ⊆ 𝑋 se esiste almeno una palla aperta di centro 𝑥 contenuta in 𝐴
∃𝑟 > 0 ∶ 𝐵(𝑥; 𝑟) ⊆ 𝐴 ;
2. Esterno ad 𝐴 ⊆ 𝑋 se esiste almeno una palla aperta di centro 𝑥 contenuta nel complementare di 𝐴 in 𝑋, 𝐴` = 𝑋 ∖ 𝐴
∃𝑟 > 0 ∶ 𝐵(𝑥; 𝑟) ⊆ 𝐴` ;
3. Di frontiera per 𝐴 se ogni palla di centro 𝑥 interseca sia l’insieme 𝐴 che il suo complementare
∀𝑟 > 0 ∶ 𝐵(𝑥; 𝑟) ∩ 𝐴 ≠ ∅ , 𝐵(𝑥; 𝑟) ∩ 𝐴` ≠ ∅ ;
in altre parole 𝑥 è un punto di frontiera per 𝐴 quando ogni intorno di 𝑥 contiene sia punti di 𝐴 che punti del suo complementare 𝐴`.
L’insieme dei punti di frontiera di 𝐴 è chiamato frontiera (o bordo) di 𝐴 ed è indicato con il simbolo 𝜕𝐴.
L’insieme dei punti interni di 𝐴 è chiamato parte interna di 𝐴 e si indica con int 𝐴.
Definizione
Sia (𝑋; 𝑑) uno spazio metrico e sia 𝐴 ⊆ 𝑋 un suo sottoinsieme. Un punto 𝑥 ∈ 𝑋 si dice:
1. Di accumulazione per 𝐴 se ogni intorno di 𝑥 contiene almeno un punto di 𝐴 diverso da 𝑥, ossia
∀𝑟 > 0 ∶ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑡. 𝑐. 𝑦 ≠ 𝑥 𝑒 𝑦 ∈ 𝐵(𝑥; 𝑟) , o anche
∀𝑟 > 0 ∶ ∃𝑦 ≠ 𝑥 ∶ 𝑦 ∈ 𝐵(𝑥; 𝑟) ∩ 𝐴 ;
2. Isolato in 𝐴 se non è di accumulazione per 𝐴, ossia se esiste un intorno di 𝑥 che non contiene punti di 𝐴 diversi da 𝑥, ossia
∃𝑟 > 0 ∶ 𝐵(𝑥; 𝑟) ∖ {𝑥} ∩ 𝐴 = ∅ .
Dalla definizione si ha che un punto isolato appartiene necessariamente ad 𝐴, mentre un punto di accumulazione può appartenere ad 𝐴 o al suo complementare 𝐴`.
L’insieme dei punti di accumulazione per 𝐴 si denota con 𝐴i e prende il nome di insieme derivato di 𝐴.
Esempio
Teorema
Sia (𝑋; 𝑑) uno spazio metrico e 𝐴 ⊆ 𝑋. Un punto 𝑥 ∈ 𝑋 è di accumulazione per 𝐴 se e solo se ogni suo intorno contiene infiniti punti di 𝐴.
Insiemi aperti, chiusi, limitati
Definizione di insieme aperto
Sia (𝑋, 𝑑) uno spazio metrico e 𝐴 ⊆ 𝑋 un suo sottoinsieme. Si dice che 𝐴 è aperto se consiste solo di punti interni, ossia se coincide con la sua parte interna. In formule
𝐴 = int 𝐴 . Definizione di punto aderente
Siano 𝑋 uno spazio metrico, 𝐴 ⊆ 𝑋 un suo sottoinsieme e 𝑥 ∈ 𝑋. Diciamo che 𝑥 è aderente ad 𝐸 se per ogni intorno 𝑈 di 𝑥 si ha che 𝑈 ∩ 𝐸 ≠ ∅.
Poniamo l’insieme
𝐸 ≔ {𝑥 ∈ 𝑋 ∶ 𝑥 è 𝑎𝑑𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑑 𝐸}
e lo chiamiamo chiusura di 𝐸.
Definizione di insieme chiuso
Sia (𝑋, 𝑑) uno spazio metrico e 𝐴 ⊆ 𝑋 un suo sottoinsieme. Si dice che 𝐴 è chiuso se consiste solo di punti aderenti, ossia se coincide con la sua chiusura. In formule
𝐴 = 𝐴̅ . Teorema
Sia (𝑋, 𝑑) uno spazio metrico e 𝐴 ⊆ 𝑋 un suo sottoinsieme. 𝐴 è chiuso se e solo se il suo complementare 𝐴` è aperto.
Definizioni di diametro e di insieme limitato
Sia (𝑋, 𝑑) uno spazio metrico e 𝐴 ⊆ 𝑋 un suo sottoinsieme non vuoto. Definiamo diametro di 𝐴 la quantità
diam 𝐴 = sup
u,v∈w𝑑(𝑥; 𝑦) .
In topologia il diametro di un insieme in uno spazio metrico è definito come la massima distanza tra due punti appartenenti al sottoinsieme stesso. Si pensi, ad esempio, al concetto di diametro per una circonferenza.
Se diam 𝐴 < +∞, allora si dice che 𝐴 è un insieme limitato.
Se diam 𝐴 = +∞, allora l’insieme 𝐴 è illimitato.
Insiemi compatti e convessi
Cenni agli insiemi compatti – Teorema di Heine-Borel
Sia 𝐸 ⊆ ℝ# un sottoinsieme dello spazio euclideo reale. Diciamo che 𝐸 è un insieme compatto in ℝ# se e solo se è chiuso e limitato.
Definizione di insieme convesso
Sia 𝑉 uno spazio vettoriale e 𝐴 ⊆ 𝑉 un suo sottoinsieme. Diciamo che 𝐴 è convesso se per ogni 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 e per ogni 𝑡 ∈ [0; 1] ∶ 𝑡𝑥 + (1 − 𝑡)𝑦 ∈ 𝐴.
In parole povere 𝐴 è un insieme convesso se presi due suoi punti 𝑥 e 𝑦, 𝐴 contiene ogni loro combinazione convessa.
Geometricamente, questo significa che il segmento congiungente due punti qualsiasi di 𝐴 è interamente contenuto in 𝐴.
Ulteriori teoremi
Proprietà di Hausdorff
Sia (𝑋; 𝑑) uno spazio metrico e siano 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋. Se 𝑥 ≠ 𝑦, allora esiste 𝑟 > 0 tale che 𝐵(𝑥; 𝑟) ∩ 𝐵(𝑦; 𝑟) = ∅ .
Bibliografia
- Degiovanni M., Analisi matematica – II parte, Dispensa, Anno Accademico 2018/2019
- Kovarik H., Analisi matematica II – Campi scalari, Diapositive, Anno Accademico 2016/2017
- Soardi P. M., Analisi matematica, Novara, CittàStudi Edizioni, 2010
