Sia (Y, d) uno spazio metrico

Esame di Geometria 1

Anno Accademico 2012/2013

19 Settembre 2013

Svolgere i seguenti esercizi giustificando le risposte.

1. Si consideri la famiglia

τ := A ⊂ R⁴ | x ∈ A ⇒ −x ∈ A di sottoinsiemi di R⁴.

(a) Mostrare che τ `e una topologia su R⁴.

(b) Lo spazio topologico (R⁴, τ ) `e connesso? `E localmente connesso?

(c) Lo spazio topologico (R⁴, τ ) `e connesso per archi? `E localmente connesso per archi?

(d) Lo spazio topologico (R⁴, τ ) `e 1-numerabile? `E 2-numerabile?

(e) Lo spazio topologico (R⁴, τ ) `e separabile?

(f) Lo spazio topologico (R⁴, τ ) `e compatto? `E localmente compatto?

(g) Lo spazio topologico (R⁴, τ ) `e T<sub>2</sub>? `E T₁? `E T₀?

2. Sia (Y, d) uno spazio metrico. Definiamo il diametro di un sottoinsieme (non vuoto) A di Y come

diam(A) := supd(a₁, a₂) | a₁, a₂ ∈ A .

Sia poi X uno spazio topologico e indichiamo con N_X(x) la famiglia degli intorni di un punto x ∈ X. Sia infine f : X → Y un’applicazione e per ogni x ∈ X poniamo

ω_x(f ) := infdiam(f (U )) | U ∈ N_X(x) .

(a) Provare che per ogni r > 0 l’insieme {x ∈ X | ω_x(f ) ≥ r} `e chiuso in X.

(b) Provare che f `e continua in x se e solo se ω_x(f ) = 0.

(c) L’applicazione Φf : X → [0, +∞) tale che Φf(x) := ωx(f ) `e continua? Se s`ı dimostrarlo, altrimenti esibire un controesempio.

(Gira il foglio)

3. Sia X uno spazio topologico compatto e metrizzabile.

(a) Dimostrare che X `e a base numerabile.

(b) Sia Y uno spazio topologico di Hausdorff e supponiamo che esista una funzione X → Y continua, aperta e surgettiva. Provare che Y `e metrizzabile.

(Suggerimento: Per risolvere il punto (b) utilizzare il punto (a) e ricordare quali propriet`a garantiscono la metrizzabilit`a di uno spazio topologico.)

Risolvere esercizi distinti su protocolli distinti.