16. ESERCIZI su SERIE NUMERICHE Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa. 1. Sia (a

16. ESERCIZI su SERIE NUMERICHE Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.

1. Sia (a n ) _n2N successione infinitesima. Allora A. la serie

+ 1

X

n=1

a n

n `e divergente.

B. la serie

+ 1

X

n=1

a n

n ² `e convergente.

C. la serie

+ 1

X

n=1

(a n ) ² `e convergente.

2. Sia

+1 X

n=1

a n una serie a termini positivi divergente. Allora

A. la serie

+ 1

X

n=1

a n

p n `e convergente.

B. la serie

+ 1

X

n=1

p a n `e divergente.

C. la serie

+ 1

X

n=1

( 1) ⁿ a n `e divergente.

3. Sia

+ 1

X

n=0

a n una serie a termini positivi convergente, si ha che A. la successione (a _n ) _{n 2N} `e convergente

B. se esiste, lim

n !+1

p

n

a _n < 1

C. la serie X +1 n=0

(a _n ) ² `e convergente

Determinare il carattere delle seguenti serie numeriche

4.

+1 X

n=0

p

3

cos n n ² + 3n + 1

5.

+ 1

X

n=0

log ⇣

n

²

3 n

²

+2

⌘

6.

+ 1

X

n=1

1 cos _n ¹ p

3

n ³ + 2n n

7.

X +1 n=1

e

²ⁿ¹

q

1 + ₂

n 1

¹

sinh( ₃ ¹

n

)

8.

+ 1

X

n=1

n ⁿ (3n)!

9.

+ 1

X

n=0

3 ⁿ

²

2 ^n!

115

10.

+ 1

X

n=0

n ²ⁿ 3 ⁿ

²

11.

+ 1

X

n=0

1 _n ¹

₂

ⁿ

³

12.

+ 1

X

n=1

n sinh ³ _n!

ⁿ

sin _n ¹ log(1 ₃ ¹

n

)

13.

+ 1

X

n=0

( 1) ⁿ 2n ² 1 n ³

Determinare il carattere delle seguenti serie numeriche al variare del parametro ↵ 2 R

14.

+ 1

X

n=1

1 n ^↵ ⇣q

1 _2n ¹

2

cos _n ¹ ⌘

15.

+1 X

n=1

n ^↵ n sin( _n ¹

2

) log(1 + _n ¹ )

16.

+ 1

X

n=0

p 1 + ↵ ⁿ + 3 ⁿ

4 ⁿ con ↵ > 0

17.

+ 1

X

n=1

p n ² + 1 n e ^↵n + n

18.

+ 1

X

n=0

(3n)!

((n + 1)!) ^↵

19.

+ 1

X

n=1

n ⁿ n! n ^↵

20.

+ 1

X

n=1

2 ⁿ

²

n ^↵n sinh n

21.

+ 1

X

n=1

arctan _(n+1)! ⁿ

^↵

sinh _(2n)! ⁿ

ⁿ

116