A.A. 2006/2007 – I Esercitazione – 19 aprile 2007 Esercizio 1. Dato il problema di Cauchy

A.A. 2006/2007 – I Esercitazione – 19 aprile 2007 Esercizio 1. Dato il problema di Cauchy

 



y

= x

− y

y

+ 1 y(0) = 0,

dimostrare che:

(a) ammette un’unica soluzione massimale y;

(b) tale soluzione `e definita globalmente;

(c) tale soluzione `e dispari;

(d) tale soluzione `e crescente;

(e) calcolare lim

y(x);

(f) tracciare un grafico approssimativo di y.

Esercizio 2. Dato il sistema

Y

= AY, dove A =



 1 0 0

−1 1 1 0 2 −1



 ,

si chiede di:

(a) scrivere una matrice fondamentale del sistema;

(b) calcolare det e

; (c) trovare la matrice e

. Esercizio 3. Risolvere 





y

= 3x − 2y + 1

−x + 2y + 1 y(0) = 0.

Esercizio 4. Risolvere (

y

− 3y

+ 2y = xe

y(0) = 0, y

(0) = 0.

Esercizio 5. Considerato il problema di Cauchy (P )

 



u

= −u

+ u

+ 1 1 + u

u(0) = 1, u

(0) = 3,

si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

(a) (P ) ha un’unica soluzione locale; V F

(b) u `e definita in tutto R; V F

(c) u `e di classe C

su R; V F

(d) `e concava in un intorno di x = 0. V F

N.B. Giustificare tutte le risposte!

A.A. 2006/2007 – II Esercitazione – 8 giugno 2007

Esercizio 1. Data la successione di problemi di Cauchy (P

)

(

y

= arctan(xy

) + 2n y(0) = 0,

(a) dimostrare che ogni (P

) ammette un’unica soluzione massimale y

definita glo- balmente;

(b) dimostrare che y

`e crescente e dispari;

(c) dimostrare che y

`e convessa in x ∈ R

e concava in R

; (d) calcolare lim

y

(x) e lim

y

(x);

(e) dimostrare che lim

n→∞

Z

−_n¹

y

(x) dx = 0;

(f) tracciare un grafico approssimativo di y

.

Esercizio 2. Risolvere ½

x

y

+ xy

− y = −1, y(1) = 1, y

(1) = 0.

Esercizio 3. Discutere la risolubilit`a del problema

rot U = (−xe

, −2ye

, e

),

ed eventualmente calcolare tutti i potenziali vettori U di classe C

.

Esercizio 4. Dire quali tra le seguenti serie trigonometriche `e la serie di Fourier di una funzione f ∈ L

ed in quali casi certamente f ∈ C

:

X

"µ cos 1

n

¶

− 1

#

cos nx;

X

cos n

√ n ln n cos nx;

X

n!

Γ(n

/ ln n) sin nx.

Esercizio 5. Siano n ∈ N, α ∈ (0, ∞) e sia f

(α) =

Z

Rⁿ

e

|x| dx;

si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

(a) f

`e continua e convessa in (0, ∞); V F

(b) f

`e estendibile per continuit`a in modo pari in tutto R; V F

(c) f

`e di classe C

nel suo dominio; V F

(d) lim

n→∞

f

(α)

nπ

= 0 per ogni α > 0. V F

A.A. 2006/2007 – 18 giugno 2007 Esercizio 1. Si consideri la successione di problemi di Cauchy

(P

)

½ y

= x

− y

, y

(0) = 0;

a) dimostrare che esiste un’unica soluzione locale y

;

b) dimostrare che x = 0 `e un punto di minimo assoluto per y

e che y

`e crescente in R

e decrescente in R

;

c) dimostrare che ogni y

`e definita in [0, ∞);

d) dimostrare che Z

0

n→∞

lim y

(x) dx = lim

n→∞

Z

0

y

(x) dx.

Esercizio 2. Risolvere (

y

= − y 1 − e

sin y , y(0) = 1,

mostrando che se la soluzione `e globale a destra non pu`o essere lim

y(x) = ∞.

Esercizio 3. Trovare una soluzione analitica in un intorno di x = 0 del problema

 



 

x

y

+ xy

+ y = 1 1 − x , y(0) = 1, y

(0) = 1

2 , e calcolare y

(0).

Esercizio 4. Dire quali tra le seguenti serie trigonometriche `e la serie di Fourier di una funzione f ∈ L

ed in quali casi certamente f ∈ C

:

X

(−1)

Γ(n + e) sin 1

n

cos nx;

X

n(e

− 1) sin nx;

X

X

sin k

k n

sin 1

n

cos nx.

Esercizio 5. Posto B = {x ∈ R

: |x| < 1}, u(x, y) = ln(x

+y

) e v(x, y) = x

+y

−1, si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

(a) u ∈ L

(B); V F

(b) ∆u ∈ L

(B); V F

(c) R

B

u∆v dxdy = 0. V F

A.A. 2006/2007 – 2 luglio 2007 Esercizio 1. Considerato il problema di Cauchy

½ y

= x + ln(1 + y

), y(0) = 0,

• si dimostri che esiste un’unica soluzione massimale globale y;

• si dimostri che y(x) `e crescente per x ≥ 0 e decrescente per x ≤ 0;

• si calcolino lim

x→∞

y(x) e lim

x→−∞

y(x);

• si calcoli y

(0).

Esercizio 2. Risolvere il problema

½ y

− 2y

+ y = e

, y(0) = 0, y

(0) = 0.

Esercizio 3. Data la serie trigonometrica X

n=1

ln

µ n

1 + n

¶

cos nx,

se ne studi la convergenza al variare del parametro α ∈ R, determinando la regolarit`a della funzione somma quando questa `e ben definita.

Se α =

tale serie pu`o essere la serie di Fourier della funzione 2π–periodica data da f (x) = ln(1 + x

) se x ∈ [−π, π)?

Esercizio 4. Determinare l’unica funzione f : R → R di classe C

tale che f (0) = 0 e per cui la f.d.l.

ω(x, y) = x ln y dx + f (x) y dy

risulti localmente esatta. Dimostrare poi che, per tale f , ω `e esatta nel suo dominio e si determini un potenziale F tale che F ( √

2, 1) = 1. Dire infine se tale l’equazione F (x, y) = 1 definisce una curva y = y(x) di classe C

in un intorno del punto ( √

2, 1).

Esercizio 5. Sia f : R

→ R convessa. Si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

(a) f ha minimo; V F

(b) f `e illimitata; V F

(c) esiste lim

f (x); V F

(d) se f `e differenziabile in B

= {x ∈ R

: |x| ≤ 1}, x

∈ B

e f (x

) = min

f ,

allora ∇f (x

) = 0

. V F

A.A. 2006/2007 – 16 luglio 2007 Esercizio 1. Considerato il problema di Cauchy

½ y

= (y

− x

) ln(y

+ 2y + 3), y(0) = 0,

• si dimostri che esiste un’unica soluzione locale y;

• si dimostri che y(x) `e decrescente;

• si dimostri che la soluzione `e globale;

• si calcolino lim

x→∞

y(x) e lim

x→−∞

y(x).

Esercizio 2. Tra tutte le soluzioni di : ½

u

(x) + u(x) = 0 R

0

u

(x)dx = π/2.

si determini se ne esistono che minimizzano Z

2

0

u(x)dx.

Esercizio 3. Dire quali tra le seguenti serie trigonometriche `e la serie di Fourier di una funzione f ∈ L

ed in quali casi certamente f ∈ C

:

X

(−1)

n + (−1)

√

n cos nx, X

1 + n!

(n + 1)! sin nx, X

[Γ(n + sin n)]

Γ(n

+ sin n) sin nx.

Esercizio 4. Determinare l’unica funzione f : R → R di classe C

tale che f (0) = 0 e per cui la f.d.l.

ω(x, y) = 2xe

f (y) dx + (e

+ cos y) dy

risulti localmente esatta. Dimostrare poi che, per tale f , ω `e esatta nel suo dominio e si

calcoli Z

γ

ω,

dove γ : [0, 1] → R

`e data da γ(t) = (ln(1 + t

), cos(πt)).

Esercizio 5. Sia f : B

= {x ∈ R

: |x| ≤ 1} → R data da f (x) = ln(1 + |x|). Si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

(a) esiste x

∈ B

tale che f (x

) = min f ; V F

(b) ∇f (x

) = 0

; V F

(c) f `e convessa in B

; V F

(d) ∆f ∈ L

(B

). V F

A.A. 2006/2007 – 5 settembre 2007 Esercizio 1. Dato il problema di Cauchy

(

y

= e

− x

2 , y(0) = 0, si chiede di

• dire se esiste una ed una sola soluzione locale;

• dimostrare che esiste x

< 0 tale che y

(x

) = 0;

• dedurre dal punto precedente che la soluzione `e definita per ogni x < 0;

• dimostrare che lim

x→−∞

y(x) = ∞;

• verificato che z(x) = x

2 + x, x ≥ 0, `e una sottosoluzione, e detto β l’estremo destro dell’intervallo massimale di definizione, si deduca che lim

x→β⁻

y(x) = ∞.

Esercizio 2. Sia F : R

\ {0} → R

definito da F (x) = x

kxk

. Calcolare Z

∂B(x0,1)

F (x) · ν(x) dσ a seconda del fatto che x

= 0 o x

= (1, 2, . . . , n).

Esercizio 3. Dire quali tra le seguenti serie trigonometriche `e la serie di Fourier di una funzione f ∈ L

ed in quali casi certamente f ∈ C

:

X

n!

Γ(n

) sin nx,

X

sin sin √ n + 1 n

+ p

| sin √

n| cos nx,

X

√ n − √ n − 1

sin n

cos nx.

Esercizio 4. Dire se esistono soluzioni, e in tal caso calcolarle, del problema rot U = (x − 2xz + z, 2y − x

, x

+ z

− 3z).

Esercizio 5. Data la forma differenziale ω(x, y, z) = 2x

x

+ y

+ z

dx + 2y

x

+ y

+ z

dy + 2z

x

+ y

+ z

dz, si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

(a) ω `e localmente esatta nel suo dominio; V F

(b) ω `e esatta nel suo dominio; V F

(c) R

γ

ω = πe, dove γ : [0, 1] → R

`e definita da γ(t) = (t, t

, t

+ 1). V F

A.A. 2006/2007 – 21 settembre 2007 Esercizio 1. Dato il problema di Cauchy

 



y

= ln x + 1 1 − y y(1) = 0,

si chiede di

• dire se esiste una ed una sola soluzione locale y;

• dimostrare che esiste x

∈ (0, 1) di minimo assoluto per y e dedurre che y `e definita in (0, 1];

• dimostrare che y(x) `e convessa se x > 1;

• dedurre dal punto precedente che y non pu`o essere definita in (0, ∞);

• detto β l’estremo destro dell’intervallo massimale di definizione, si calcoli lim

x→β⁻

y(x);

• dimostrare che risulta lim

x→0⁺

y(x) ≥ 0.

Esercizio 2. Trovare l’unica funzione continua f con f (

) = 1 tale che Z

π 4

f (t) sin(x + t) dt = cos x.

Esercizio 3. Dire quali tra le seguenti serie trigonometriche `e la serie di Fourier di una funzione f ∈ L

ed in quali casi certamente f ∈ C

:

X

Γ(| sin n| + 1) n!(sin Γ( √

n) + 2) sin nx, X

ln(n! − ln n)

n! − cos

n cos nx, X

ln(cos n

)

sin n

cos nx.

Esercizio 4. Siano f, g : R → R

funzioni convesse. Si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

(a) f + √

g `e convessa; V F

(b) √ f + √

g `e convessa; V F

(c) f + g

`e convessa; V F

(d) f ◦ g `e convessa; V F

(e) f

ha minimo in R. V F

N.B. Giustificare tutte le risposte!

A.A. 2006/2007 – 7 dicembre 2007 Esercizio 1. Data la successione di problemi di Cauchy

½ y

= 1 + sin

(xy

) y

(0) = 0,

si chiede di

• dimostrare che esiste una ed una sola soluzione globale y

;

• studiare la monotonia di y

;

• studiare eventuali simmetrie di y

;

• calcolare, se esistono, lim

x→∞

y

(x) e lim

x→−∞

y

(x);

• dimostrare che y

(x) ∈ [−1, 1] se x ∈ [−1/2, 1/2];

• calcolare lim

n→∞

y

(x) per x ∈ [−1/2, 1/2].

Esercizio 2. Trovare le uniche funzioni f e g di classe C

(R) con f (0) = 0 e g(0) = 1 tali che la f.d.l.

ω(x, y) = (2x + yg(x))dx + f (x)dy sia esatta in R

e Z

γs

ω = s

+ s sin s ∀ s > 0, dove γ

: [0, s] → R

`e la curva definita da γ(t) = (t, t).

Esercizio 3. Dire quali tra le seguenti serie trigonometriche `e la serie di Fourier di una funzione f ∈ L

ed in quali casi certamente f ∈ C

:

X

sin(2

)

Γ(2

) sin nx, X

√

ln n + 1

ln n cos nx, X

s 1 n

+

r ln n

n

+ 1 sin nx.

Esercizio 4. Sia f : R → (0, ∞) una funzione tale che y(x) := ln f (x) sia convessa. Si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

(a) f ha minimo in R; V F

(b) f `e illimitata; V F

(c) f `e convessa; V F

(d) se f `e limitata inferiormente, anche y lo `e. V F

N.B. Giustificare tutte le risposte!

A.A. 2006/2007 – 24 gennaio 2008 Esercizio 1. Dato il problema di Cauchy

½ y

= e

− 1 − x

y(0) = 0,

si chiede di

• dimostrare che esiste una ed una sola soluzione globale y;

• studiare la monotonia di y;

• studiare eventuali simmetrie di y;

• calcolare, se esistono, lim

x→∞

y(x) e lim

x→−∞

y(x);

• dimostrare che, posto z(x) = −x

/3 − x, la funzione w = y − z `e crescente.

Esercizio 2. Trovare le uniche funzioni f e g di classe C

(R) con f (0) = 1 e g(0) = 0 tali che la f.d.l.

ω(x, y, z) = (2x + zf (x))dx + 2ydy + g(x)dz sia esatta in R

e Z

γs

ω = 2s

+ s sin s ∀ s > 0, dove γ

: [0, s] → R

`e la curva definita da γ(t) = (t, t, t).

Esercizio 3. Dire quali tra le seguenti serie trigonometriche `e la serie di Fourier di una funzione f ∈ L

ed in quali casi certamente f ∈ C

:

X

n!

Γ(2

) sin nx, X

Γ(2

)

n

cos nx, X

3

r 2 − cos n

n

sin nx.

Esercizio 4. Sia f : ¯ B = {x ∈ R

: |x| ≤ 1} → R una funzione continua, dove B = {x ∈ R

: |x| < 1} e sia u ∈ C

(B) ∩ C

( ¯ B) soluzione di

½ −∆u = f (x) in B,

u = 0 su ∂B.

Si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

(a) se f (x) = 0, allora u(x) = 0; V F

(b) R

B

f (x)u(x) dx < 0; V F

(c) se f (x) > 0, allora R

∂B

∂u(x)/∂ν dσ < 0; V F

(d) esiste x

∈ B tale che ∇u(x

) = 0

. V F

A.A. 2006/2007 – 18 febbraio 2008 Esercizio 1. Dato il problema di Cauchy

½ y

= e

− p y

+ 1 y(0) = 0,

si chiede di

• dimostrare che esiste una ed una sola soluzione globale y;

• studiare la monotonia di y;

• dedurre l’esistenza di un unico estremante assoluto;

• calcolare, se esistono, lim

x→∞

y(x) e lim

x→−∞

y(x);

• mostrare che z(x) = e

− 1 `e una soprasoluzione.

Esercizio 2. Trovare l’unica funzione f ∈ C

(R) con f (1) = 1 tale che la f.d.l.

ω(x, y) = r y

x dx + Ã

sin y + s

f (x) y

! dy

sia esatta e si calcoli Z

γ

ω,

dove γ : [0, π] → R

`e la curva definita da γ(t) = (1 + sin

t, 2 + ln(2 + cos

t)).

Esercizio 3. Dire quali tra le seguenti serie trigonometriche `e la serie di Fourier di una funzione f ∈ L

ed in quali casi certamente f ∈ C

:

X

Γ(sin e

)

√ n − √

n − 1 sin nx, X

X

cos k k

cos nx n ln

n ,

X

ln n

n

sin nx.

Esercizio 4. Sia f : ¯ B = {x ∈ R

: |x| ≤ 1} → R una funzione continua, dove B = {x ∈ R

: |x| < 1} e sia u ∈ C

(B) ∩ C

( ¯ B) soluzione di

½ −∆u = f (x) in B,

u = 0 su ∂B.

Si chiede di stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

(a) se f (x) > 0, allora R

B

u|∇u|

dx > 0; V F

(b) se f < 0 in B, allora u `e concava; V F

(c) se R

B

f (x) dx = 0, allora R

∂B

∂u(x)/∂ν dσ < 0; V F

(d) esistono almeno 2 punti, x

, x

∈ B tali che ∇u(x

) = 0

, i = 1, 2. V F