CAPITOLO 1
Curve in R
nCominciamo in questo capitolo a studiare le curve in Rn ovvero applicazioni definite su intervalli I ✓ R a valori nello spazio Rn, ' : I ✓ R ! Rn. Iniziamo quindi con qualche richiamo sullo spazio Rn visto come spazio metrico, su cui `e definita una distanza, ma anche come spazio vettoriale con prodotto scalare.
1. Rn: spazio metrico e spazio euclideo
Ricordiamo che gli elementi diRn sono n-uple ordinate di numeri reali Rn={(x1, x2, ..., xn)| xi 2 R, i = 1, 2, ..., n}
che potremo pensare sia come punti, P (x1, x2, ..., xn), dove xi `e l’i-esima coordi- nata del punto P 2 Rn, che come vettori, x = (x1, x2, ..., xn) dove xi `e i-esima componente del vettore x 2 Rn. Nel primo caso Rn verr`a pensato come spazio metrico munito della distanza (euclidea) tra punti
d(P, Q) =»(x1 y1)2+ (x2 y2)2+ ... + (xn yn)2, (1) essendo P (x1, x2, ..., xn) e P0(y1, y2, ..., yn), nel secondo come spazio vettoriale munito delle operazioni di
- prodotto per uno scalare: x = ( x1, x2, ..., xn), 2 R e x 2 Rn; - somma tra vettori: x + x0= (x1+ y1, x2+ y2, ..., xn+ yn), x, y2 Rn; e del prodotto scalare
x· y = x1y1+ x2y2+ ... + xnyn, x, y2 Rn. (2) A partire dal prodotto scalare `e possibile definire in Rn una norma (euclidea), ponendo
kxk =p
x· x =»x21+ x22... + x2n, x2 Rn. (3) Nel seguito vedremo di fornire le propriet`a caratterizzanti di una distanza, e dunque di uno spazio metrico, e di richiamare le propriet`a caratterizzanti di uno spazio vettoriale con prodotto scalare, spazio vettoriale euclideo, e dunque di spazio vettoriale normato (si rimanda per i dettagli al corso di Geometria).
7
Una distanza d inRn `e un’applicazione d :Rn⇥ Rn ! R verificante le seguenti propriet`a
(i) d(P, Q) 0 per ogni P, Q2 Rn e d(P, Q) = 0 se e solo se P ⌘ Q;
(ii) d(P, Q) = d(Q, P ) per ogni P, Q2 Rn;
(iii) d(P, Q) d(P, R) + d(Q, R) per ogni P, Q, R 2 Rn.
Se d `e una distanza in Rn, sistema (Rn; d) verr`a detto spazio metrico. Si pu`o verificare (provare per esercizio) che l’applicazione definita in (1) definisce una distanza in Rn, tale distanza verr`a chiamata distanza euclidea.
Osserviamo che nel caso n = 1, dati x, y 2 R risulta d(x, y) = »(x y)2 =
|x y| e che le propriet`a sopra elencate risultano le propriet`a caratteristiche del valore assoluto. In particolare la propriet`a (iii) non `e altro che la diseguaglianza triangolare.
Nel caso n = 2 useremo indicare le coordinate di un punto P 2 R2 con (x, y) e rappresenteremo tale insieme nel piano cartesiano. Osserviamo che secondo tale rappresentazione, dati due punti P (x, y) e P0(x0, y0) la distanza d(P, P0) =
»(x x0)2+ (y y0)2 rappresenta la lunghezza del segmento P P0 nel piano.
x y
x y
P
O P
x 0
0 y0
In particolare, dato r > 0 e fissato P0(x0, y0), l’insieme
{P 2 R2| d(P, P0) = r} ⌘ {(x, y) 2 R2| (x x0)2+ (y y0)2 = r2} rappresenta i punti della circonferenza di raggio r e centro P0.
Utilizzando le precedenti considerazioni introduciamo le coordinate polari di un punto del piano, coordinate che risulteranno particolarmente utili nel segui- to. Fissato un punto P0(x0, y0) 2 R2, possiamo rappresentare ogni altro punto
1. Rn: SPAZIO METRICO E SPAZIO EUCLIDEO 9
P (x, y) del piano utilizzando le coordinate polari (⇢, ✓) rispetto al punto P0 do- ve ⇢ = d(P, P0) = »(x x0)2+ (y y0)2 e ✓ 2 [0, 2⇡) `e l’angolo formato dal segmento P P0 con la semiretta positiva uscente da P0 e parallela all’asse delle ascisse
x y
x y
P
O P
x 0
0
y0 θ
ρ
Ricordando la definizione di seno e coseno, otteniamo quindi che (x = x0+ ⇢ cos ✓
y = y0+ ⇢ sin ✓
Nel caso in cui P0(x0, y0)⌘ O(0, 0), se (⇢, ✓) sone le coordinate polari di un punto P (x, y) rispetto all’origine allora
(x = ⇢ cos ✓ y = ⇢ sin ✓
essendo ⇢ = d(P, O) = px2+ y2 e ✓ 2 [0, 2⇡) `e l’angolo formato dal segmento P O con il semiasse delle ascisse positive. Ad esempio, osserviamo che il disco D = {(x, y) 2 R2| x2+ y2 r2} di centro l’origine e raggio r > 0, utilizzando le coordinate polari rispetto all’origine, sar`a rappresentato dal rettangolo R = {(⇢, ✓) | ⇢ 2 [0, r], ✓ 2 [0, 2⇡)}.
Analogalmente, nel caso n = 3 useremo indicare le coordinate di un punto P 2 R3 con (x, y, z) e rappresentare R3 nello spazio cartesiano. Come nel ca- so precedente, dati due punti P (x, y, z) e P0(x0, y0, z0) in R3 la distanza eucli- dea d(P, P0) = »(x x0)2+ (y y0)2+ (z z0)2 rappresenta la lunghezza del segmento P P0 nello spazio
Inoltre, dato r > 0 e fissato P0(x0, y0, z0), l’insieme
{P 2 R3| d(P, P0) = r} ⌘ {(x, y, z) 2 R3| (x x0)2+ (y y0)2+ (z z0)2 = r2} rappresenta i punti della sfera di raggio r e centro P0.
Torneremo pi`u avanti alle propriet`a metriche di Rn, e precisamente vedremo le propriet`a topologiche indotte da tale metrica su tale insieme. Rivediamo ora brevemente le propriet`a diRn come spazio vettoriale euclideo.
Ricordiamo che le operazioni di somma tra vettori e di prodotto per uno scalare verificano le propriet`a caratterizzanti uno spazio vettoriale (propriet`a commu- tativa, associativa, esistenza dell’elemento neutro e dell’opposto per la somma, propriet`a distributiva, associativa, esistenza dell’elemento neutro per il prodotto per uno scalare) dove ricordiamo che l’elemento neutro della somma `e il vettore nullo 0 = (0, 0, ..., 0).
Ricordiamo inoltre che dati k vettori v1, v2, ..., vk2 Rn, il vettore v = 1v1+ 2v2+ ... + kvk=
Xk i=1
ivi
`e detto combinazione lineare dei dati vettori.
Si dice che k vettori v1, v2, ..vk2 Rnsono linearmente indipendenti sePki=1 ivi = 0 implica che i = 0 per ogni i = 1, 2, ..., k, in caso contrario i vettori verrano detti linearmente dipendenti. Si dice base diRnun insieme di n vettori linearmente indipendenti. Come base canonica di Rn si usa considerare quella costituita dai
y
x
z
O P
P0
1. Rn: SPAZIO METRICO E SPAZIO EUCLIDEO 11
vettori ei che hanno componenti nulle eccetto la i-esima pari a 1:
e1= (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en= (0, 0, ..., 1).
Per ogni v = (x1, x2, ..., xn)2 Rn potemo allora scrivere v =
Xn i=1
xiei= x1e1+ x2e2+ ... + xnen.
Nel caso n = 2 si usa denotare la base canonica con le lettere {i, j} mentre se n = 3 la base canonica viene denotata con le lettere {i, j, k}.
Rn risulta inoltre uno spazio vettoriale euclideo munito del prodotto scalare (anche detto prodotto interno)
x· y = x1y1+ x2y2+ ... + xnyn= Xn i=1
xiyi, x, y2 Rn che verifica le seguenti propriet`a (caratterizzanti un prodotto scalare)
(i) x· y = y · x per ogni x, y 2 Rn;
(ii) (x· y) = ( x) · y = x · ( y) per ogni x, y 2 Rn e 2 R;
(iii) (x + y)· z = x · z + y · z per ogni x, y, z 2 Rn;
(iv) x· x 0 per ogni x2 Rn e x· x = 0 se e solo se x = 0.
Ricordiamo inoltre che due vettori x, y 2 Rn sono detti ortogonali se x· y = 0, scriveremo in questo caso x? y. Risultano ad esempio mutuamente ortogonali i vettori della base canonica, infatti si ha
ei· ek=
(0 se i6= k 1 se i = k
Inoltre se x = (x1, x2, ..., xn) =Pni=1xieiallora x·ek= xkper ogni k = 1, 2, ..., n.
Come gi`a accennato, il prodotto scalare definisce in Rn una norma (la norma euclidea), ponendo
kxk =p x· x =
ÃXn i=1
x2i.
Dalle propriet`a del prodotto scalare si ha che tale applicazione verifica le seguenti propriet`a caratterizzanti una norma in uno spazio vettoriale
(i) kxk 0 per ogni x2 Rn e kxk = 0 se e solo se x = 0;
(ii) k xk = | |kxk per ogni x 2 Rn e 2 R;
(iii) diseguaglianza di Minkowski: kx + yk kxk + kyk per ogni x, y 2 Rn; Risulta inoltre
(iv) diseguaglianza di Schwartz: |x · y| kxkkyk per ogni x, y 2 Rn
Un vettore x 2 Rn tale che kxk = 1 viene detto versore. Risultano ad esempio versori i vettori della base canonica ei. La base canonica `e un esempio di base ortonormale essendo i suoi elementi versori mutuamenti ortogonali.
Osserviamo infine che ad ogni punto P 2 Rnpossiamo far corrispondere il vettore v2 Rnavente per componenti le coordinate del punto P (e viceversa) e che risulta
d(P, P0) =kv v0k essendo v0 il vettore corrispondente a P0.
Nel caso n = 2, possiamo rappresentare i vettori v = (x, y) 2 R2 sul piano cartesiano come vettori applicati nell’origine O. Si osservi che kvk = d(P, O) essendo P (x, y) il punto di R2 corrispondente al vettore v. Ricordiamo inoltre
x
y P
O
v
i j
che, secondo tale rappresentazione, la somma tra due vettori `e data dal vettore ottenuto con la regola del parallelogramma.
Utilizzando le coordinare polari, osserviamo che se v1 = (⇢1cos ✓1, ⇢1sin ✓1) e v2 = (⇢2cos ✓2, ⇢2sin ✓2) allora
v1· v2= ⇢1⇢2(cos ✓1cos ✓2+ sin ✓1sin ✓2) = ⇢1⇢2cos(✓1 ✓2)
ovvero, risulta v1 · v2 = kv1kkv2k cos ✓ essendo ✓ l’angolo compreso tra i due vettori.
In modo analogo, nel caso n = 3, possiamo rappresentare i vettori v = (x, y, z)2 R3 sul piano cartesiano come vettori applicati nell’origine O ed osserviamo che kvk = d(P, O) dove P (x, y, z) `e il punto di R3 corrispondente al vettore v.
1. Rn: SPAZIO METRICO E SPAZIO EUCLIDEO 13
y
x
z
O
P v
i j
k
In R3, dati due vettori v1= x1i + y1j + z1k e v2 = x2i + y2j + z2k, il vettore v1^ v2 = y1 z1
y2 z2 i x1 z1
x2 z2 j + x1 y1
x2 y2 k =
i j k
x1 y1 z1 x2 y2 z2
`e detto prodotto vettoriale dei vettori v1 e v2. In particolare risulta i^ j = k, j ^ k = i e k ^ i = j.
ed inoltre si ha
v1^ v2· v3 =
x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3
da cui si ottiene che |v1 ^ v2 · v3| rappresenta il volume del parallelepipedo individuato dai tre vettori.
Si pu`o verificare che il prodotto vettoriale verifica le seguenti propriet`a (i) u^ v = v ^ u, per ogni u, v 2 R3;
(ii) u^ v · u = u ^ v · v = 0 per ogni u, v 2 R3, ovvero u^ v `e ortogonale sia a u che a v;
(iii) u^ v = 0 se e solo se u e v sono linearmente dipendenti
Se u e v sono vettori linearmente indipendenti, si pu`o inoltre provare cheku^vk = kukkvk sin ✓ essendo ✓ l’angolo compreso tra i due vettori.
Nei prossimi paragrafi e capitoli, a seconda delle esigenze e della convenienza di notazioni, useremo pensare ad Rn come spazio metrico oppure come spazio
vettoriale. Ad esempio, come vedremo nei prossimi paragrafi, data una curva ' : I ✓ R ! Rn e t2 I, l’immagine '(t) verr`a pensata come punto dello spazio metrico Rn mentre la derivata '0(t) verr`a vista come un vettore (in questo caso applicato al punto '(t)) dello spazio vettorialeRn.
O
ϕ(t) ϕ'(t)
2. Curve parametrizzate
Una curva (o curva parametrizzata) in Rn `e un’applicazione ' : I ✓ R ! Rn, dove I ✓ R `e un intervallo e
'(t) = ('1(t), '2(t), ..., 'n(t))2 Rn,
continua in I, ovvero le funzioni 'i: I ✓ R ! R che descrivono le coordinate del punto '(t)2 Rn, sono funzioni continue in I per ogni i = 1, 2, ..., n. La variabile t2 I verr`a detta parametro della curva, mentre l’immagine
= '(I) ={P 2 Rn| '(t) = P per qualche t 2 I}
`e invece detto sostegno (o traiettoria, o traccia) della curva.* Le equazioni:
8>
>>
><
>>
>>
:
x1 = '1(t) x2 = '2(t) ...
xn= 'n(t)
*Si osservi che il sostegno = '(I) ⇢ Rn non va confuso con la curva: il primo `e un sottoinsieme diRn la seconda un’applicazione a valori inRn.
2. CURVE PARAMETRIZZATE 15
che descrivono le coordinate del punto '(t), verranno dette equazioni parametriche della curva '. Nel caso n = 2, una curva ' : I ✓ R ! R2 verr`a detta curva piana.
Una curva inR3, ' : I ✓ R ! R3 verr`a detta curva piana se il suo sostegno risulta sottoinsieme di un piano diR3.
Ad esempio, dati P, Q 2 Rn, l’applicazione '(t) = (1 t)Q + tP , t2 [0, 1], di equazioni parametriche
8>
>>
><
>>
>>
:
x1 = '1(t) = (1 t)q1+ tp1 x2 = '2(t) = (1 t)q2+ tp2
...
xn= 'n(t) = (1 t)qn+ tpn
essendo Q(q1, q2, .., qn) e P (p1, p2, .., pn), `e la curva parametrizzata avente per sostegno il segmento congiungente i due punti dati. Si noti che anche la curva (⌧ ) = (1 ⌧2)Q + ⌧2P , ⌧ 2 [0, 1], ha il medesimo sostegno ma percorso a
“velocit`a” di↵erente.
Dato un intervallo I ✓ R ed una funzione continua f : I ! R, l’applicazione '(t) = (t, f (t)), t2 I, `e una curva piana il cui sostegno coincide con il grafico di f (x):
'(I) ={(x, y) 2 Rn| y = f(x), x 2 I}
Infine, utilizzando le coordinate polari, la curva parametrizzata '(✓) = (x0 + r cos ✓, y0 + r sin ✓), ✓ 2 [0, 2⇡], `e una curva piana avente per sostegno la cir- conferenza di raggio r > 0 e centro P0(x0, y0). Si osservi che la anche la curva (✓) = (x0 + r cos 2✓, y0 + r sin 2✓), ✓ 2 [0, 2⇡], ha il medesimo sostegno ma percorso due volte.
Dal punto di vista cinematico, una curva viene interpretata come la legge oraria che descrive il moto di una particella puntiforme in Rn al variare del tempo t2 I ⇢ R: ad ogni istante t 2 I corrisponde la posizione p(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t)) del punto in Rn. Al variare di t 2 I, p(t) descriver`a quindi la traiettoria della particella nello spazio. Osserviamo che se xi(t) risultano derivabili due volte in I, saranno ben definiti i vettori
v(t) = p0(t) = (x01(t), x02(t), ..., x0n(t)) e a(t) = p00(t) = (x001(t), x002(t), ..., x00n(t)) che descriveranno rispettivamente la velocit`a e l’accelerazione del punto nello spazio.
Ad esempio, la curva p(t) = (t, t) con t2 [0, 1] descriver`a il moto rettilineo uni- forme di una particella che si muove dal punto O(0, 0) al punto P (1, 1), mentre la curva q(t) = (cos t, sin t) descrive il moto circolare uniforme di una particella
O
p(t) v(t)
a(t)
che si muove lungo la circonferenza di raggio 1 e centro l’origine del piano. Os- serviamo che kp0(t)k =p
2 per ogni t2 [0, 1] e kq0(t)k = 1 per ogni t 2 [0, 2⇡], la velocit`a di percorrenza ha intensit`a costante, parliamo difatti di moti uniformi.
Nell’interpretazione cinematica abbiamo indicato con una freccia la direzione del moto lungo la traiettoria. In generale, data una curva '(t), t 2 I, diciamo che questa determina un verso di percorrenza o un orientamento del suo sostegno
= '(I) nel seguente modo: se t1 < t2 diremo che P1= '(t1) precede P2 = '(t2) lungo nel verso indotto dal parametro t2 I.
Ad esempio, la curva '(t) = (r cos t, r sin t), t 2 [0, 2⇡], determina un verso di percorrenza, un orientamento, antiorario della circonferenzaC di centro l’origine del piano e raggio r, mentre la curva (t) = (r cos t, r sin t), t2 [0, 2⇡] determina un verso di percorrenza orario della medesima circonferenza. Osserviamo che (t) = '(2⇡ t) per ogni t2 [0, 2⇡].
ϕ(t) ψ(t)
2. CURVE PARAMETRIZZATE 17
Se ' : I ! Rn ed I `e un intervallo chiuso e limitato, I = [a, b], i punti '(a) e '(b) sono detti rispettivamente punto iniziale e punto finale della curva. Se inoltre '(a) = '(b), la curva verr`a detta chiusa.
Ad esempio, la curva '(t) = (r cos t, r sin t), t 2 [0, 2⇡] `e curva chiusa essendo '(0) = '(2⇡) = (r, 0) mentre la curva (t) = (r cos t, r sin t), t 2 [0, 3⇡], avente il medesimo sostegno della curva '(t), non `e chiusa, essendo (0) = (r, 0) 6=
( r, 0) = (3⇡).
Una curva ' : I ✓ R ! Rn`e detta semplice se '(t1) = '(t2) vale solo per t1 = t2 eccetto eventualmente che per t1 = a e t2= b nel caso in cui I = [a, b].
Ad esempio, la curva '(t) = (t3, t2), t2 [ 1, 1] (la cuspide) risulta semplice ma non chiusa. La curva (t) = (t3 t, t2 1), t2 [ 2, 2] (la strofoide) non risulta semplice ne’ chiusa essendo (±1) = (0, 0) e ( 2) = ( 6, 3) 6= (2) = (6, 3). La curva (t) = (a cos t, b sin t), t2 [0, 2⇡], risulta semplice e chiusa, il suo sostegno
`e l’ellisse xa22 +yb22 = 1 percorsa in senso antiorario.
la cuspide, la strofoide e l’ellisse
InR3, un esempio notevole di curva `e dato dall’elica cilindrica di raggio a > 0 e passo b, '(t) = (a cos t, a cos t, bt), t 2 [0, +1). Osserviamo difatti che per ogni t 0, il punto '(t) appartiene al cilindro x2+ y2= a2 ed i punti '(t) e '(t + 2⇡) appartengono alla stessa direttrice del cilindro e distano 2⇡|b|.
Se f : I ✓ R ! R `e una funzione continua, la curva '(t) = (t, f(t)) con t 2 I, risulta semplice e mai chiusa. L’equazione y = f (x), x2 I, verr`a detta equazione cartesiana della curva.
Data una funzione ⇢ : I ✓ R ! [0, +1) continua, l’applicazione '(✓) = (⇢(✓) cos ✓, ⇢(✓) sin ✓) con ✓ 2 I definisce una curva, l’equazione ⇢ = ⇢(✓), ✓ 2 I, viene detta equazione polare della curva. Osserviamo che ⇢(✓) risulta pari alla distanza del punto '(✓) dall’origine del piano.
Ad esempio, l’equazione ⇢(✓) = ✓, ✓ 2 [0, 4⇡] `e l’equazione polare della curva
l’elica cilindrica
'(✓) = (✓ cos ✓, ✓ sin ✓) avente per sostegno una spirale. Tale curva risulta sem- plice ma non chiusa.
L’equazione ⇢(✓) = e ✓, ✓ 0 `e l’equazione polare della spirale logaritmica (✓) = (e ✓cos ✓, e ✓sin ✓), osserviamo che ⇢(✓) = d( (✓), O)! 0 per ✓ ! +1.
la spirale ⇢(✓) = ✓ e la spirale logaritmica ⇢(✓) = e ✓
3. Curve regolari
Converr`a per i nostri scopi fare alcune ipotesi di regolarit`a sulle curve parame- trizzate. Ricordiamo allora che una funzione f : I ✓ R ! R `e detta di classe
3. CURVE REGOLARI 19
C1 in un intervallo I se risulta derivabile con derivata continua in I. Nel caso in cui I non `e un intervallo aperto, si intende che la funzione risulta derivabile con derivata continua nei punti interni all’intervallo e che esiste il limite della derivata f0(x) per x che tende agli estremi dell’intervallo.
Una curva parametrizzata '(t) = ('1(t), '2(t), ..., 'n(t)), t 2 I ✓ R, viene allora detta di classe C1 in I, se risultano tali le sue componenti 'i(t) per ogni i = 1, 2, ..., n. Diremo invece che la curva ' risulta di classe C1 a tratti in I se esiste una partizione dell’intervallo I in un numero finito di intervalli tale che ' risulti di classeC1 in ogni intervallo della partizione.
Se '(t) = ('1(t), '2(t), ..., 'n(t)), t 2 I `e una curva di classe C1 in I, per ogni t0 2 I, risulta definito il vettore
'0(t0) = ('01(t0), '02(t0), ..., '0n(t0))
Se t0`e punto interno all’intervallo I e '0(t0)6= 0, la curva r(t) = '(t0)+'0(t0)(t t0), t2 R, ha per sostegno la retta di equazioni parametriche
rt0 : 8>
>>
><
>>
>>
:
x1 = '1(t0) + '01(t0)(t t0) x2 = '2(t0) + '02(t0)(t t0) ...
xn= 'n(t0) + '0n(t0)(t t0)
() x = '(t0) + '0(t0)(t t0).
Tale retta `e detta retta tangente alla curva nel punto '(t0). Difatti, possiamo osservare che risulta essere la “retta limite” delle rette secanti passanti per i punti '(t0) e '(t0+ h) di equazione
sh : 8>
>>
><
>>
>>
:
x1= '1(t0) +'1(t0+h) 'h 1(t0)(t t0) x2= '2(t0) +'2(t0+h) 'h 2(t0)(t t0) ...
xn= 'n(t0) +'n(t0+h) 'h n(t0)(t t0) ovvero x = '(t0) +'(t0+h) '(th 0)(t t0) quando h! 0.
Il vettore '0(t0) che individua la retta tangente verr`a allora detto vettore tan- gente alla curva nel punto '(t0).
Osserviamo che se fissato t0 2 I risulta '0(t) = '0(t0) per ogni t 2 I allora la retta tangente alla curva risulta invariante lungo la curva ed il sostegno della curva giace sulla retta tangente, difatti integrando componente per componente si ottiene '(t) = '(t0) + (t t0)'0(t0) per ogni t2 I.
Se t0 2 I `e tale che '0(t0)6= 0, si dice che '(t0) `e un punto regolare della curva.
In tal caso il versore
T(t0) = '0(t0) k'0(t0)k
verr`a detto versore tangente alla curva nel punto '(t0). Diremo inoltre che una curva '(t), t2 I, `e regolare in I se risulta di classe C1 in I e se '0(t)6= 0 per ogni t 2 I. Diremo invece che risulta regolare a tratti se risulta di classe C1 a tratti e se '0(t) 6= 0 per ogni t 2 I eccetto che in un numero finito di punti ti 2 I, i = 1, 2, ....k.
Vediamo alcuni esempi notevoli
• La curva '(t) = (cos t, sin t), avente per sostegno la circonferenza, risul- ta regolare in [0, 2⇡], essendo di classe C1 con '0(t) = ( sin t, cos t) e dunquek'0(t)k = 1 > 0 per ogni t 2 [0, 2⇡]. La retta tangente nel punto P (p1
2,p1
2) = '(⇡4) avr`a equazioni parametriche 8<
: x = p1
2 p1
2(t ⇡4) y = p1
2 +p1
2t(t ⇡4) ovvero di equazione cartesiana y =p
2 x.
• La cicloide `e la curva '(t) = (r(t sin t), r(1 cos t)) con t 2 [0, 4⇡].Tale curva risulta di classe C1 in [0, 4⇡] con '0(t) = (r(1 cos t), r sin t). Si ha '0(t) = 0 se e solo se t = 2k⇡ con k = 0; 1; 2 e quindi la curva risulta regolare a tratti in [0, 4⇡]. La retta tangente risulta parallela all’asse delle ascisse nei punti dove '0(t) risulta parallelo a i e dunque nei punti '(⇡) = (⇡r, 2r) e '(3⇡) = (3⇡r, 2r).
π 2π 0
3. CURVE REGOLARI 21
• L’astroide `e la curva '(t) = (cos3t, sin3t) con t 2 [0, 2⇡]. Risulta di classeC1 in [0, 2⇡] ma poich`e '0(t) = ( 3 sin t cos2t, 3 cos t sin2) = (0, 0) per t = 0;⇡2; ⇡;3⇡2 , avremo che risulta regolare a tratti.
• La cuspide '(t) = (t3, t2) `e di classe C1 in [ 1, 1] ma non regolare in [ 1, 1] essendo '0(0) = (0, 0), `e dunque regolare a tratti;
• La curva di equazione y = |x|, x 2 [ 1, 1] non `e di classe C1 in [ 1, 1], poich`e f (x) non `e derivabile in x = 0 ma `e di classeC1 a tratti, essendo di classeC1 negli intervalli [ 1, 0] e [0, 1]. Ne segue quindi che la curva
`e regolare a tratti in [ 1, 1]
• La curva di equazione cartesiana y = p3
x2, x 2 [ 1, 1], (che ha il me- desimo sostegno della cuspide) non `e di classeC1 a tratti in [ 1, 1] non essendo tale la funzione f (x) = p3
x2. Osserviamo infatti che non esistono finiti i limiti lim
x!0±f0(x).
• La curva y = f(x), x 2 [0, 1] essendo f(x) =
(x sin⇡x se x6= 0 0 se x = 0 non `e di classeC1 a tratti in [0, 1] e dunque nemmeno regolare a tratti in [0, 1].
Se f : I ! R `e funzione di classe C1 allora la curva di equazione cartesiana y = f (x) risulta regolare in I, e viceversa. Infatti, posto '(t) = (t, f (t)), t2 I, risulta che '(t) `e di classeC1 in I se e solo se `e tale f (x). Mentre la condizione '0(t)6= 0 risulta sempre verificata in I in quanto si ha k'0(t)k = »1 + (f0(x))2 > 0 per ogni t2 I.
Se ⇢ : I ! [0, +1) `e funzione di classe C1 allora la curva di equazione polare
⇢ = ⇢(✓) risulta di classe C1 e sar`a regolare se e solo se ⇢(✓)2+ ⇢0(✓)2 > 0 per ogni ✓2 I.
Come esempio notevole abbiamo la cardioide, ovvero la curva di equazione polare
⇢(✓) = 1 + cos ✓, ✓ 2 [0, 2⇡]. Tale curva risulta regolare a tratti (ammette come unico punto singolare il punto ( 1, 0) corrispondente a ✓ = ⇡), risulta inoltre
semplice e chiusa. La cardioide `e una particolare lumaca di Pascal, di equazione polare ⇢(✓) = a cos ✓ + b con ✓ 2 [0, 2⇡], a > 0. Si noti difatti che se b = a abbiamo una cardioide mentre per a = 0 si ha una circonferenza. Osserviamo inoltre che se b > a allora ⇢(✓) assume anche valori negativi e per tali valori d('(✓), O) = ⇢(✓).
la cardioide e una lumaca di Pascal con b > a