Dalla definizione di valore assoluto:
( ) ( )
( ) ( )
<
−
−
≥
−
= +
→
<
−
−
− +
≥
−
−
−
= +
1 1
3 4
1 7
3 4 0
1 4
1 3 4
0 1 4
1 3 4
3 3
3 3
x se x
x
x se x
x x f x
se x
x
x se x
x x f
Per → f1
( )
x =4x3 +3x−7 1. Dominio ∀x∈ℜ:x≥1Ystudio Preparazione Esami Universitari – Firenze – www.ystudio,it – info@ystudio.it
( )
x =4x3 +3x−1−4 f≥1 x
2. Intersezioni assi
( ) ( )
=
→ =
=
= + +
→ −
=
=
−
→ +
=
− +
=
0 1 0
0 7 4 4 1 0
0 7 3 4 0
7 3
4 3 3 2
y x y
x x x
y
x x y
x x y
3. Segno f
( )
x >0(
1) (
4 4 7)
0 10 7 3
4x3 + x− > → x− x2 + x+ > → x>
4. Limiti
( )
= + − = + − =+∞∞ +
→ + 4 3 7 0 ; lim→ 4 3 7
lim
1 3 3
1 x x x x
f x x
5. Asintoti
verifica esistenza asintoto obliquo y =mx+q
( )
= + − = + − =+∞= →+∞ →+∞ →+∞ x x
x x x x
x m f
x x
x
3 7 4 7 lim
3 lim 4
lim 2
3
non esiste quindi asintoto obliquo!
6. Derivata 1^ f
( )
x =4x3+3x−7 per( )
12 3' x = x2 +
f Segno derivata 1^ : f'
( )
x >0 ⇒ ∀x∈Df :x>17. Derivata 2^ f'
( )
x =12x2 +3 per( )
x xf '' =24 Segno derivata 2^ : f ''
( )
x >0 ⇒ 24x>0 → x>0Ystudio Preparazione Esami Universitari – Firenze – www.ystudio,it – info@ystudio.it
≥1 x
≥1 x
Il grafico :
Per → f2
( )
x =4x3 −3x−11. Dominio ∀x∈ℜ:x<1
2. Intersezioni assi
=
−
→ =
=
−
−
=
0 1 0
1 3 4 3
y y x
x x y
( ) ( )
=
−
→ =
=
= + +
→ −
=
=
−
→ −
=
−
−
=
0 2 1 0
0 1 4 4 1 0
0 1 3 4 0
1 3
4 3 3 2
y x y
x x x
y
x x y
x x y
Ystudio Preparazione Esami Universitari – Firenze – www.ystudio,it – info@ystudio.it
<1 x
3. Segno f
( )
x >0(
1) (
4 4 1)
0 10 1 3
4x3 − x− > → x− x2 + x+ > → x>
4. Limiti
( )
=−∞
− −
→
∞ +
∞
−
=
−
−
=
−
−
∞
−
→
∞
−
→
→−
3 2 3
3 3 1
1 4 3
lim 1
3 4 lim
0 1 3 4 lim
x x x
x x
x x
x x
x
5. Asintoti
verifica esistenza asintoto obliquo y =mx+q
( )
− − = − − =+∞=
= →+∞ →+∞ →+∞ x x
x x x x
x m f
x x
x
3 1 4 1 lim
3 lim 4
lim 2
3
non esiste quindi asintoto obliquo!
6. Derivata 1^ f
( )
x =4x3 −3x−1 per( )
12 3' x = x2 −
f Segno derivata 1^ :
( )
2 : 1
0
' x > ⇒ ∀x∈D x<−
f f
7. Derivata 2^ f'
( )
x =12x2 −3 per( )
x xf '' =24 Segno derivata 2^ : f ''
( )
x >0 ⇒ 24x>0 → x>0Ystudio Preparazione Esami Universitari – Firenze – www.ystudio,it – info@ystudio.it
<1 x
<1 x
Il grafico :
Da cui il grafico finale:
