1. Problema di Cauchy. P ROBLEMA . 1.1 (Problema di Cauchy ). Si determini la funzione y tale che

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE ^∗

A. SOMMARIVA

Conoscenze richieste. Formula di Taylor. Risoluzione di equazioni nonlineari. Calcolo differenziale. Cono- scenza di Matlab/Octave.

Conoscenze ottenute. Discretizzazione con Eulero esplicito ed Eulero implicito. Stabilit`a assoluta dei due metodi.

1. Problema di Cauchy. P ROBLEMA . 1.1 (Problema di Cauchy ). Si determini la funzione y tale che

 y ⁰ (x) = f (x, y(x)), x ≥ x ₀

y(x ₀ ) = y ₀ (1.1)

dove f `e a valori in R ⁿ e definita in un sottoinsieme Ω di R × R ⁿ , con (x 0 , y 0 ) ∈ Ω.

N OTA . 1.1. Di seguito supporremo che tale problema abbia una sola soluzione.

E SEMPIO 1.1 (Equazione differenziale ordinaria).

 y ⁰ (x) = y(x), x ≥ 0

y(0) = 1 (1.2)

la cui soluzione `e exp (x), `e un problema di Cauchy con f (x, y(x)) = y(x).

E SEMPIO 1.2 (Sistema di equazioni differenziali ordinarie).







y ₁ ⁰ (x) = −y 2 (x), x ≥ 0 y ₂ ⁰ (x) = y 1 (x), x ≥ 0 y 1 (0) = 1, y 2 (0) = 0

(1.3)

la cui soluzione `e y(x) = (y 1 (x), y <sub>2</sub> (x)) = (cos (x), sin (x)), `e un problema di Cauchy con y = (y ₁ , y ₂ ), x ₀ = 0, y(x ₀ ) = (1, 0) e

f (x, y(x)) = f (x, y ₁ (x), y ₂ (x)) = (−y ₂ (x), y ₁ (x)).

T EOREMA 1.1 (Teorema di Picard-Lindel¨of). Sia D = [t 0 − ε, t ₀ + ε] × R. Dato il problema ai valori iniziali

 y ⁰ (t) = f (t, y(t)), t ∈ [t 0 − ε, t 0 + ε]

y(t 0 ) = y 0

se f : D → R `e una funzione lipschitziana in y cio`e

|f (t, y ₁ ) − f (t, y ₂ )| ≤ Kky ₁ − y ₂ k, (t, y ₁ ), (t, y ₂ ) ∈ D

ed `e continua in t allora per qualche ε > 0, allora esiste un’unica soluzione y al problema ai valori iniziali sull’intervallo [t ₀ − ε, t ₀ + ε].

T EOREMA 1.2 (Cauchy in piccolo, [2, p.7]). Si supponga che

∗

Ultima revisione: 22 maggio 2017

†

Dipartimento di Matematica, Universit´a degli Studi di Padova, stanza 419, via Trieste 63, 35121 Padova, Italia (alvise@euler.math.unipd.it). Telefono: +39-049-8271350.

1

• D sia un aperto connesso di R × R ⁿ ;

• f : D → R sia una funzione continua in D;

• (t 0 , y 0 ) un punto interno a D;

• la funzione f verifichi la condizione di Lipschitz

kf (t, y 1 ) − f (t, y 2 )k ≤ Kky 1 − y 2 k, (t, y 1 ), (t, y 2 ) ∈ D.

per qualche K ≥ 0.

Allora esiste un unica funzione y definita su un intervallo [t ₀ − α, t 0 + α], per qualche α > 0 tale che

 y ⁰ (t) = f (t, y(t)), t ∈ [t ₀ − α, t ₀ + α]

y(t 0 ) = y 0 (1.4)

T EOREMA 1.3 (Cauchy in grande, [4 , p.331]). Sia f : [a, b] × R ⁿ → R tale che

• f (t, y), t ∈ [a, b], y ∈ R ⁿ continua nella prima variabile,

• soddisfi rispetto alla seconda variabile la condizione di Lipschitz

kf (t, y 1 ) − f (t, y 2 )k ≤ Kky 1 − y 2 k, t ∈ [a, b], y 1 , y 2 ∈ R

. per qualche norma vettoriale k · k e K ≥ 0.

Allora il problema di Cauchy

 y ⁰ (t) = f (t, y(t)), t ∈ [a, b]

y(a) = y 0 (1.5)

ha una e una sola soluzione y in [a, b], per un arbitrario y 0 ∈ R ⁿ . N OTA . 1.2.

• Nel teorema di Cauchy in piccolo si fornisce un teorema di esistenza e unicit`a locale.

• Nel teorema di Cauchy in grande si fornisce un teorema di esistenza e unicit`a globale.

N OTA . 1.3 (Soluzioni multiple). Esistono casi in cui il problema di Cauchy ha soluzioni multiple. Ad esempio, il problema

 y ⁰ (x) = 2py(x), x > 0

y(x 0 ) = 0 (1.6)

ha per soluzioni, per α ∈ R ⁺

y(x) =

 y(x) = (x − α) ² , x ≥ α

y(x) = 0, altrimenti. (1.7)

2

2. Metodo di Eulero esplicito. Indichiamo con I(x, x) il pi`u piccolo intervallo aperto contenente x e x (cio`e (x, x) oppure (x, x)). Assumendo che la soluzione sia sufficientemente regolare, abbiamo dalla formula di Taylor per x ≈ x, ξ ∈ I(x, x) e (1.1)

y(x) = y(x) + y ⁰ (x)(x − x) + y ⁰⁰ (ξ)(x − x) ² 2

≈ y(x) + y ⁰ (x)(x − x) = y(x) + f (x, y(x))(x − x) (2.1) cio`e

y(x) ≈ y(x) + f (x, y(x))(x − x)

Di conseguenza se si desidera calcolare la soluzione nei punti x k+1 = x ₀ + kh = x _k + h con k > 0, ponendo x = x k+1 , x = x k

y(x _k+1 ) ≈ y(x _k ) + h · f (x _k , y(x _k )). (2.2) M ETODO 2.1 (Eulero esplicito, 1768-1770). Tale metodo consiste nell’approssimare y(x _k+1 ) con u _k+1 dove

u

= u

+ h · f (x

, u

), u

= y(x

), (2.3) ove h = x

− x

.

T EOREMA 2.1 (Errore Eulero esplicito). Se l’unica soluzione y del problema di Cauchy in [a, b] `e sufficientemente regolare in [x k , x k+1 ] ⊆ [a, b] e u

= y(x

) allora

y(x

) − u

= y

(ξ)(x

− x

)

2 (2.4)

per qualche ξ ∈ (x _k , x _k+1 ).

D IMOSTRAZIONE . 2.1. Essendo

y(x k+1 ) = y(x k ) + y ⁰ (x k )(x − x k ) + y ⁰⁰ (ξ)(x k+1 − x k ) ² 2

da u

= y(x

) otteniamo

u k+1 = u k + h · f (x k , u k ) = u k + h · f (x k , y(x k ))

= y(x _k ) + y ⁰ (x _k )(x _k+1 − x k ), e quindi si ha per qualche ξ in (x _k , x _k+1 )

y(x k+1 ) − u k+1 = y(x k ) + y ⁰ (x k )(x k+1 − x k ) + y ⁰⁰ (ξ)(x k+1 − x k ) ² 2

− (y(x _k ) + y ⁰ (x _k )(x _k+1 − x _k ))

= y ⁰⁰ (ξ)(x _k+1 − x _k ) ²

2 .

3

3. Metodo di Eulero implicito. Similmente al caso di Eulero esplicito, da y(x) ≈ y(x) + f (x, y(x))(x − x)

se poniamo x = x k , x = x k+1 abbiamo

y(x k ) ≈ y(x k+1 ) + f (x k+1 , y(x k+1 ))(x k − x k+1 ), (3.1) e quindi

y(x k+1 ) ≈ y(x k ) + h · f (x k+1 , y(x k+1 )). (3.2) M ETODO 3.1 (Metodo di Eulero implicito ). Tale metodo consiste nell’approssimare y(x k+1 ) con u k+1 definito da

u

= u

+ h · f (x

, u

), u

= y(x

) (3.3)

N OTA . 3.1 (Risoluzione equazioni nonlineari). Evidentemente ad ogni iterazione si richiede di risolvere un’equazione nonlineare nella variabile z del tipo

z = u

+ h · f (x

, z) la cui soluzione pu`o essere calcolata utilizzando ad esempio

• col metodo di Newton o

• del punto fisso o

• delle secanti.

N OTA . 3.2 (Metodi di Eulero e sistemi di equazioni differenziali). Il problema di Cauchy `e definito da

 y ⁰ (x) = f (x, y(x)), x ≥ x ₀

y(x ₀ ) = y ₀ (3.4)

dove f `e a valori in R ⁿ e definita in un sottoinsieme Ω di R × R ⁿ , con (x 0 , y 0 ) ∈ Ω.

Nei casi multivariati con n > 1, indipendentemente dalla derivazione dovuta alla espan- sione di Taylor, i metodi

• Eulero esplicito: u k+1 = u k + h · f (x k , u k ), u 0 = y(x 0 )

• Eulero implicito: u k+1 = u k + h · f (x k+1 , u k+1 ), u 0 = y(x 0 ), possono essere utilizzati, in quanto la sequenza `e ben definita.

4. Linear Multistep Methods. D EFINIZIONE 4.1 (Linear Multistep Methods ). Sono i metodi che approssimano y(x k ) con u k , dove x k = x 0 + kh e

u n+1 =

p

X

j=0

a j u n−j + h

p

X

j=−1

b j f (x n−j , u n−j )

N OTA . 4.1. Si osservi che

• Sono metodi per cui se voglio calcolare u n+1 necessitano u n−p , . . . , u n (si chiama- no metodi a p + 1 passi). Siccome inizialmente si dispone solo di u 0 , per calcolare u 1 , . . . , u p , necessari ad innescare il metodo, si utilizzano di solito altre strategie (come ad esempio applicare pi`u volte metodi a un passo, cio`e in cui p = 0, come ad esempio Eulero implicito).

• Se b −1 = 0 allora il metodo `e esplicito, altrimenti `e implicito.

4

5. Analisi convergenza. N OTA . 5.1. Osserviamo che il metodo di Eulero esplicito

u k+1 = u k + h · f (x k , u k ) e Eulero implicito

u k+1 = u k + h · f (x k+1 , u k+1 ) hanno la forma

u n+1 =

p

X

j=0

a j u n−j + h

p

X

j=−1

b j f (x n−j , u n−j )

ponendo rispettivamente

• Eulero esplicito: p = 0, a 0 = 1, b −1 = 0, b 0 = 1,

• Eulero implicito: p = 0, a 0 = 1, b ₋₁ = 1, b ₀ = 0.

D EFINIZIONE 5.1 (Convergenza ). Supponiamo di analizzare il problema di Cauchy nell’intervallo compatto I = [x

, xfin] . Siano x s = x 0 + sh, con N h N = x f in − x 0 ,

• y ^(h

⁾ = {y(x k )} la soluzione esatta di un fissato problema di Cauchy,

• u ^(h

⁾ = {u k } dove u k `e l’approssimazione di y(x k ) fornita nei punti x k da un metodo numerico a p + 1 passi.

Un metodo Linear Multistep a p + 1 passi si dice convergente se qualora i passi iniziali u ^(h ₀

⁾ , . . . , u ^(h p

⁾ sono tali che

η(h N ) = max

0≤k≤p |y _k ^(h

⁾ − u ^(h _k

⁾ | → 0 per h N → 0 si ha che

ky ^(h

⁾ − u ^(h

⁾ k _∞ → 0 per h N → 0.

Se qualora η(h N ) ≤ C 1 h ^q implica ky ^(h

⁾ − u ^(h

⁾ k ∞ ≤ C 2 h ^q , con C 1 , C 2 indipendenti da h, allora il metodo si dice convergente con ordine q.

D EFINIZIONE 5.2 (Errori di troncamento, [2], p.112). Se un metodo per la soluzione di problemi di Cauchy ha la forma

u _n+1 =

p

X

j=0

a _j u _n−j + h

p

X

j=−1

b _j f (x _n−j , u _n−j )

ove u n ≈ y(t n ), y soluzione di (1.1) in t n = x 0 + nh, e sia

τ

(h) = 1 h ·



y(x

) − (

p

X

j=0

a

y(x

) + h

p

X

j=−1

b

f (x

, y(x

)))



 .

5

• La quantit`a τ

(h) chiama errore locale di troncamento del metodo.

• La quantit`a τ (h) = max

|τ

(h)| si chiama errore globale di troncamento del metodo.

• Un metodo per cui τ (h) tende a 0, quando h → 0 si dice consistente.

N OTA . 5.2. La consistenza rende conto di come la soluzione y del problema di Cauchy verifichi lo schema discreto del metodo linear multistep.

N OTA . 5.3. In queste note ci interesseremo esclusivamente della convergenza e con- sistenza di metodi linear multistep, ma esistono definizioni che permettono l’analisi di altri metodi non rientranti in questa famiglia.

N OTA . 5.4. Un teorema dovuto a Lax/Dahlquist, mostra che un metodo `e convergente se e solo se consistente e stabile. Un metodo Linear Multistep a p + 1 passi si dice (zero-)stabile per un certo problema di Cauchy nel compatto [x 0 , x f in ] se per ogni  > 0 esiste h tale che se h N ≤ h e

max

k=0,...,p−1 |u ^(h _k

⁾ − y(x 0 + kh N )| ≤  allora

ku ^(h _k

⁾ − y(x ₀ + kh _N )k _∞ ≤ K

con K indipendente da h.

Di seguito intendiamo mostrare, sotto opportune ipotesi, la convergenza del metodo di Eulero esplicito.

Consideriamo il metodo di Eulero esplicito, con x n = x 0 + nh per un prefissato passo h = (x f in − x 0 )/N . Sia y soluzione del problema di Cauchy, e

u

= y(x

) + h · f (x

, y(x

)),

u

= u

+ h · f (x

, u

).

Osserviamo che

• la prima sequenza u ^(h) = {u _n }, ha il generico u n ottenuto applicando il metodo di Eulero esplicito partendo dal valore assunto dalla soluzione y in ogni x n−1 ,

• la seconda sequenza u ^(h) = {u _n }, ha il generico u _n ottenuto applicando il metodo di Eulero esplicito partendo dal valore assunto u _n−1 , che a priori non coincide con y(x n−1 ).

Da

e

= y(x

) − u

= (y(x

) − u

) + (u

− u

) (5.1) per la disuguaglianza triangolare

|e n | ≤ |y(x n ) − u n | + |u n − u n |.

Analizziamo il primo termine |y(x

) − u

|. Se la derivata seconda di y esiste ed `e continua allora abbiamo per il teorema di Weierstrass

max

x∈[x

,x

] |y ⁰⁰ (x)| ≤ M

6

e quindi per ξ n ∈ (x n−1 , x n ),

|y(x n ) − u n | = (h ² /2) · |y ⁰⁰ (ξ n )| ≤ M h ² /2.

Di conseguenza,

h|τ

(h)| = max

n=0,...,N

|y(x

) − u

| ≤ M h

/2.

6. Analisi convergenza Eulero esplicito, caso Lipschitziano. Sketch della dimostra- zione (supposto y suff. regolare e f continua e L-lipschitziana):

1. |e n | ≤ (1 + (1 + hL) + . . . + (1 + hL) ⁿ⁻¹ )h|τ (h)| + (1 + hL) ⁿ |e 0 |;

2. 1+(1+hL)+. . .+(1+hL) ⁿ⁻¹ ≤ ^exp(L(x _hL

^−x

⁾⁾ , (1+hL) ⁿ ≤ exp(L(x f in − x 0 ));

3. conclusione perch`e secondo membro infinitesimo per h → 0 visto che |τ (h)| ≤ M h ² /2 e |e 0 | → 0 per h → 0.

Se f `e L-Lipschitziana (rispetto al secondo argomento) allora

|f (x, y ₁ ) − f (x, y ₂ )| ≤ L|y ₁ − y ₂ | e otteniamo, ricordando che e _n := y(x _n ) − u _n ,

|u

− u

| ≤ (1 + hL)|e

|.

Infatti da

u n = y(x

) + h · f (x n−1 , y(x n−1 )), u n = u n−1 + h · f (x n−1 , u n−1 ) ricaviamo dalla L-lipschitzianit`a

|u n − u n | = |(y(x n−1 ) + h · f (x n−1 , y(x n−1 ))) − (u n−1 + h · f (x n−1 , u n−1 ))|

= |(y(x n−1 ) − u n−1 ) + h · (f (x n−1 , y(x n−1 )) − f (x n−1 , u n−1 ))|

≤ |y(x n−1 ) − u _n−1 | + h|f (x n−1 , y(x _n−1 )) − f (x _n−1 , u _n−1 ))|

≤ |y(x n−1 ) − u n−1 | + hL|y(x n−1 ) − u n−1 | = (1 + hL)|y(x n−1 ) − u n−1 |

= (1 + hL)e _n−1 . (6.1)

Da

• e n := y(x n ) − u n = (y(x n ) − u n ) + (u n − u n ),

• |y(x n ) − u n | ≤ h|τ (h)|,

• |u n − u n | ≤ (1 + hL)|e n−1 | si deduce

|e n | = |(y(x n ) − u n ) + (u n − u n )|

≤ |y(x _n ) − u _n | + |u _n − u _n |

≤ h|τ (h)| + (1 + hL)|e n−1 | (6.2)

ovvero

|e

| ≤ h|τ (h)| + (1 + hL)|e

|.

Quindi essendo

7

• |e 0 | → 0 per h → 0,

• |e n | ≤ h|τ (h)| + (1 + hL)|e n−1 |, ricaviamo

|e n | ≤ h|τ (h)| + (1 + hL)|e n−1 |

≤ h|τ (h)| + (1 + hL)(h|τ (h)| + (1 + hL)|e

|)

= (1 + (1 + hL))h|τ (h)| + (1 + hL) ² |e _n−2 |

≤ . . .

≤ (1 + (1 + hL) + . . . + (1 + hL) ⁿ⁻¹ )h|τ (h)| + (1 + hL) ⁿ |e 0 | e cio`e

|e

| ≤ (1 + (1 + hL) + . . . + (1 + hL)

)h|τ (h)| + (1 + hL)

|e

|.

Ricordando che

1 + s + . . . + s ^k = (1 − s ^k+1 ) (1 − s) posto s = 1 + hL deduciamo che

1 + (1 + hL) + . . . + (1 + hL)

= 1 − (1 + hL) ⁿ

1 − (1 + hL) = (1 + hL)

− 1

hL .

Notiamo che per γ > 0

exp (γ) =

∞

X

k=0

γ ^k k! ≥

1

X

k=0

γ ^k

k! = 1 + γ (6.3)

e quindi (1 + γ) ⁿ ≤ (exp(γ)) ⁿ = exp(nγ) implica che per γ = hL si ha essendo nh = x n − x 0

(1 + hL)

≤ exp (nhL) = exp (L(x

− x

)) ≤ exp (L(x

− x

)).

Da

• 1 + (1 + hL) + . . . + (1 + hL) ⁿ⁻¹ = ^1−(1+hL) _1−(1+hL)

= ^(1+hL) _hL

⁻¹

• (1 + hL)

≤ exp (L(x

− x

)), concludiamo che

1 + (1 + hL) + . . . + (1 + hL) ⁿ⁻¹ = (1 + hL) ⁿ − 1

hL ≤ exp (L(x _{f in} − x 0 )) − 1 hL

≤ exp (L(x f in − x 0 ))

hL (6.4)

e quindi da |τ (h)| ≤ M h ² /2

(1 + (1 + hL) + . . . + (1 + hL) ⁿ⁻¹ )h|τ (h)| ≤ exp (L(x f in − x 0 ))

hL h|τ (h)|

= exp (L(x _{f in} − x ₀ ))|τ (h)| → 0.

8

Di conseguenza da

|e n | ≤ (1 + (1 + hL) + . . . + (1 + hL) ⁿ⁻¹ )h|τ (h)| + (1 + hL) ⁿ |e 0 |

≤ exp (L(x _{f in} − x ₀ ))|τ (h)| + exp (L(x _{f in} − x ₀ ))|e ₀ |

≤ exp (L(x f in − x 0 )) M h ²

2 + exp (L(x f in − x 0 ))|e 0 | (6.5) visto che il secondo membro non dipende da n ricaviamo

max

n=0,...,N |e n | ≤ exp (L(x f in − x 0 )) M h ²

2 + exp (L(x _{f in} − x 0 ))|e ₀ |

e quindi il metodo di Eulero esplicito risulta convergente, visto che il secondo membro `e infinitesimo.

Consideriamo il metodo di Eulero implicito

u n = u n−1 + hf (t n , u n ), u 0 = y 0 . Calcoliamo l’errore globale di troncamento. Se g ∈ C ² (a, b),

Z b a

g(x)dx = (b − a)g(b) − (b − a) ² g ⁽¹⁾ (ξ)/2, ξ ∈ (a, b) e posto b = x n , a = x n−1 , b − a = h, se y `e suff. regolare

y n = y n−1 + Z x

x

y ⁰ (x)dx = y n−1 + hy ⁰ (x n ) − h ² y ⁰⁰ (ξ)/2

= y n−1 + hf (x n , y n ) − h ² y ⁰⁰ (ξ)/2 (6.6) e quindi facilmente

τ n (h) = −(1/h) · (h ² y ⁰⁰ (ξ)/2) = −hy ⁰⁰ (ξ)/2.

Ricordiamo che y n = y(t _n ) `e la soluzione del problema di Cauchy mentre u n = u n−1 + hf (t n , u n ), u 0 = y 0 .

Definiamo

u n := y n−1 + hf (t n , u n ), u 0 = y 0 . Come in precedenza

y _n − u _n = (y _n − u _n ) + (u _n − u _n ) e quindi per la disuguaglianza triangolare

|y n − u n | ≤ |y n − u n | + |u n − u n |.

Studiamo separatamente i termini al secondo membro.

Osserviamo che

|u _n − u _n | = |u _n − (y _n−1 + hf (t _n , u _n ))| = h|τ _n (h)|

9

Studiamo |u n − u n | ricordando che e 0 = |y 0 − u 0 | → 0. Dalla lipschitzianit`a (rispetto la seconda variabile)

|u n − u n | = |y n−1 + hf (t n , u n ) − u n−1 − hf (t n , u n )|

= |y _n−1 − u _n−1 + hf (t _n , u _n ) − hf (t _n , u _n )|

≤ |y n−1 − u n−1 | + h|f (t n , u n ) − f (t n , u n )|

≤ |y n−1 − u n−1 | + hL|u n − u n | (6.7) da cui facilmente per h sufficientemente piccolo, cosicch`e 1 − hL > 0,

|u n − u n | ≤ |y n−1 − u n−1 | 1 − hL . Da

• |y _n − u _n | = h ² |y ⁰⁰ (ξ)/2|,

• |u n − u n | ≤ ^|y

_1−hL ^−u

^| , se ky ⁰⁰ k ∞ ≤ M

|y n − u n | ≤ |y n − u n | + |u n − u n |

≤ h ² |y ⁰⁰ (ξ)|

2 + |y _n−1 − u _n−1 | 1 − hL

≤ h ² |y ⁰⁰ (ξ)|

2 + |y n−1 − u n−1 |

1 − hL (6.8)

Con ragionamenti simili a quelli utilizzati per mostrare la convergenza di Eulero esplici- to, abbiamo per h piccolo che s = 1/(1 − hL) > 1, posto τ (h) = max n |τ n (h)|

|e n | ≤ h|τ n (h)| + s|e n−1 | ≤ sh|τ n (h)| + s|e n−1 |

≤ sh|τ n (h)| + s(sh|τ n−1 (h)| + s|e n−2 |)

≤ . . .

≤ h

n

X

k=1

s ^k |τ _n−k+1 (h)| + s ⁿ |e ₀ |

≤ h(

n

X

k=1

s ^k )|τ (h)| + s ⁿ |e 0 | (6.9)

Notiamo che se hL < 1 allora s = 1/(1 − hL) > 1 e che

n

X

k=1

s ^k = s ⁿ⁺¹ − 1

s − 1 ≤ s ⁿ⁺¹ s − 1 Ora

s − 1 = 1

1 − hL − 1 = hL

1 − hL > 0 (6.10)

e da (1 + x) ^k ≤ exp(kx) per x > 0, abbiamo

s ⁿ⁺¹ = (1 + (s − 1)) ⁿ⁺¹ ≤ exp((n + 1)(s − 1))

= exp( hL(n + 1)

1 − hL ) = exp( L(x n+1 − x 0 )

1 − hL ) (6.11)

10

e quindi

n

X

k=1

s ^k ≤ (1 − hL) exp( ^L(x _1−hL

^−x

⁾ ) hL

Cos`ı ricapitolando

|e n | ≤ h(

n

X

k=1

s ^k )|τ (h)| + s ⁿ |e 0 |,

n

X

k=1

s ^k ≤ (1 − hL) exp( ^L(x _1−hL

^−x

⁾ ) hL

s ⁿ ≤ exp( L(x _n − x ₀ ) 1 − hL ), implica finalmente

|e n | ≤ h (1 − hL) exp( ^L(x _1−hL

^−x

⁾ )

hL |τ (h)| + exp( L(x _n − x 0 ) 1 − hL )|e 0 |.

Se ky ⁰⁰ k ≤ M e xfin = x ⁰ + N h, |e 0 | → 0 per h → 0 abbiamo

|e n | ≤ h (1 − hL) exp( ^L(x _1−hL

^−x

⁾ )

hL |τ (h)| + exp( L(x _n − x 0 ) 1 − hL )|e 0 |

≤ h (1 − hL) exp( ^L(x _1−hL

^−x

⁾ ) hL

M h

2 + exp( L(xfin − x ⁰ ) 1 − hL )|e 0 |

≤ (1 − hL) exp( ^L(x _1−hL

^−x

⁾ ) L

M h

2 + exp( L(xfin − x ⁰ ) 1 − hL )|e ₀ | e quindi |e n | → 0 per h → 0, cio`e Eulero implicito `e convergente.

Supponiamo di dover risolvere il problema di Cauchy

 y ⁰ (x) = f (x, y(x)), x ≥ x 0

y(x 0 ) = y 0

(6.12) Osserviamo che se x _n+1 = x ₀ + nh allora ricordando la formula del trapezio per il calcolo di integrali

y(x _n+1 ) = y(x _n ) + Z x

x

y ⁰ (x)dx

≈ y(x n ) + (h/2)(y ⁰ (x n+1 ) + y ⁰ (x n ))

= y(x n ) + (h/2)(f (x n , y(x n )) + f (x n+1 , y(x n+1 ))).

N OTA . 6.1. Utilizzando rispettivamente le formule dei rettangoli,

Z b a

g(x)dx ≈ (b − a)g(a), Z b

a

g(x)dx ≈ (b − a)g(b)

11

si possono ottenere similmente i metodi di Eulero esplicito e implicito.

Essendo

y(x _n+1 ) ≈ y(x _n ) + (h/2)(f (x _n , y(x _n )) + f (x _n+1 , y(x _n+1 ))) (6.13) si introduce il metodo di Crank-Nicolson (1947):

M ETODO 6.1 (Crank-Nicolson o dei trapezi ). Tale metodo consiste nell’approssimare y(x _n+1 ) con u _n+1 dove

u

= u

+ (h/2)(f (t

, u

) + f (t

, u

)) (6.14)

con u ₀ = y ₀ .

Si osservi che ad ogni iterazione, essendo il metodo implicito, bisogna risolvere una equazione nonlineare.

Nell’ambito delle equazioni differenziali ordinarie, esistono vari criteri di stabilit´a. Un classico problema `e quello di vedere se un metodo `e assolutamente stabile. Definito il problema di Cauchy

 y

(x) = λy(x), x ≥ 0

y(0) = 1 (6.15)

per un certo λ ∈ C con <(λ) < 0, visto che l’unica soluzione `e y(x) = exp (λx) si cerca di definire il passo h cosicch`e il metodo numerico per la soluzione del problema di Cauchy (1.1) abbia lo stesso comportamento asintotico di exp (λx).

La regione di assoluta stabilit`a `e composta dagli hλ, per cui il metodo numerico con passo h `e tale da avere lo stesso comportamento asintotico del problema di Cauchy (6.15) relativo al parametro λ (con <(λ) < 0).

N OTA . 6.2 (Facoltativo). Stabilire la stabilit`a per il problema di Cauchy

 y ⁰ (x) = f (x, y(x)), x ≥ 0 y(x 0 ) = y 0

(6.16)

`e in generale complicato. Se invece consideriamo

 y ⁰ (x) = λy(x) + g(x), x ≥ 0

y(0) = y 0 (6.17)

la questione `e pi`u semplice. Ricordiamo che la soluzione di (6.17) `e y(x) = c · exp (λx) +

Z x 0

exp (λ(x − t))g(t)dt con

c = y 0

(cf. [1, p.369]).

6.1. Sia y la soluzione di

 y ⁰ (x) = λy(x) + g(x), x ≥ 0

y(0) = y ₀ (6.18)

12

e y  quella di

 y ⁰ (x) = λy(x) + g(x), x ≥ 0

y(0) = y 0 +  (6.19)

Posto z  = y  − y, da (6.18), (6.20),

 z ⁰ _ (x) = λz  (x), x ≥ 0

y(0) =  (6.20)

la cui soluzione `e z  =  · exp (λx).

Di solito nelle applicazioni ci si interessa al caso λ < 0 o complesso con parte reale negativa. In questi casi z _ → 0 per n → ∞ e quindi l’effetto delle perturbazioni si annulla per valori grandi di x.

Si desidera che il metodo numerico goda delle stesse propriet`a e la risposta la si ha nuovamente dallo studio della regione di stabilit`a.

D EFINIZIONE 6.1 (Problema stiff). Un problema di Cauchy

 y

(x) = λy(x), x ≥ 0

y(0) = 1. (6.21)

si dice stiff, quando <(λ)  0 (cio`e <(λ) `e molto grande in valore assoluto).

Ricordiamo a tal proposito che dalla formula di Eulero, se z = a + ib = <(z) + =(z) allora

exp (z) = exp (a) · (cos (b) + i sin (b)).

Quindi se <(λ) < 0, visto che | cos (=(λx)) + i sin (=(λx))| = 1 e x > 0 abbiamo

| exp (λx)| = |exp(<(λx))|| cos (=(λx)) + i sin ((=(λx)))|

= |exp (<(λx))| → 0, per x → ∞.

Visto il comportamento asintotico di exp (λx), se u n `e l’approssimazione della soluzione in x n = x 0 +nh fornita da un metodo numerico a passo h, si desidera sia u n → 0 per n → +∞.

Nel caso del metodo di Eulero esplicito,

u _n = u _n−1 + hf (x _n−1 , u _n−1 ) = (1 + hλ)u _n−1 , u ₀ = 1.

Si verifica facilmente che questa equazione alle differenze (di ordine 1) ha quale unica solu- zione

u

= (1 + hλ)

e che

u n → 0 se e solo se |1 + hλ| < 1

il che significa che hλ deve stare nel disco del piano complesso di centro −1 e raggio 1.

Di conseguenza, fissato λ, il metodo risulta stabile se e solo se si sceglie un passo sufficientemente piccolo, cio`e minore di 1/|λ|.

Nel caso di problemi stiff, cio`e con <(λ)  0, si deve scegliere un passo h molto piccolo affinch`e la soluzione di Eulero esplicito tenda a 0.

13

−4 −3 −2 −1 0 1 2

−3

−2

−1 0 1 2

F

6.1. In magenta: regione di assoluta stabilit`a di Eulero esplicito: disco unitario centrato in (−1, 0).

Nel caso del metodo di Eulero implicito,

u n = u n−1 + hf (x n , u n ) = u n−1 + hλu n , u 0 = 1.

Portando a primo membro hλu _n , dividendo i membri per 1 − hλ u n = u n−1

1 − hλ . Si verifica, ragionando per induzione, che

u

= 1

(1 − hλ)

e quindi che

u n → 0 se e solo se 1

|1 − hλ| < 1.

Essendo <(λ) < 0, si vede facilmente che | _1−hλ ¹ | < 1 per qualsiasi h. Infatti, hλ = a + ib con a < 0, ci`o `e vero se e solo se

1

|1 − hλ| < 1 ⇔ 1 < |1 − hλ| = p

(1 − a) ² + b ² ovvero, elevando ai quadrati entrambi i membri, se e solo se

1 < (1 − a) ² + b ²

ovviamente verificata in quanto a < 0, a, b ∈ R. La regione di ass. stabilit`a `e tutto il semipiano negativo <(hλ) < 0.

N OTA . 6.3. Questa propriet`a suggerisce di applicare Eulero implicito invece di Eulero esplicito per risolvere numericamente un problema di Cauchy di tipo stiff.

Nel caso del metodo di Crank-Nicolson, da f (x, y) = λy

14

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1

−6

−4

−2 0 2 4 6

F

6.2. In magenta: regione di assoluta stabilit`a di Eulero implicito, semipiano negativo <(hλ) < 0.

u n = u n−1 + (h/2)(f (x n , u n ) + f (x n−1 , u n−1 ))

= u _n−1 + (h/2)λ(u _n + u _n−1 ), u ₀ = 1 (6.22) Quindi,

(1 − hλ

2 )u _n = u _n−1 + hλ 2 u _n cio`e

2 − hλ

2 · u n = 2 + hλ 2 · u n−1

e di conseguenza

u n = 2 + hλ 2 − hλ u n−1

Da

u n = 2 + hλ 2 − hλ u n−1

si verifica facilmente che questa equazione alle differenze ha quale unica soluzione

u

= (2 + hλ)

(2 − hλ)

e che

u n → 0 se e solo se |2 + hλ|

|2 − hλ| < 1.

15

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1

−6

−4

−2 0 2 4 6

F

6.3. In magenta: regione di assoluta stabilit`a di Crank-Nicolson, semipiano negativo <(hλ) < 0.

Da <(λ) < 0, | ^2+hλ _2−hλ | < 1 per h > 0. Infatti, se hλ = a + ib, a < 0

|2 + hλ|

|2 − hλ| = |2 + (a + ib)|

|2 − (a + ib)| = |(2 + a) + ib|

|(2 − a) + ib| = p(2 + a) ² + b ² p(2 − a) ² + b ² < 1 in quanto (2 + a) ² < (2 − a) ² , qualora a < 0.

La regione di ass. stabilit`a `e tutto il semipiano negativo <(hλ) < 0.

Posto h > 0, x n = x 0 + nh, un metodo linear multistep `e del tipo

u n+1 =

p

X

j=0

a j u n−j + h

p

X

j=−1

b j f (x n−j , u n−j ), n = p, p + 1, . . . (6.23)

noti i valori u k ≈ y(x k ) per k < p e supposto a p , b p 6= 0.

N OTA . 6.4. Non `e difficile vedere che

• Eulero esplicito (a 0 = 1, b 0 = 1),

• Eulero implicito (a 0 = 1, b −1 = 1),

• Crank-Nicolson (a 0 = 1, b ₋₁ = 1/2, b ₀ = 1/2) sono metodi che hanno questa struttura.

Da

• y ⁰ (x) = f (x, y(x)),

• y(x n+1 ) = y(x n−m ) + R x

x

y ⁰ (x) dx ricaviamo che

y(x n+1 ) = y(x n−m ) + Z x

x

y

(x) dx = y(x n−m ) + Z x

x

f (x, y(x)) dx.

Se per γ = 0 oppure γ = −1 e un numero naturale p, si suppone y(x _n+γ−k ) ≈ u _n+γ−k , k = γ, . . . , p

f _n+γ−k := f (x _n+γ−k , u _n+γ−k )

16

allora se P p (x) = P

k f n+γ−k L k (x) `e il polinomio che interpola le coppie (x n+γ−k , f n+γ−k ) scritto nella forma di Lagrange, si ha

y(x n+1 ) ≈ y(x n−m ) + Z x

x

P p (x) dx = y(x n−m ) + X

k

f n+γ−k

Z x

x

L k (x)dx

e quindi facilmente un metodo via quadratura numerica dell’integrale.

Scegliendo i nodi {x n } equispaziati,

• se m = 0, γ = 0 si hanno metodi espliciti (Adams-Bashforth, (1883));

• se m = 0, γ = 1 si hanno metodi impliciti (Adams-Moulton, (1926)).

N OTA . 6.5.

• Nel caso m = p − γ in particolare, la formula di integrazione `e in realt´a quella ben nota di tipo Newton-Cotes (chiusa o aperta a seconda γ = −1 o γ = 0).

• Si osservi che altri metodi di tipo linear multistep sono ottenibili per altre scelte di m e γ. Esempi sono per n ≥ 1

– metodo del punto medio: u

= u

+ 2hf

,

– metodo di Milne: u

= u

+ (h/3)[f

+ 4f

+ f

].

• Con un approccio diverso si possono ottenere i metodi LM di tipo BDF ove u n+1 = P p

j=0 a j u n−j + hb ₋₁ f n+1 .

• Adams-Bashforth (p=0): u n+1 = u n + hf n , τ n+1 = (h/2)y ⁽²⁾ (ξ n ).

• Adams-Bashforth (p=1): u n+1 = u n + ^h ₂ (3f n − f n−1 ), τ n+1 = (5h ² /12)y ⁽³⁾ (ξ n ).

• Adams-Bashforth (p=2): u n+1 = u n + ₁₂ ^h (23f n − 16f n−1 + 5f n−2 ), τ n+1 = (3h ³ /8)y ⁽⁴⁾ (ξ n ).

• Adams-Bashforth (p=3): u n+1 = u n + ₂₄ ^h (55f n − 59f n−1 + 37f n−2 − 9f n−3 ), τ _n+1 = (251h ⁴ /720)y ⁽⁵⁾ (ξ _n ).

• Adams-Bashforth (p=4): u n+1 = u _n + ₇₂₀ ^h (1901f _n − 2774f n−1 + 2616f _n−2 − 1274f _n−3 + 251f _n−4 ), τ n+1 = (95h ⁵ /2888)y ⁽⁵⁾ (ξ _n ).

dove τ n+1 `e l’errore locale di troncamento

N OTA . 6.6. Si noti che sono effettivamente metodi espliciti a p + 1 passi.

• Adams-Moulton (p=0): u n+1 = u n + hf n+1 , τ n+1 = (−h/2)y ⁽²⁾ (ξ n ).

• Adams-Moulton (p=1): u n+1 = u n + ^h ₂ (f n+1 + f n ), τ n+1 = (−h ² /12)y ⁽³⁾ (ξ n ).

• Adams-Moulton (p=2): u n+1 = u _n + ₁₂ ^h (5f _n+1 +8f _n −f n−1 ), τ n+1 = (−h ³ /24)y ⁽⁴⁾ (ξ _n ).

• Adams-Moulton (p=3): u _n+1 = u _n + ₂₄ ^h (9f _n+1 + 19f _n − 5f _n−1 + f _n−2 ), τ n+1 = (−19h ⁴ /720)y ⁽⁵⁾ (ξ _n ).

• Adams-Moulton (p=4): u n+1 = u n + ₇₂₀ ^h (251f n+1 +646f n −264f n−1 +106f n−2 − 19f n−3 ), τ n+1 = (−3h ⁵ /160)y ⁽⁶⁾ (ξ n ).

N OTA . 6.7. Si noti che sono effettivamente metodi impliciti a p passi.

T EOREMA 6.1 ([5, p.437]). Un metodo linear multistep

• `e consistente se e solo se

p

X

j=0

a

= 1, −

p

X

j=0

ja

+

p

X

j=−1

b

= 1,

• se y ∈ C ^q+1 per q ≥ 1, ha ordine di consistenza q se e solo se `e consistente e

17

p

X

j=0

(−j)

a

+ i

p

X

j=−1

(−j)

b

= 1, i = 2, . . . , q.

T EOREMA 6.2 (Convergenza LM (cf.[1, p.116])). Si supponga che

• i dati iniziali siano calcolati in modo che

η(h) = max

i=0,...,p |y(x i ) − u i | → 0, per h → 0;

• il metodo sia consistente;

• a j ≥ 0, j = 0, . . . , p;

• il passo di discretizzazione h sia tale che h ≤ 1/(2c), dove c = L P

j=−1

|b

| e L `e la costante di Lipschitz di f .

Allora il metodo LM converge ed inoltre esistono C 1 , C 2 positive tali che per ogni n

|y(x n ) − u _n | ≤ C 1 η(h) + C ₂ τ (h).

Se la soluzione `e m+1 volte derivabile con continuit`a, il metodo ha ordine di consistenza m e gli errori iniziali soddisfano η(h) = O(h ^m ) allora il metodo `e di ordine m.

N OTA . 6.8. Nelle ipotesi del teorema precedente, per ricavare la convergenza chiedava- mo:

• i dati iniziali siano calcolati in modo che

η(h) = max

i=0,...,p |y(x i ) − u i | → 0, per h → 0;

• il metodo sia consistente;

• a j ≥ 0, j = 0, . . . , p;

• il passo di discretizzazione h sia tale che h ≤ 1/(2c), dove c = L P

j=−1

|b

| e L `e la costante di Lipschitz di f .

1. Se prendiamo un metodo di Adams-Bashforth o Adams-Moulton di quelli esposti, sono tutti consistenti con ordine p + 1. Inoltre a ₀ = 1, a ₁ = 0, . . . , a _p = 0. Di conseguenza tutti i metodi esposti sono convergenti.

2. Se la soluzione `e p + 2 volte derivabile con continuit`a, il metodo ha ordine di con- sistenza p + 1 e gli errori iniziali soddisfano η(h) = O(h ^m ) allora il metodo `e di ordine p + 1.

6.2. In particolare, nelle ipotesi richieste,

• il metodo di Eulero esplicito, avendo ordine di consistenza 1, `e convergente con ordine di convergenza 1;

• il metodo di Eulero implicito, avendo ordine di consistenza 1, `e convergente con ordine di convergenza 1;

• il metodo di Crank-Nicolson, avendo ordine di consistenza 2, `e convergente con ordine di convergenza 2.

D EFINIZIONE 6.2. Un metodo numerico `e detto A-stabile se la sua regione di stabilit`a assoluta contiene tutto il semipiano negativo.

18

Valgono le seguenti barriere di stabilit`a (Dahlquist, 1963) T EOREMA 6.3. Nessun metodo LM esplicito `e A-stabile.

T EOREMA 6.4. Nessun metodo LM implicito di ordine maggiore di 2 `e A-stabile.

In generale un metodo LM implicito ha propriet`a di stabilit`a migliori rispetto ad un LM esplicito e questo ne suggerisce l’utilizzo.

Purtroppo ad ogni iterazione bisogna risolvere una equazione nonlineare.

Un approccio comunemente utilizzato `e quello del predictor-corrector. Consiste nell’u- tilizzare il metodo di punto fisso con una certa scelta del punto iniziale.

Nel caso di un metodo di Adams implicito (detto corrector), si utilizza ad esempio un metodo di Adams esplicito (detto predictor).

Consideriamo i seguenti metodi di Adams (porremo f i = f (x i , u i )).

Predictor: u i+1 = u i + h

2 (3f i − f i−1 )

Corrector: u i+1 = u i + h

2 (f i+1 + f i ).

Posto f _i ^(η) = f (x _i , u ^(η) _i ) abbiamo

P: u ⁽⁰⁾ _i+1 = u ⁽¹⁾ _i + h

2 (3f _i ⁽¹⁾ − f _i−1 ⁽¹⁾ ) E: f _i+1 ⁽⁰⁾ = f (x i+1 , u ⁽⁰⁾ _i+1 )

C: u ⁽¹⁾ _i+1 = u ⁽¹⁾ _i + h

2 (f _i+1 ⁽⁰⁾ + f _i ⁽¹⁾ ) E: f _i+1 ⁽¹⁾ = f (x _i+1 , u ⁽¹⁾ _i+1 )

Consideriamo un metodo numerico, che diremo di Runge-Kutta di ordine 2, che definisca una sequenza u n t.c.

y(x n+1 ) ≈ u n+1 = u n + hF (x n , u n ; h) con

F (x, y; h) = γ ₁ f (x, y) + γ ₂ f (x + αh, y + βhf (x, y))

e determiniamo i parametri γ 1 , γ 2 , α, β cos`ı da ottenere un metodo del second’ordine cio`e τ (h) = max

n (τ n (h)) = O(h ² ) dove

τ _n (h) = y(x _n ) u n

, u _n+1 = y _n + hF (x _n , y _n ; h).

Per ottenere questo risultato usiamo la formula di Taylor bivariata. Denotate con f x , f y

le derivate parziali rispetto al primo e secondo argomento di f , abbiamo

f (x _n +αh, y+βhf (x _n , y _n )) = f (x _n , y _n )+αhf _x (x _n , y _n )+βhf _y (x _n , y _n )f (x _n , y _n )+O(h ² ).

19

e quindi

F (x n , y n ; h) = γ 1 f (x n , y n ) + γ 2 f (x n + αh, y n + βhf (x n , y n ))

= γ ₁ f (x _n , y _n ) + γ ₂ (f (x _n , y _n ) + αhf _x (x _n , y _n ) + βhf _y (x _n , y _n )f (x _n , y _n ))

+ O(h ² ). (6.24)

Facilmente, dalla formula di Taylor

y _n+1 = y _n + hy ⁽¹⁾ (x _n ) + (h ² /2)y ⁽²⁾ (x _n ) + O(h ³ )

= y n + hf (x n , y n ) + (h ² /2)(f x (x n , y n ) + f y (x n , y n )f (x n , y n )) + O(h ³ ) Ma `e pure

u n+1 = y n + hF (x n , y n ; h) = y n + h(γ 1 f (x n , y n ) + γ 2 (f (x n , y n ) + αhf x (x n , y n ) + βhf y (x n , y n )f (x n , y n ))) + O(h ³ )

= y _n + h(γ ₁ + γ ₂ )f (x _n , y _n ) + h ² γ ₂ (αf _x (x _n , y _n ) + βf _y (x _n , y _n )f (x _n , y _n ))) + O(h ³ )

e quindi affinch`e y n+1 − u n+1 = O(h ³ ), per confronto, basta richiedere γ

+ γ

= 1, γ

α = 1/2, γ

β = 1/2.

Vediamo alcuni metodi in cui

γ

+ γ

= 1, γ

α = 1/2, γ

β = 1/2.

Metodo di Heun (α = 1), (scoperto nel 1900):

u

= u

+ h

2 (f (x

, u

) + f (x

+ h, u

+ hf (x

, u

))).

Metodo di Eulero modificato (α = 1/2):

u

= u

+ hf (x

+ h

2 , u

+ h

2 f (x

, u

)).

La scelta particolare di un maggior numero di vincoli permette, con qualche fatica, di calcolare un metodo di ordine 4 (scoperto da Kutta nel 1901). Posto

u n+1 = u n + h · f 1 + 2f 2 + 2f 3 + f 4

6 ove

f 1 = f (t n , u n ) f 2 = f (t n + h

2 , u n + h · f 1

2 ) f 3 = f (t n + h

2 , u n + h 2 f 2 )

f ₄ = f (t _n + h, u _n + h · f ₃ ) (6.25)

20

si ottiene un metodo del quart’ordine.

Gli argomenti che seguono sono facoltativi. Servono solo a dare una immagine pi`u completa sul tema dell’analisi numerica per la risoluzione di problemi di Cauchy.

Se f non `e L-Lipschitziana ma `e L-dissipativa, cio`e

−L ≤ ∂f

∂y (ξ) ≤ 0, ξ ∈ Ω := (x

, xfin) × R abbiamo da

• u n = y(x n−1 ) + h · f (x n−1 , y(x n−1 )),

• u n = u _n−1 + h · f (x _n−1 , u _n−1 ),

• f (x n−1 , u _n−1 ) = f (x _n−1 , y(x _n−1 )) + ^∂f _∂y (ξ)(u _n−1 − y(x n−1 )), che per qualche ξ ∈ (x n−1 , x n ) × R ⊆ Ω

u

− u

= (u n−1 + h · f (x n−1 , u n−1 )) − (y(x n−1 ) + h · f (x n−1 , y(x n−1 )))

= (u n−1 − y(x n−1 )) + h · (f (x n−1 , u n−1 ) − f (x n−1 , y(x n−1 )))

= (u n−1 − y(x n−1 )) + h ∂f

∂y (ξ)(u n−1 − y(x n−1 ))

= (1 + h ∂f

∂y (ξ)) · (u

− y(x

)).

Da

u n − u n = (1 + h ∂f

∂y (ξ)) · (u n−1 − y(x n−1 )). (6.26) abbiamo che se 0 < h ≤ 2/L (non restrittivo per mostrare la conv. visto che si studia il comportamento per h → 0) allora da −L ≤ ^∂f _∂y ≤ 0,

−1 = 1 − 2L/L ≤ 1 − hL≤ 1 + h ∂f

∂y (ξ) ≤ 1

e quindi |1 + h

(ξ)| ≤ 1 da cui

|u

− u

| = |1 + h ∂f

∂y (ξ)| · |u n−1 − y(x n−1 )|

≤ |u n−1 − y(x n−1 )| = |e

|. (6.27)

Da

• e _n := y(x _n ) − u _n ,

• |y(x n ) − u n | ≤ h|τ (h)|,

• |u n − u n | ≤ |e n−1 |,

• |e n | ≤ hτ (h) + |u n − u n | ≤ h|τ (h)| + |e n−1 |

ricaviamo, essendo h|τ (h)| > 0, e ₀ = 0, n ≤ N , N h = xfin − x ⁰

21

|u n − u n | ≤ |e n−1 | ≤ h|τ (h)| + |e n−1 |

≤ h|τ (h)| + (h|τ (h)| + |e n−2 |)

= 2h|τ (h)| + |e n−2 |

≤ 2h|τ (h)| + (h|τ (h)| + |e _n−3 |)

= 3h|τ (h)| + |e n−3 | ≤ . . .

≤ nh|τ (h)| + |e 0 | = nh|τ (h)|

≤ N h|τ (h)| = (xfin − x ⁰ )|τ (h)| ≤ (xfin − x ⁰ )M h

2 .

Di conseguenza, visto che (xfin − x ⁰ ) non dipende da n, essendo per ogni n

|u _n − u _n | ≤ (xfin − x ⁰ )M h 2 abbiamo

ku ^(h) − u ^(h) k ∞ = max

n |u n − u n | ≤ (xfin − x ⁰ )M h

2 .

Posto C

(h) = (xfin − x

)M h/2 abbiamo che

ku

− u

k

≤ C

(h)

con C ₂ ^∗ (h) → 0 qualora h → 0 e quindi il metodo di Eulero esplicito, `e convergente anche nel caso in cui f sia L-dissipativa.

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

[1] K. Atkinson e W. Han, Elementary Numerical Analysis, Wiley, (2004).

[2] K.E. Atkinson, W. Han, D.E. Steward Numerical Solution of Ordinary Differential Equations, Wiley, (2009).

[3] V. Comincioli, Analisi Numerica, metodi modelli applicazioni, Mc Graw-Hill, 1990.

[4] W. Gautschi, Numerical Analysis, Birkha¨user, second edition, 2012.

[5] A. Quarteroni, F. Saleri Introduzione al Calcolo Scientifico, Springer, (2002).

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