• una infinità numerabile di modi TE

LINEA DI TRASMISSIONE PLANARE IDEALIZZATA LINEA DI TRASMISSIONE PLANARE IDEALIZZATA

Un insieme completo di modi della struttura è costituito da:

• un modo TEM

• una infinità numerabile di modi TE

• una infinità numerabile di modi TM La struttura è costituita da 2 conduttori elettrici perfetti (c.e.p.) e limitata

lateralmente da 2 conduttori magnetici perfetti (c.m.p.) → il mezzo (di parametri ε ^c , µ) sede del campo occupa la regione

0≤ x ^≤ a ^0≤ y ^≤b -∞<z<∞

(disegno della sezione trasversale) c.e.p.

c.e.p.

c.m.p.

c.m.p.

y

O x b

a

ε

, µ

MODO TEM MODO TEM

La struttura soddisfa le condizioni per sostenere un modo TEM:

• è omogenea

• ha 2 conduttori elettrici perfetti → linea di trasmissione a 1 filo

Ricordando che nel caso TEM (E

= H

= 0; γ = ± σ) la

determinazione del campo è ridotta alla risoluzione dell’eq. di Laplace (in due dimensioni) per il potenziale elettrico Φ

(più massa)

2 Φ = 0

∇ _t

note le condizioni al contorno

= 0

∂ Φ

∂ n sui contorni

dei c.e.p

sui contorni

dei c.m.p

Φ = costante

MODO TEM MODO TEM

Nel caso in esame, il problema di valori al contorno che individua il potenziale Φ è il seguente:

2

0

2 2

2

=

∂ Φ + ∂

∂ Φ

∂

y x

Ipotesi di lavoro: Φ dipende solo da y

Se, in base all’ipotesi fatta, si ottiene una soluzione, per il teorema di unicità valido per i campi elettrostatici, essa è l’unica.

Si cerca dunque una soluzione per cui

la quale soddisfa automaticamente le condizioni sui c.m.p

⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪ ⎪

⎪

⎨

⎧

∂ = Φ

∂

∂ = Φ

∂

= Φ

= Φ

0 )

, (

0 )

, 0 (

1 )

, (

0 )

0 , (

y x a

x y

b x

x condizioni sui c.e.p.

condizioni sui c.m.p.

≡ 0

∂ Φ

∂

x

MODO TEM MODO TEM L’eq. di Laplace si riduce a

0

2

Φ =

dy d

Le condizioni al contorno sui c.e.p impongono C

=0 e C

= il cui integrale generale è Φ=C

y + C

con C

^, C

costanti

per cui si può concludere che b

1 b

= y Φ

Le funzioni di modo per il modo TEM sono dunque:

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

±

=

×

±

=

−

∂ = Φ

− ∂

∂ Φ

− ∂

= Φ

∇

−

=

b i E

k H

b j y j

x i E

t t

t t

η η

1 1

1

MODI TE e TM MODI TE e TM

Poiché la struttura è chiusa, i modi TE e TM sono guidati

La completa determinazione del generico modo superiore si riduce a quella della componente assiale non nulla (H

per i modi TE, E

per quelli TM) e della costante di propagazione γ, mediante la soluzione di un ‘problema agli autovalori’

Modi TE

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

=

∂ =

∂

= +

∇

0 0

2

0

2

z z

z c

z t

H n H

H K

H

⎪ ⎪

⎭

⎪ ⎪

⎬

⎫

∂ =

∂

=

= +

∇

0 0

2

0

2

n E E

E K E

z z

z c z

t

Modi ^TM

sul contorno dei c.e.p.

sul contorno dei c.m.p.

2 2

≡ γ

− σ K

Posto

SIGNIFICATO DI K SIGNIFICATO DI K

Gli autovalori del problema sono un’infinità numerabile, quindi la struttura ammette un insieme discreto e ∞ di modi TE e un insieme discreto e ∞ di modi TM

L’autovalore del generico modo K

è funzione soltanto della

geometria della struttura ed è indipendente dal suo regime elettrico, dalla frequenza e dalle caratteristiche del mezzo

K

= - γ

(costante di propagazione trasversale) e poiché i modi TE,TM di una struttura omogenea chiusa hanno sempre K

>0 si ha

c

t

= ± jK

γ

Æ il campo sul piano trasversale si propaga inattenuato con costante

di fase ± K

SIGNIFICATO DI K SIGNIFICATO DI K

Æ Il campo elettrom. tende a propagarsi in tutte le direzioni possibili (dunque non solo nella direzione assiale)

Tuttavia, sul piano trasversale le possibilità di propagazione sono limitate dalle condizioni al contorno Æ la distribuzione del campo costituisce un’onda stazionaria con linee di zero costanti nel tempo

Esistono relazioni ben precise tra la configurazione geometrica

dei contorni dei conduttori e la costante di fase trasversale e

quindi la distribuzione discreta degli autovalori

MODI TE MODI TE

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎨

⎧

∂ =

∂

∂ =

∂

=

=

=

∂ + + ∂

∂

∂

0 ) , (

0 ) 0 , (

0 ) , (

0 ) , 0 (

2

0

2 2 2

2

b y x

H y x H

y a H

y H

H y K

H x

H

z z z z

z c z

z

Il problema agli autovalori per il generico modo TE è il seguente:

Ipotesi di lavoro: H

(x,y) = X(x)*Y(y) Æ

2

2

1

1

dy Y d K Y

dx X d

X = −

−

Il primo membro è una funzione della sola x, mentre il secondo

dipende solo da y; poiché x e y sono due variabili indipendenti, essi debbono essere entrambi uguali ad una costante

2 2

1

K

dx X d

X ≡ − ¹

^K

^K

^K

dy Y d

Y = − + ≡ −

MODI TE MODI TE

⎩ ⎨

⎧

+

=

+

=

) (

) cos(

) (

) (

) cos(

) (

6 5

4 3

y K sen C

y K C

y Y

x K sen C

x K C

x X

y y

x

Gli integrali generali sono

rispettivamente:

La condizione al contorno per x=0 implica X(0)=0 e quindi C

=0 La condizione per x=a impone X(a)=0 Æ

m a

K

₌ π _(m=1,2,…)

(per m=0 H

=0)

( ) ^{0 = 0}

dy dY

( ) ^{b = 0}

dy dY

n b K

₌ π

che fornisce C

=0 La condizione per y=0 si traduce in

Æ

La condizione per y=b diviene (n=0,1,…)

Si noti come la quantizzazione degli autovalori K

e K

nasca come conseguenza dell’imposizione di dimensioni limitate (a,b) alla

regione in cui il campo si propaga

MODI TE MODI TE

Si ha dunque un’infinità numerabile di modi TE, ciascuno dei quali è individuato da una coppia di valori di m ed n. Per il generico di essi è:

) cos(

* ) (

* )

,

,

(

b y n a

x sen m

C y

x

H

π π

=

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

=

2 2

2 2 , 2

2

*

b n a

K m K

K

π _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

=

=

,...

2 , 1 , 0

,...

3 , 2 , 1 n

m

c c

n

m

b

n a

K σ π m ω µε

γ

^*

⁻

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

± ⎛

= +

=

MODI TM MODI TM

Dualmente si ottiene un’infinità numerabile di modi TM , per il generico dei quali si ha:

) (

* ) cos(

,

*

b y sen n

a x D m

E

₌ π π

n c m

K

n

γ

^{⎟⎟ ⎠}

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

=

=

,...

3 , 2 , 1

,...

2 , 1 , 0 n

m

e hanno ancora le espressioni precedenti Le componenti trasversali delle funzioni di modo si ricavano utilizzando le seguenti espressioni :

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

∇

−

=

∇

×

−

=

z t c

t

z t c

t

K H H

H K k

E j

2 2

γ ωµ

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

∇

×

−

=

∇

−

=

z t c

c t

z t c

t

E K k

H j

K E E

2 2

ωε γ

modi modi TE

TM

BANDA DI

BANDA DI UNIMODALITA’ UNIMODALITA ’

La pulsazione di taglio del modo TE

e del modo TM

è:

2 2

,

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

≡ b

n a

m K

n cm

µε π

ω µε

Nel caso comunemente incontrato in cui sia a>b, tra tutte le ω

si ottiene per m=1 e n=0 Æ il modo TE o TM con la frequenza di taglio più bassa è il TE

, per il quale

K

₌ π a

10

µε

ω π

TE

a

c ₁₀

=

La struttura sostiene il modo TEM, che dunque è il modo fondamentale,

e la frequenza di taglio del modo TE

è l’estremo superiore della banda

di unimodalità, che è quindi tanto più ampia quanto più piccole sono le

dimensioni (a) della sezione trasversale della struttura.

GUIDA D

GUIDA D ’ ’ ONDA RETTANGOLARE ONDA RETTANGOLARE

y

⎩ ⎨

⎧

=

= 0 )

, (

0 )

, 0 (

y a E

y E

z z

x c.e.p.

ε

,µ

O a

b

Tutte le pareti sono elettriche

Poiché c’è un solo conduttore non può esserci il modo TEM

Si ha invece un’infinità numerabile di modi TE e una di modi TM

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

∂ =

∂

∂ =

∂

0 )

, (

0 )

, 0 (

y x a

H x y H

z z

Le condizioni al contorno per y=0 e y=b restano le stesse, mentre le rimanenti divengono:

modi TE

(disegno della sezione trasversale)

modi TM

GUIDA D

GUIDA D ’ ’ ONDA RETTANGOLARE ONDA RETTANGOLARE

n c m ,

ω

,

2 , n c m

K γ ^{m, n} _e

Valgono ancora le espressioni di

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

=

=

=

=

0 ,...

2 , 1 , 0

,...

2 , 1 , 0

n m

n Per il generico modo TE si ha: m

) cos(

* ) cos(

* )

,

,

(

b y n a

x C m

y x

H

₌ π π

Per il generico modo TM si ha:

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

=

=

,...

3 , 2 , 1

,...

3 , 2 , 1 n

) m (

* ) (

,

*

b y sen n

a x sen m

D

E

₌ π π

Poiché il TEM non esiste, il TE

è il modo fondamentale (se a>b)

e la sua frequenza di taglio rappresenta la frequenza minima a cui

possibile la propagazione nella guida

GUIDA D

GUIDA D ’ ’ ONDA RETTANGOLARE ONDA RETTANGOLARE

Determinare la banda di funzionamento monomodale di una guida rettangolare in aria, di dimensioni 22,86 x 10,16 mm

La banda di funzionamento monomodale è compresa fra la

frequenza di taglio del modo fondamentale (il TE

) e quella del primo modo superiore

GHz a Hz

c

TE

a

f ^{6 . 56}

02286 .

0

* 2

10

* 3 2 2

1

10

= = = =

µε

Per le particolari dimensioni della guida, il primo modo superiore è il TE

, la cui frequenza di taglio risulta essere:

a GHz c

TE

a

f ^{2 13 . 12}

2

1

20

⎟ = =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

µε

Quindi la banda di funzionamento monomodale è 6.56÷13.12 GHz

GUIDA D

GUIDA D ’ONDA RETTANGOLARE ’ ONDA RETTANGOLARE

Determinare la minima dimensione che deve avere una guida in aria per poter funzionare a 60 MHz (supponendo a>b)

Si tratta di dimensionare la guida in modo tale che, alla frequenza

desiderata, il modo fondamentale sia in propagazione. In altre parole, si vuole che la frequenza di taglio del modo TE

sia inferiore a 60 MHz

a MHz c

TE

a

f ⁶⁰

2 2 1

10

= = <

µε La guida d’onda

viene infatti usata solo ad alta frequenza m

MHz m

a c 2 . 5

10 7 6 2

10 8 3 60

2 =

⋅

⋅

= ⋅

> ⋅

→ !!

Una linea di trasmissione (es. CAVO COASSIALE) in grado di

sostenere il modo TEM, che si propaga a tutte le frequenze, non ha

questo tipo di problema

CAVO COASSIALE CAVO COASSIALE

La struttura può sostenere il modo TEM Introdotto un sistema di rif.

polare, il potenziale elettrico Φ è individuato dal seguente

problema di valori al contorno:

⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

= Φ

= Φ

∂ = Φ + ∂

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ Φ

∂

∂

∂

0 )

, (

1 )

, (

1 0 1

2 1

2 2 2

θ θ

θ R

R

r r r

r r θ

i

x R

r

R

y

(disegno della sezione trasversale)

CAVO COASSIALE CAVO COASSIALE

Le condizioni al contorno sono indipendenti da θ; si può allora

cercare una soluzione dell’eq. di Laplace che abbia questa proprietà in tutto il piano: Φ=Φ(r)

1 0

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Φ

→ dr

r d dr

d r

il cui integrale generale è Φ=C

*ln (r)+ C

⎩ ⎨

⎧

= +

= +

0 ln

1 ln

2 2

1

2 1

1

C R

C

C R

C

1 1 2

ln 1

R C = − R

1 2 2

2

ln

ln R R C = R

1 2 2

ln ln )

(

R R r R r =

Φ

→

r

r

i

R R i r

dr E

d

1

ln

1 Φ =

−

= Φ

∇

−

=

→

η

η ⁱ

R R E r

k

H

1

ln

1 1

1 × = ±

±

= Imponendo le condizioni al contorno

si ricava

CAVO COASSIALE CAVO COASSIALE

R

=0.125 mm R

=0.415 mm

mm r = 0 . 145

Calcolare l’intensità del campo elettrico per

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

= ⎡

=

→ mm

V mm

V R

R

E

r 5 . 75

125 .

0

415 .

ln 0

145 .

0 1 ln

1

1 2

LINEE DI FORZA DEL CAMPO ELETTRICO

LINEE DI FORZA DEL CAMPO ELETTRICO

LINEE DI FORZA DEL CAMPO MAGNETICO

LINEE DI FORZA DEL CAMPO MAGNETICO

CAVO COASSIALE CAVO COASSIALE

Un insieme completo di modi della struttura è costituito da:

• un modo TEM

• una infinità numerabile di modi TE

• una infinità numerabile di modi TM

Determinare la frequenza di taglio del primo modo superiore consente di conoscere la banda di unimodalità

Nel sist. di rifer. adottato, le condizioni al contorno sono:

( )

( )

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

∂ =

∂

∂ =

∂

0 ,

0 ,

2 1

θ θ r R

H r R H

z

z

( )

( )

⎩ ⎨

⎧

=

= 0 ,

0 ,

2 1

θ θ R E

R E

z

modi TM

modi TE

CAVO COASSIALE CAVO COASSIALE Per un modo TM, Ez è

determinata dall’eq.: 1 1

0

2 2 2 2

2

+ =

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

z c z

z

z

E K E

r r

E r

r E

θ che, nell’ipotesi di lavoro di

separazione delle variabili,

Ez(r,θ)=R(r)Θ(θ), diviene:

2 2 2

2

2 2

1

θ d Rr d

dr K r dR dr

R

r d

Θ

− Θ

= +

+

Poiché i due membri dell’eq. sono funzioni di due diverse variabili indipendenti, ciascuno di essi deve essere uguale ad una costante:

2 2

1

d h

d Θ = −

Θ θ ¹

⁰

2 2 2

2

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

+ R

r K h

dr dR r

dr R d

c

(eq. di Bessel di ordine n)

CAVO COASSIALE CAVO COASSIALE

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

⎩ ⎨

⎧

+

=

+

= Θ

r K Y C

r K J

C r

R

h sen C

h C

c n

c

n

*

*

* cos

*

4 3

2

1

θ θ

Gli integrali generali sono θ

(h numero intero, J

e Y

funzioni di Bessel ordinarie di prima specie e di seconda specie di ordine n)

( ) ( )

( ) ( )

⎩ ⎨

⎧

= +

= +

0

*

*

0

*

*

2 4

2 3

1 4

1 3

R K Y C

R K J

C

R K Y C

R K J

C

c n

c n

c n

c n

Imponendo le condizioni al contorno alla seconda delle due espressioni, si ha il sistema:

da cui, eliminando C

e C

, si ottiene la relazione trascendente in K

:

( )

( ) ( )

(

)

1 1

R K J

R K Y R

K J

R K Y

c n

c n

c n

c

n

=

CAVO COASSIALE CAVO COASSIALE

Grafico delle funzioni di Bessel di prima specie : J0, J1, and J2.

Grafico delle funzioni di Bessel di

seconda specie: Y0, Y1, and Y2

CAVO COASSIALE CAVO COASSIALE

Dalle sue soluzioni, ricordando che ,

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ ≡

ω ^K µε ^c

c

si possono ricavare le frequenze di taglio dei modi TM Imponendo le condizioni al contorno all’espressione

1 0

1

2 2 2 2

2

+ =

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

z c

z z

z

H K H

r r

H r

r H

θ

si perviene ad un’analoga relazione per gli autovalori dei modi TE Si trova che il primo modo superiore è il TE

Æ un cavo

coassiale è unimodale fino alla frequenza di taglio di tale modo