Leonardo Colzani
IL MODELLO DI POINCARÉ DELLA GEOMETRIA NON EUCLIDEA
Maurits Cornelis Escher Limite del Cerchio 1960
I POSTULATI DI EUCLIDE:
(1) Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta.
(2) Una linea retta si può prolungare inde…nitamente.
(3) Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio.
(4) Tutti gli angoli retti sono uguali.
(5) Se una retta taglia altre due rette, prolungando le due rette, esse si incontrano dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due retti.
Un postulato di Proclo, equivalente al quinto, è che per un punto è possi- bile tracciare una ed una sola parallela ad una retta data. Negando il quinto postulato, si ottiene una geometria non euclidea. La geometria euclidea è la geometria su una super…cie con curvatura nulla. La geometria non euclidea el- littica è la geometria su una super…cie con curvatura positiva, la sfera, non ci sono parallele e la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di due angoli retti. La geometria non euclidea iperbolica è la geometria su una super-
…cie con curvatura negativa, la pseudosfera, per un punto fuori da una retta è possibile tracciare in…nite parallele alla retta, la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di due angoli retti, più un triangolo è grande minore è la somma degli angoli, e non esistono triangoli con area arbitrariamente grande,....
La geometria non euclidea iperbolica è stata scoperta indipendentemente da Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Nikolai Ivanovic Lobacevsky (1792-1856), János Bolyai (1802-1860), e modelli di questa geometria sono stati costruiti da Eugenio Beltrami (1835-1900), Felix Christian Klein (1849-1925), e Jules Henri Poincaré (1854-1912). Questi modelli mostrano che il quinto postulato di Euclide non è conseguenza dei primi quattro, e che la geometria non euclidea è consistente tanto quanto quella euclidea.
TRASFORMAZIONI LINEARI FRATTE
Una equazione di¤erenziale lineare omogenea del second’ordine con coe¢ ci- enti analitici ha soluzioni analitiche,
A (x)d2y
dx2 + B (x)dy
dx + C (x) y = 0:
Queste soluzioni sono ben de…nite in ogni aperto semplicemente connesso che non contiene zeri del coe¢ ciente A (x) o poli di B (x) e C (x). Se la variabile x gira intorno ad uno zero di A (x) o un polo di B (x) o C (x), una variabile si trasforma in un’altra. In particolare, una base per le soluzioni fy1(x) ; y2(x)g si trasforma in un’altra base fY1(x) ; Y2(x)g,
Y1(x) = y1(x) + y2(x) ; Y2(x) = y1(x) + y2(x) ; Y1(x) =Y2(x) = y1(x) =y2(x) +
y1(x) =y2(x) + :
La funzione z (x) = y1(x) =y2(x) prende quindi più valori, e la funzione inversa x (z) è automorfa,
x (z) = x z +
z + :
De…nizione: Una trasformazione lineare fratta è una trasformazione della sfera S = C [ f1g del tipo
w = z + z + : In coordinate omogenee z = z1=z2 e w = w1=w2,
w1
w2 = z1
z2 : Teorema:
(1) Due matrici multiple una dell’altra danno la stessa trasformazione e la trasformazione è invertibile se e solo se ha determinante non nullo. Le trasfor- mazioni w = ( z + ) = ( z + ) e z = ( w ) = ( w + ) sono l’una inversa dell’altra. In particolare, l’insieme delle trasformazioni invertibili è un gruppo, il gruppo lineare proiettivo PGL (2; C). Questo gruppo è generato dalle traslazioni w = z + , dilatazioni e rotazioni w = z, e dall’inversione w = 1=z.
(2) Dati tre punti distinti fa; b; cg e tre punti distinti fA; B; Cg nella sfera S, esiste una ed una sola trasformazione lineare w = T (z) con T (a) = A, T (b) = B, T (c) = C.
(3) Le trasformazioni lineari fratte trasformano rette e cerchi in rette e cer- chi, e conservano il birapporto
(a; b; c; d) = a c a d : b c
b d:
(4) Le trasformazioni lineari fratte sono conformi, cioè conservano gli angoli tra le curve.
Dimostrazione: (1) La dimostrazione che le trasformazioni lineari sono un gruppo è immediata. Per dimostrare questo gruppo è generato dalle traslazioni,
dilatazioni, rotazioni, e dall’inversione, basta osservare che z +
z + =( = ) ( z + ) + ( = )
z + = ( ) = 2
z + = + = :
(2) Nella trasformazione w = ( z + ) = ( z + ) i parametri f ; ; ; g sono de…niti a meno di una costante, ci sono tre gradi di libertà e si possono imporre tre condizioni. Più esplicitamente, la trasformazione
P (z) = z a z b : c a
c b manda fa; b; cg in f0; 1; 1g e la trasformazione
Q (z) = z A
z B : C A
C B;
manda fA; B; Cg in f0; 1; 1g. Quindi Q 1T (z) manda fa; b; cg in fA; B; Cg.
(3) Nel campo complesso le rette ed i cerchi hanno equazioni azz + bz + cz + d = 0, se a = 0 è una retta e se a 6= 0 è un cerchio. Le traslazioni, dilatazioni, rotazioni, e l’inversione, conservano la famiglia di queste equazioni. Per esempio, l’inversione w = 1=z trasforma azz +bz +cz +d = 0 in dww+cw+dw+a = 0. La dimostrazione che le traslazioni, dilatazioni, rotazioni, e l’inversione, conservano il birapporto è simile. Per esempio, nel caso dell’inversione basta veri…care che
1=a 1=c
1=a 1=d : 1=b 1=c
1=b 1=d= a c a d : b c
b d: (4) Tutte le trasformazioni olomorfe invertibili sono conformi.
Teorema:
(1) Il gruppo degli automor…smi del disco fjzj < 1g sono le trasformazioni lineari fratte
w = ei# z 1 z; con 0 # < 2 e j j < 1.
(2) Ogni automor…smo del disco si fattorizza in R T R', con R' = ei'z e T (z) = ( z) = (1 z), 0 ' < 2 e 0 < 1. In particolare, gli automor…smi del disco agiscono in modo doppiamente transitivo sul disco, si può mandare un punto del disco in un qualunque altro punto del disco e poi si può girare intorno a questo punto.
Dimostrazione: (1) La trasformazione w = ( z) = (1 z) è l’inversa di se stessa, scambia 0 con , e manda il cerchio fjzj = 1g in se. Infatti, se z = ei#,
ei#
1 ei# = ei#1 e i#
1 ei# :
E jw=wj = 1. In…ne, se S(z) è un automor…smo del disco con S(0) = e se T (z) = ( z) = (1 z), allora T S(z) trasforma il disco nel disco e …ssa
l’origine, T S(0) = 0 e, per il Lemma di Schwarz, jd=dz T S(0)j 1. Similmente, per il lemma di Schwarz applicato all’automor…smo inverso, d=dz S 1T 1(0) 1. Quindi jd=dz T S(0)j = 1, e dal lemma di Schwarz si ricava che T S(z) = ei#z è una rotazione. Quindi, S(z) = T ei#z .
(2) Se = e i', allora
ei# z
1 z = ei(# ) ei'z 1 ei'z: Teorema:
La trasformazione lineare fratta w = i (1 z) = (1 + z) è una mappa con- forme del disco fjzj < 1g nel semipiano fIm(w) > 0g, e la trasformazione in- versa z = (i w) = (i + w) è una mappa conforme del semipiano nel disco.
Se S(w) = (i w) = (i + w) e se F (z) è un automor…smo del disco, allora S 1F S(w) è un automor…smo del semipiano. Viceversa, se G(w) è un au- tomor…smo del semipiano, allora SGS 1(z) è un automor…smo del disco. In particolare, i gruppi di automor…smi del disco e del semipiano sono isomor….
Dimostrazione: La mappa conforme z = (i w) = (i + w) trasforma la terna f0; 1; 1g nella terna f1; i; 1g, e trasforma i in 0. Quindi trasforma il semipiano fIm(w) > 0g nel disco fjzj < 1g.
LA METRICA DEL DISCO IPERBOLICO
In un mondo anisotropo con dei limiti di velocità v(z) che variano da punto a punto, la via più rapida tra due punti è la curva che minimizza l’integrale
Z dt =
Z jdzj jdzj =dt =
Z jdzj v(z):
De…nizione:La lunghezza di una curva regolare a tratti = fz(t); a t bg rispetto ad una metrica conforme (z) jdzj, con (z) > 0, è
L ( ) = Z
(z) jdzj = Z b
a (z) jd=dt z(t)j dt:
L’area di una regione rispetto ad una metrica conforme (z) jdzj è A ( ) =
Z Z
2(x + iy)dxdy:
Si può introdurre nel disco fjzj < 1g una metrica riemanniana conforme con la proprietà che gli automor…smi sono isometrie.
Teorema:
(1) Gli automor…smo del disco fjzj < 1g sono isometrie della metrica (z) jdzj se e solo se (z) = (0) 1 jzj2
1
.
(2) Le geodetiche nella metrica 1 jzj2 1jdzj sono i diametri del disco e gli archi di cerchio perpendicolari al bordo del cerchio. Per ogni coppia di punti passa una ed una sola geodetica.
(3) La distanza tra due punti z e w nel disco con la metrica 1 jzj2 1jdzj è
d (z; w) = 1
2log j1 zwj + jz wj j1 zwj jz wj :
Equivalentemente, se fz; w; p; qg sono quattro punti su un cerchio ortogonale al bordo del disco fjzj < 1g, con z e w interni al disco e p e q sul bordo, la distanza tra z e w è il logaritmo del birapporto tra i punti fz; w; p; qg,
d (z; w) = 1
2log (z; w; p; q) =1
2log z p
z q : w p
w q :
(4) Se z = x + iy, la misura 1 x2 y2 2dxdy è invariante per gli au- tomor…smi del disco. L’area di un triangolo geodetico con angoli f ; ; g è . Più in generale, l’area di un poligono geodetico semplicemente connesso con n lati ed angoli f ; ; ; :::; g è (n 2) ( + + + ::: + ).
Dimostrazione: (1) La trasformazione w = S(z) è una isometria se e solo se il vettore tangente alla curva S ( ) nel punto S (z (t)) ha lunghezza uguale al vettore tangente alla curva nel punto z (t). Per una metrica conforme (z) jdzj,
(S (z (t))) jd=dt S (z (t))j = (S (z (t))) jd=dz S (z (t))j jd=dt z (t)j
= (S (z (t)))
(z (t)) jd=dz S (z (t))j (z (t)) jd=dt z (t)j : Quindi, la trasformazione è una isometria se e solo se
(S (z))
(z) jd=dz S (z)j = 1:
In particolare, con z = 0,
(S (0)) = (0) jd=dz S (0)j: Se S(z) = ei#( z) = (1 z), allora
d
dzS(z) = ei# 1
(1 z)2 = 1 j j2 j1 zj2:
In particolare, S (0) = ei# e jd=dz S (0)j = 1 j j2. Quindi, se la met- rica (z) jdzj è una isometria, allora (z) = (0) 1 jzj2 1. È ora semplice
veri…care che questa metrica è e¤ettivamente una isometria.
(S (z)) = (0)
1 jS (z)j2 = (0) 1 j zj2
j1 zj2
= (0) j1 zj2 1 j j2 1 jzj2
:
Quindi,
jd=dt S (z (t))j
1 jS (z (t))j2 =jd=dt z (t)j 1 jzj2 :
(2) Si può confrontare la lunghezza di una curva = fz (t) = x (t) + iy (t)g che connette l’origine 0 ad un punto 0 < p < 1 con la lunghezza del segmento
= fz (t) = x (t)g,
jd=dt x (t)j 1 jx (t)j2
q
(d=dt x (t))2+ (d=dt y (t))2 1 x (t)2 y (t)2 :
Questo segue dal fatto che aumentando il numeratore e diminuendo il denom- inatore la frazione cresce. Quindi la lunghezza di è minore della lunghezza di e le geodetiche per l’origine sono i diametri. Una qualunque coppia di punti a e b nel disco è l’immagine attraverso una trasformazione lineare fratta w = S(z) dell’origine 0 e di un punto 0 < p < 1. Siccome gli automor…smi del disco sono isometrie, l’immagine del segmento f0 t pg è la geodetica che congiunge a a b. In…ne, un diametro è perpendicolare al bordo del disco fjzj < 1g, e l’immagine di un diametro attraverso un automor…smo del disco è un altro diametro, o un cerchio perpendicolare al bordo del disco. La geodetica per questi punti a e b è il cerchio che passa per a, b, e per 1=b.
(3) La geodetica che congiunge l’origine 0 ad un punto z è il segmento ftz; 0 t 1g, ed ha lunghezza
d (0; z) = Z 1
0
jzj dt 1 jtzj2 = 1
2log 1 + jzj 1 jzj :
Se e sono punti nel disco, con l’automor…smo S(z) = ( z) = (1 z) si può trasportare in 0 e nel punto ( ) = (1 ) e, siccome S(z) è una isometria,
d ( ; ) = d (0; ( ) = (1 )) = 1
2log j1 j + j j
j1 j j j :
Una de…nizione equivalente di distanza è la seguente. Dati i quattro punti f0; ; 1; 1g, con 0 < < 1, la distanza tra 0 e 1 è la metà del logaritmo del birapporto di f0; ; 1; 1g, 1=2 log (0; ; 1; 1) = 1=2 log ((1 + ) = (1 )). Sic- come sia la distanza che il birapporto sono invarianti per trasformazioni lineari fratte, se fz; w; p; qg sono quattro punti su un cerchio ortogonale al bordo del disco fjzj < 1g, con z e w interni al disco e p e q sul bordo, la distanza tra z e w è la metà del logaritmo del birapporto dei punti fz; w; p; qg.
(4) Sia l’area A ( ) che il difetto angolare (n 2) ( + + + ::: + ) sono invarianti per gli automor…smi del disco e sono funzioni additive sull’insieme dei poligoni geodetici semplicemente connessi. Quindi, queste quantità sono proporzionali tra loro, A ( ) = c ((n 2) ( + + + ::: + )). Basta poi calcolare la costante di proporzionalità su un particolare triangolo. Una di- mostrazione alternativa segue dal corrispondente risultato nel semipiano. Con la notazione z = x + iy e w = u + iv e con il cambio di variabili w = i (1 z) = (1 + z) e z = (i w) = (i + w) tra il disco fjzj < 1g e il semipiano fIm(w) > 0g, ad un quadratino con area 1 x2 y2 2dxdy nel disco è asso- ciato un quadratino con area v 2dudv nel semipiano. Infatti, la trasformazione z = (i w) = (i + w) è conforme ed ha derivata dz=dw = 2i= (i + w)2, e
dxdy (1 x2 y2)2 =
2i= (i + (u + iv))2 2 1 j(i (u + iv)) = (i + (u + iv))j2
2dudv =dudv v2 :
Si può ora calcolare l’area di un triangolo nel semipiano con vertici nei punti Rei( ); Rei ; 1 ed angoli interni f ; ; 0g,
A ( ) =
Z Z dudv v2 =
Z
@
du v =
Z d=d# R cos (#)
R sin (#) d# = :
Nel disco fjzj < 1g con limite di velocità 1 jzj2 il bordo è in…nitamente lontano. La distanza tra due punti A e B
è la metà del logaritmo del birapporto fA; B; P; Qg . La
somma degli angoli interni al triangolo è minore di e
l’area è uguale al difetto
angolare .
In un triangolo con lati fa; b; cg ed angoli f ; ; g , cosh (a) = cosh (b) cosh (c) sinh (b) sinh (c) cos ( ) ;
sinh (a)
sin ( ) =sinh (b)
sin ( ) =sinh (c) sin ( ):
Per esempio, in un triangolo rettangolo con vertici O = (0; 0), A = (a; 0),
B = (0; b), i cateti misurano
OA = 1
2log 1 + a
1 a ;
OB =1
2log 1 + b 1 b ; AB = 1
2log
p1 + a2b2+p a2+ b2 p1 + a2b2 p
a2+ b2
! :
Si ha poi
cosh (2OA) = 1 + a2 1 a2; cosh (2OB) = 1 + b2
1 b2; cosh (2AB) = 1 + a2+ b2+ a2b2
1 a2 b2+ a2b2: Quindi il teorema di Pitagora non euclideo è
cosh (2AB) = cosh (2OA) cosh (2OB) :
Se il triangolo è piccolo, per a; b ! 0+ si ritrova il teorema di Pitagora euclideo,
cosh (2OA) cosh (2OB) cosh (2a) cosh (2b) 1 + 2 a2+ b2 ; cosh (2AB) 1 + 2AB2:
In geometria non euclidea il raggio del cerchio e la lunghezza della circon- ferenza con centro (0; 0) passante per z sono
r = d (0; z) = 1
2log 1 + jzj 1 jzj ; 2 jzj
1 jzj2 =
2(exp (2r) exp ( 2r)) :
E ancora, al limite per r ! 0+ si ottiene la circonferenza euclidea 2 r.
Quanto visto nel disco si può estendere immediatamente ad un semipiano.
Teorema:
(1) Gli automor…smo del semipiano fjIm (z)j > 0g sono isometrie della met- rica (z) jdzj se e solo se (z) = (i) (Im (z)) 1.
(2) Le geodetiche nella metrica (Im (z)) 1jdzj sono semirette verticali e archi di cerchio perpendicolari all’asse reale. Per ogni coppia di punti passa una ed una sola geodetica.
(3) Se fz; w; p; qg sono quattro punti su un cerchio ortogonale al bordo del semipiano, con z e w interni al semipiano e p e q sul bordo, la distanza tra z e w è la metà del logaritmo del birapporto tra i punti fz; w; p; qg,
d (z; w) = 1
2log (z; w; p; q) =1
2log z p
z q : w p
w q :
(4) Nel semipiano con la metrica jIm (z)j 1jdzj l’area di un poligono geo- detico semplicemente connesso con n lati ed angoli f ; ; ; :::; g è (n 2) ( + + + ::: + ).
Dimostrazione: La dimostrazione è analoga a quella del teorema prece- dente.
Più in generale, si può introdurre una metrica iperbolica in ogni dominio semplicemente connesso distinto dall’intero piano. Se w = w (z) è una trasfor- mazione conforme di un dominio nel disco fjwj < 1g, in si può de…nire la metrica
jdw=dzj 1 jwj2dz:
Per visualizzare i piani delle geometrie euclidee e non euclidee, si possono ritagliare e poi incollare assieme lungo i lati un certo numero di triangoli equila- teri. Se in ogni vertice si incollano 3, o 4, o 5 triangoli, si ottengono un tetraedro, un ottaedro, un icosaedro, poliedri che approssimano una sfera, una super…cie con curvatura positiva. Se in ogni vertice concorrono 6 triangoli, si ottiene il piano euclideo, che ha curvatura zero. Se in ogni vertice si incollano 7, 8, o più triangoli, la super…cie si increspa e tende ad avere una curvatura negativa. La geometria non euclidea ellittica è la geometria su una super…cie con curvatura positiva, la geometria euclidea è la geometria su una super…cie con curvatura nulla, e la geometria non euclidea iperbolica è la geometria su una super…cie con curvatura negativa. In…ne, quanto visto in due dimensioni si può estendere a tre dimensioni. Lo spazio è un semispazio. I piani sono piani o semisfere perpendi- colari al bordo del semispazio. Le rette sono rette o semicerchi perpendicolari al bordo del semispazio. La distanza è la metà del logaritmo del birapporto tra i due punti nel semispazio ed i due punti sul bordo. Una interpretazione
…sica della geometria di Poincaré è un mondo caldo al centro ed in…nitamente freddo al bordo. Spostandosi dal centro verso il bordo, un corpo si ra¤redda e si contrae. Ma questi mutamenti di distanze e dimensioni si possono percepire solo dall’esterno. Per chi vive all’interno di questo mondo e muovendosi si es- pande e si contrae insieme al corpo, uno stesso corpo appare uguale a se stesso indipendentemente dalla sua posizione.
