12. ESERCIZI su SERIE NUMERICHE e di POTENZE Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa. 1. Sia

(1)

12. ESERCIZI su SERIE NUMERICHE e di POTENZE Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.

1. Sia

+1

X

n=1

an2ⁿ

serie a termini positivi convergente. Allora

A. la serie

+1

X

n=1

(an)²

`e convergente.

B. la serie

+1X

n=1

pan

`e divergente.

C. la serie di potenze

+1X

n=1

anxⁿ

ha raggio di convergenza ⇢ > 1.

Determinare il carattere delle seguenti serie numeriche al variare dell’eventuale parametro

2.

+1

X

n=1

cosh

₂¹n

1 p 3

ⁿ

+ 4

ⁿ

2

ⁿ

3.

+1

X

n=0

e

²ⁿ¹

cos

^p¹_n

sin

_n¹2

log(1 +

_n¹

)

4.

+1

X

n=0

n

³ⁿ

n! 2

ⁿ²

5.

+1

X

n=1

n! k

ⁿ

(2n)

ⁿ

, k 2 N

^(o)

6.

+1

X

n=1

2

ⁿ

+ n!

(↵n)

ⁿ

e

ⁿ

, ↵ > 0

7.

+1

X

n=1

( 1)

ⁿ

log n + 2n

²

n

³

Determinare l’insieme di convergenza delle seguenti serie di potenze 8.

+1

X

n=1

3

ⁿ

tan

p¹

n

x

ⁿ

9.

+1

X

n=1

nx

ⁿ

2

ⁿ

log(n + 1)

(o)stabilire esattamente per quali k2 N la serie converge

(2)

RISOLUZIONE 1. A `e vera. Dato che la serie

+1

X

n=1

an2ⁿ

`e convergente, dalla condizione necessaria alla convergenza abbiamo che lim

n!+1

a

_n

2

ⁿ

= 0 da cui lim

n!+1

a

_n

= 0 (perch´e?). Pertanto

n!+1

lim (a

_n

)

²

a

_n

2

ⁿ

= lim

n!+1

a

_n

2

ⁿ

= 0 e poich´e

+1

X

n=1

an2ⁿ

`e convergente, dal criterio del confronto asintotico otteniamo che anche

+1

X

n=1

(an)²

`e convergente.

B `e invece falsa: scelta a

_n

=

₄¹n

, abbiamo che la serie

+1

X

n=1

an2ⁿ=

+1

X

n=1

1 2ⁿ =

+1

X

n=1

pan

`e convergente.

C `e vera. Dato che

+1

X

n=1

an2ⁿ

`e convergente abbiamo che la serie di potenze

+1

X

n=1

anxⁿ

converge per x = 2. Dunque

2 2 A = {|r| |

+1

X

n=1

anxⁿ

converge per x = r }

e dalla definizione di raggio di convergenza otteniamo allora che ⇢ = sup A 2 > 1.

2. La serie

+1X

n=1

cosh

₂¹n

1 p 3

ⁿ

+ 4

ⁿ

2

ⁿ

converge, infatti per n ! +1 risulta

cosh

₂¹n

1 ⇠

¹₂^Ä₂¹ⁿ^ä²

=

¹₂₄¹n

mentre

p 3

ⁿ

+ 4

ⁿ

2

ⁿ

= 2

ⁿ^Åq³₄ⁿn

1 1

ã

= 2

ⁿ^ÅqÄ³₄^äⁿ

1 1

ã

⇠ 2

ⁿ

·

¹₂^Ä³₄^äⁿ

=

¹₂^Ä³₂^äⁿ

e dunque

cosh

₂¹n

1 p 3

ⁿ

+ 4

ⁿ

2

ⁿ

⇠

1 2 1

4ⁿ 1 2

Ä3 2

ä_n

=

₄¹n

·

^Ä²₃^äⁿ

=

₆¹n

Dato che

^P⁺¹_n=1₆¹n

converge, dal criterio del confronto asintotico possiamo concludere che anche la serie data converge.

3. La serie

+1X

n=1

e

²ⁿ¹

cos

p¹ n

sin

_n¹₂

log(1 +

_n¹

) diverge. Infatti per n ! +1 abbiamo che sin

_n¹2

log(1 +

_n¹

) ⇠

_n¹21

n

=

_n¹3

mentre

e

²ⁿ¹

cos

p¹

n

= 1

_2n¹

+

¹₂^Ä_2n¹ ^ä²

+ o(

^Ä_2n¹ ^ä²

)

Å

1

¹₂^⇣p¹ n

⌘2

+

_4!¹ ^⇣p¹ n

⌘4

+ o(

^⇣p¹ n

⌘4

)

ã

=

¹₂_4n¹2 1 4! 1

n²

+ o(

_n¹4

) =

₁₂¹ _n¹4

+ o(

_n¹4

) ⇠

₁₂¹ _n¹⁴

(3)

Ne segue che

e

²ⁿ¹

cos

p¹ n

sin

_n¹2

log(1 +

_n¹

) ⇠

1 12 1

n⁴ 1 n³

=

₁₂¹ _n¹

e poich´e la serie

+1X

n=1 1

n

diverge, anche la serie data diverge.

4. Per studiare il comportamento della serie

+1

X

n=0

n

³ⁿ

n! 2

ⁿ²

applichiamo il criterio del rapporto. Posto a

_n

=

ⁿ³ⁿ

n! 2ⁿ²

per n ! +1 abbiamo a

_n+1

a

n

= (n + 1)

³⁽ⁿ⁺¹⁾

(n + 1)! 2

⁽ⁿ⁺¹⁾²

· n! 2

ⁿ²

n

³ⁿ

= (n + 1)

³ⁿ

(n + 1)

³

(n + 1)n! 2

ⁿ²⁺²ⁿ⁺¹

· n! 2

ⁿ²

n

³ⁿ

=

^Ä

1 +

_n¹^ä³ⁿ

(n + 1)

²

2 · 4

ⁿ

! 0 dato che (1 +

¹_n

)

³ⁿ

! e

³

mentre

⁽ⁿ⁺¹⁾₂_·4n²

! 0 per la gerarchia degli infiniti. Poich´e ` = 0 < 1, possiamo concludere che la serie data converge.

5. Applichiamo nuovamente il criterio del rapporto per studiare il comportamento della serie

+1

X

n=1

n! k

ⁿ

(2n)

ⁿ

al variare di k 2 N. Posto a

n

=

_(2n)^{n! k}ⁿn

per n ! +1 si ha a

_n+1

a

_n

= (n + 1)!k

ⁿ⁺¹

(2(n + 1))

ⁿ⁺¹

· (2n)

ⁿ

n! k

ⁿ

= k n + 1 2(n + 1)

n

ⁿ

(n + 1)

ⁿ

=

^k₂

1 (1 +

_n¹

)

ⁿ

!

_2e^k

Dal criterio del rapporto otteniamo allora che la serie converge se

_2e^k

< 1, cio`e se k < 2e, diverge se

_2e^k

> 1, ovvero se k > 2e (si noti che k 6= 2e per ogni k 2 N dato che e `e numero irrazionale).

Osserviamo infine che per k 2 N risulta k < 2e se e solo se k = 1; 2; 3; 4 dato che la parte intera di 2e `e 5.

6. Per stabilire il comportamento della serie

+X1 n=0

2

ⁿ

+ n!

(↵n)

ⁿ

e

ⁿ

osserviamo che per la gerarchia degli infiniti per n ! +1 si ha 2

ⁿ

= o(n!) e dunque 2

ⁿ

+ n! = n! + o(n!) ⇠ n!. Sempre dalla gerarchia degli infiniti per n ! +1 abbiamo che

(↵n)

ⁿ

e

ⁿ

= ↵

ⁿ

n

ⁿ

e

ⁿ

= ↵

ⁿ

(n

ⁿ

(

_↵^e

)

ⁿ

) = ↵

ⁿ

(n

ⁿ

+ o(n

ⁿ

)) ⇠ ↵

ⁿ

n

ⁿ

per ogni ↵ > 0. Ne segue allora che

2

ⁿ

+ n!

(↵n)

ⁿ

e

ⁿ

⇠ 2

ⁿ

↵

ⁿ

n

ⁿ

= (

²_↵

)

^{n 1}_nn

e dal criterio del confronto asintotico la serie data ha lo stesso comportamento della serie

+1X

n=0

(

_↵²

)

^{n 1}_nn

. Per studiare il comportamento di quest’ultima serie possiamo applicare il criterio della radice. Per n ! +1 abbiamo

»n

(

_↵²

)

^{n 1}_nn

=

_↵²¹_n

! 0

(4)

per ogni ↵ > 0. Dato che 0 < 1, dal criterio della radice la serie

+1X

n=0

(

²_↵

)

^{n 1}_nn

converge per ogni

↵ > 0 e dunque anche la serie data risulta convergente per ogni ↵ > 0.

7. La serie

+1X

n=1

( 1)

ⁿ

log n + 2n

²

n

³

`e una serie a termini di segno alterno. Osserviamo che tale se- rie non converge assolutamente, essendo

^{log n+2n}_n3 ²

⇠

_n²

(dato che perla gerarchia degli infiniti log n + 2n

²

= 2n

²

+ o(n

²

) ⇠ 2n

²

per n ! +1) e la serie

+X1 n=1 1

n

divergente. Applichiamo il criterio di Leibniz.

Abbiamo che la successione a

_n

=

^{log n+2n}_n₃ ²

`e successione infinitesima per n ! +1 poich´e

log n+2n²

n³

⇠

_n²

. Risulta inoltre decrescente per n 1, infatti la funzione f (x) =

^{log x+2x}_x3 ²

risulta decrescente in [1, + 1) per il criterio di monotonia essendo

f

⁰

(x) = 1 2x

²

3 log x x

⁴

e 1 2x

²

3 log x  1 2 3 log x  1 per ogni x 1. Dal criterio di Lebniz possiamo allora concludere che la serie data converge.

8. La serie

+1

X

n=1

3

ⁿ

tan

^p¹_n

x

ⁿ

ha insieme di convergenza I = [

¹₃

,

¹₃

). Infatti, dal metodo del rapporto, posto a

n

= 3

ⁿ

tan

^p¹_n

, osservato che tan

^p¹_n

⇠

^p¹_n

per n ! +1, otteniamo

n!+1

lim a

n+1

a

_n

= lim

n!+1

3

ⁿ⁺¹

tan

p¹ n+1

3

ⁿ

tan

p¹ n

= lim

n!+1

3 p n p n + 1 = 3

Ne concludiamo che il raggio di convergenza `e ⇢ =

¹₃

e dunque che la serie converge per |x| <

¹₃

e non converge per |x| >

¹₃

. Abbiamo poi che per x =

¹₃

la serie diventa

+1

X

n=1

tanp¹n

e poich´e tan

p¹

n

⇠

^p¹_n

per n ! +1, dato che la serie

+1

X

n=1 p1

n

diverge, dal criterio del confronto asintotico anche la serie

+1

X

n=1

tan^p¹_n

diverge.

Per x =

¹₃

abbiamo la serie

+1

X

n=1

( 1)ⁿtan^p¹_n

che converge per il criterio di Leibniz poich´e la successione tan

^p¹_n

`e infinitesima e decrescente.

9. La serie

+1X

n=1

nx

ⁿ

2

ⁿ

log(n + 1) ha insieme di convergenza I = ( 2, 2). Infatti, utilizzando il metodo del rapporto, posto a

_n

=

₂nlog(n+1)ⁿ

otteniamo che

n!+1

lim a

_n+1

a

_n

= lim

n!+1

n + 1 2

ⁿ⁺¹

log(n + 2)

2

ⁿ

log(n + 1)

n lim

n!+1

1 2

n + 1 n

log(n + 1) log(n + 2) = 1

2

(5)

dato che log(n + 1) ⇠ log n ⇠ log(n + 2) per n ! +1. Ne concludiamo che il raggio di convergenza `e ⇢ = 2 e dunque che la serie converge per |x| < 2 e non converge per |x| > 2.

Per x = 2 abbiamo la serie

+1

X

n=1

n

log(n + 1) che non converge dato che

_log(n+1)ⁿ

! +1 per n ! +1 e quindi la condizione necessaria alla convergenza della serie non `e verificata.

Per x = 2 abbiamo la serie

+1X

n=1

( 1)

ⁿ

n

log(n + 1) che ancora non converge poich´e, essendo

_log(n+1)ⁿ

!

+ 1 per n ! +1, la successione

_log(n+1)^{( 1)}ⁿⁿ