una famiglia di topologie su un insieme X 6= ∅. Dimostrare che τ := ∩

(1)

Geometria 1 – Foglio di esercizi n. 2

10 Ottobre 2013

1. Sia {τ

_i

}

_i∈I

una famiglia di topologie su un insieme X 6= ∅. Dimostrare che τ := ∩

_i∈I

τ

_i

` e una topologia su X.

2. Provare che R dotato della topologia cofinita non `e 1-numerabile.

3. Sia X := {1, 2, 3, 4, 5} e sia τ := ∅, X, {1}, {3, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} . Mostrare che τ ` e una topologia su X e determinare la chiusura in (X, τ ) dei sottoinsiemi {2}, {1, 3}

e {2, 4}.

4. ` E vero che se ogni sottoinsieme numerabile di uno spazio topologico X ` e chiuso allora la topologia su X ` e la topologia discreta?

5. Sia X := {1, 2, 3, 4, 5, 6} e sia τ := ∅, X, {1, 2}, {1, 2, 5}, {1, 2, 6}, {1, 2, 5, 6} . Sia poi E := {1, 2, 3}.

(a) Mostrare che τ ` e una topologia su X.

(b) Trovare punti interni, punti di frontiera e punti di accumulazione di E.

(c) Stabilire se E ` e aperto o chiuso in X e trovarne la chiusura.

6. Dotiamo l’insieme N dei numeri naturali della topologia cofinita e definiamo E

₁

:= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E

₂

:= {numeri pari}.

Per ciascuno dei due sottoinsiemi E

₁

e E

₂

stabilire se ` e aperto o chiuso, se contiene punti interni e se ammette punti di accumulazione, infine determinarne la chiusura.

7. Siano (X, τ ) uno spazio topologico e D ⊂ X un sottoinsieme denso. Si provi che se x ∈ D e U ` e un intorno di x in D (per la topologia di sottospazio) allora la chiusura di U in X ` e un intorno di x in X (per la topologia τ ).

8. Sia X un insieme, siano τ e τ

⁰

topologie su X tali che τ ( τ

⁰

(ossia τ ` e strettamente meno fine di τ

⁰

) e sia A un sottoinsieme di X. ` E vero che τ

_A

( τ

A⁰

?

9. Siano A e B sottoinsiemi di uno spazio topologico X. Dimostrare che (a) A ∩ B ⊂ ¯ A ∩ ¯ B;

(b) se A ` e aperto allora A ∩ ¯ B ⊂ A ∩ B;

(c) se A ` e aperto e B ` e denso allora ¯ A = A ∩ B.

10. Siano A e B sottoinsiemi di uno spazio topologico X. Provare che Fr

_X

(A ∪ B) ⊂ Fr

_X

(A) ∪ Fr

_X

una famiglia di topologie su un insieme X 6= ∅. Dimostrare che τ := ∩

Geometria 1 – Foglio di esercizi n. 2

10 Ottobre 2013

1. Sia {τ

}

una famiglia di topologie su un insieme X 6= ∅. Dimostrare che τ := ∩

τ

` e una topologia su X.

2. Provare che R dotato della topologia cofinita non `e 1-numerabile.

3. Sia X := {1, 2, 3, 4, 5} e sia τ := ∅, X, {1}, {3, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} . Mostrare che τ ` e una topologia su X e determinare la chiusura in (X, τ ) dei sottoinsiemi {2}, {1, 3}

e {2, 4}.

4. ` E vero che se ogni sottoinsieme numerabile di uno spazio topologico X ` e chiuso allora la topologia su X ` e la topologia discreta?

5. Sia X := {1, 2, 3, 4, 5, 6} e sia τ := ∅, X, {1, 2}, {1, 2, 5}, {1, 2, 6}, {1, 2, 5, 6} . Sia poi E := {1, 2, 3}.

(a) Mostrare che τ ` e una topologia su X.

(b) Trovare punti interni, punti di frontiera e punti di accumulazione di E.

(c) Stabilire se E ` e aperto o chiuso in X e trovarne la chiusura.

6. Dotiamo l’insieme N dei numeri naturali della topologia cofinita e definiamo E

:= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E

:= {numeri pari}.

Per ciascuno dei due sottoinsiemi E

e E

stabilire se ` e aperto o chiuso, se contiene punti interni e se ammette punti di accumulazione, infine determinarne la chiusura.

7. Siano (X, τ ) uno spazio topologico e D ⊂ X un sottoinsieme denso. Si provi che se x ∈ D e U ` e un intorno di x in D (per la topologia di sottospazio) allora la chiusura di U in X ` e un intorno di x in X (per la topologia τ ).

8. Sia X un insieme, siano τ e τ

topologie su X tali che τ ( τ

(ossia τ ` e strettamente meno fine di τ

) e sia A un sottoinsieme di X. ` E vero che τ

( τ

?

9. Siano A e B sottoinsiemi di uno spazio topologico X. Dimostrare che (a) A ∩ B ⊂ ¯ A ∩ ¯ B;

(b) se A ` e aperto allora A ∩ ¯ B ⊂ A ∩ B;

(c) se A ` e aperto e B ` e denso allora ¯ A = A ∩ B.

10. Siano A e B sottoinsiemi di uno spazio topologico X. Provare che Fr

(A ∪ B) ⊂ Fr

(A) ∪ Fr

(B).

11. Sia A un sottoinsieme di uno spazio topologico X. Mostrare che se A non ha punti

isolati allora ¯ A non ha punti isolati.

una famiglia di topologie su un insieme X 6= ∅. Dimostrare che τ := ∩

Geometria 1 – Foglio di esercizi n. 2

10 Ottobre 2013

1. Sia {τ

}

una famiglia di topologie su un insieme X 6= ∅. Dimostrare che τ := ∩

τ

` e una topologia su X.

2. Provare che R dotato della topologia cofinita non `e 1-numerabile.

3. Sia X := {1, 2, 3, 4, 5} e sia τ := ∅, X, {1}, {3, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} . Mostrare che τ ` e una topologia su X e determinare la chiusura in (X, τ ) dei sottoinsiemi {2}, {1, 3}

e {2, 4}.

4. ` E vero che se ogni sottoinsieme numerabile di uno spazio topologico X ` e chiuso allora la topologia su X ` e la topologia discreta?

5. Sia X := {1, 2, 3, 4, 5, 6} e sia τ := ∅, X, {1, 2}, {1, 2, 5}, {1, 2, 6}, {1, 2, 5, 6} . Sia poi E := {1, 2, 3}.

(a) Mostrare che τ ` e una topologia su X.

(b) Trovare punti interni, punti di frontiera e punti di accumulazione di E.

(c) Stabilire se E ` e aperto o chiuso in X e trovarne la chiusura.

6. Dotiamo l’insieme N dei numeri naturali della topologia cofinita e definiamo E

:= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E

:= {numeri pari}.

Per ciascuno dei due sottoinsiemi E

e E

stabilire se ` e aperto o chiuso, se contiene punti interni e se ammette punti di accumulazione, infine determinarne la chiusura.

7. Siano (X, τ ) uno spazio topologico e D ⊂ X un sottoinsieme denso. Si provi che se x ∈ D e U ` e un intorno di x in D (per la topologia di sottospazio) allora la chiusura di U in X ` e un intorno di x in X (per la topologia τ ).

8. Sia X un insieme, siano τ e τ

topologie su X tali che τ ( τ

(ossia τ ` e strettamente meno fine di τ

) e sia A un sottoinsieme di X. ` E vero che τ

( τ

?

9. Siano A e B sottoinsiemi di uno spazio topologico X. Dimostrare che (a) A ∩ B ⊂ ¯ A ∩ ¯ B;

(b) se A ` e aperto allora A ∩ ¯ B ⊂ A ∩ B;

(c) se A ` e aperto e B ` e denso allora ¯ A = A ∩ B.

10. Siano A e B sottoinsiemi di uno spazio topologico X. Provare che Fr

(A ∪ B) ⊂ Fr

(A) ∪ Fr

(B).

11. Sia A un sottoinsieme di uno spazio topologico X. Mostrare che se A non ha punti

isolati allora ¯ A non ha punti isolati.

3. Sia X := {1, 2, 3, 4, 5} e sia τ := ∅, X, {1}, {3, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} . Mostrare che τ ` e una topologia su X e determinare la chiusura in (X, τ ) dei sottoinsiemi {2}, {1, 3}

5. Sia X := {1, 2, 3, 4, 5, 6} e sia τ := ∅, X, {1, 2}, {1, 2, 5}, {1, 2, 6}, {1, 2, 5, 6} . Sia poi E := {1, 2, 3}.