11.1 Potenza elettrica richiesta da una pompa magnetoidrodinamica

EFFICIENZA DI UNA POMPA MAGNETOIDRODINAMICA

11.1 Potenza elettrica richiesta da una pompa magnetoidrodinamica

Il basso consumo di potenza elettrica è fra i requisiti principali richiesti per un’eventuale applicazione della pompa MHD come sistema di alimentazione del propellente per un propulsore FEEP a liquidi ionici.

La potenza elettrica richiesta è data dalla somma di due contributi: quella necessaria per far circolare corrente nel liquido ionico e quella necessaria per generare il campo magnetico per mezzo dell’elettromagnete. Quindi:

La dipendenza temporale è dovuta al fatto che le grandezze in gioco non sono costanti, ma periodiche.

Senza perdere di generalità, in base a quanto visto nei paragrafi precedenti, i circuiti

elettrici equivalenti del sistema elettrodi/liquido e dell’elettromagnete sono

rispettivamente circuiti rappresentabili come la serie resistenza - condensatore e

resistenza –induttore (fig.11.1)

240

Fig. 11.1 Circuiti elettrici equivalenti del sistema elettrodi/liquido e dell’elettromagnete.

In riferimento alla fig.11.1, la potenza assorbita dal singolo circuito in via del tutto generica si esprime come:

A questo punto ha senso definire un valore medio di potenza come:

Senza entrare nei dettagli analitici, dopo aver sostituito la (11.2), la (11.3) diviene:

La (11.4) può essere riscritta in modo diverso; infatti:

con:

241

Utilizzando la (11.5) e la (11.6), la (11.4) si può quindi riscrivere come:

rappresenta l’impedenza elettrica resistiva del circuito equivalente: nel caso dell’elettromagnete è data dalla resistenza dell’avvolgimento, nel caso invece del sistema liquido/elettrodi è la resistenza del liquido stesso.

Quindi, in prima approssimazione vale la seguente espressione per la potenza media richiesta da una pompa MHD:

11.2 Efficienza e limiti nel salto di pressione ottenibile con una pompa magnetoidrodinamica.

In linea di massima, si può concludere ancor prima di addentrarsi in formule e calcoli analitici che l’efficienza della pompa MHD diminuisca al diminuire delle

“dimensioni tipiche del sistema”; infatti mentre le forze viscose sono proporzionali alla superficie bagnata dal fluido, la forza di Lorentz è proporzionale al volume di liquido (forza di volume); inoltre, per queste dimensioni le forze di tensione superficiale, che scalano con la lunghezza, diventano importanti.

Definendo L come dimensione tipica del sistema:

242 da cui:

Per definire e quantificare l’efficienza della pompa MHD si prende come riferimento, senza perdere di generalità, un condotto rettangolare (o anche circolare) chiuso su se stesso, su un lato del quale è posizionata una pompa MHD la quale da origine ad una portata Q. Le dimensioni sono generiche, ma come ordine di grandezza ci si riferisce sempre a valori che vanno da 0.1mm 100mm.

Fig. 11.2 Condotto rettangolare utilizzato per il calcolo dell’efficienza.

Siano:

dimensione caratteristica del condotto

(con ) = lunghezza della pompa MHD ~ lunghezza elettrodo (Ci si riferisce ad una pompa MHD con elettrodi rettangolari)

MHD

D = α L

A

L B

243 Si definisce efficienza il rapporto tra la potenza idraulica e la potenza

richiesta dalla pompa per generare la portata Q.

Ovviamente, se le grandezze sono periodiche (pompa MHD in configurazione AC), le quantità fisiche che appaiono nella (11.9) sono mediate nel tempo:

L’equazione della quantità di moto in forma differenziale applicata al fluido compreso tra A e B (lungo il tratto di condotto che non contiene la pompa MHD) assume la forma:

Per numeri di Reynolds molto bassi (ed è questo il caso) l’equazione (11.11) diventa:

ovvero tutto il salto di pressione è utilizzato per vincere le forze viscose.

Si tratta comunque di un flusso governato dalla legge di Poiseuille:

Considerando un sistema di assi come quello rappresentato in fig.11.3 , l’equazione (11.12) si riscrive nelle sue componenti come:

Resistenza idrodinamica

244

Fig. 11.3 Dimensioni trasversali del condotto.

Risolvendo le equazioni precedenti si ottiene:

Nella (11.14), i coefficienti a

si ricavano dalla “condizione di non scorrimento” per :

con

La portata Q si esprime come:

x y

z w

h

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Per rendere più trattabili dal punto di vista analitico le espressione precedenti, si assume che nella sezione rettangolare di fig. 11.3 sia verificata la condizione per cui ; in questo modo la (11.14) si semplifica come:

Paragonando la (11.16) con la (11.13), e considerando che il “circuito idraulico” da cui si è partiti è rettangolare (si trascurano comunque gli effetti dovuti agli spigoli) la resistenza idrodinamica diviene:

Nel caso invece di condotto a sezione circolare di raggio a la (11.13) si scrive come:

Osservando la (11.16) e la (11.18), si può concludere che a parità di salto di pressione in un condotto di lunghezza L la diminuzione della sezione trasversale causa una diminuzione del flusso non lineare; per esempio, nel caso di un condotto a sezione circolare, a parità di salto di pressione ad un dimezzamento del diametro corrisponde una portata pari ad un sedicesimo della portata iniziale.

Il salto di pressione offerto dalla pompa MHD si può esprimere in funzione della forza di Lorentz applicando l’equazione della quantità di moto questa volta alla porzione di fluido presente lungo tutta la lunghezza della pompa MHD, da A in B (in senso antiorario) in fig.11.2:

-

u )

246

In questo caso, le forze viscose possono essere trascurate

rispetto alle forze relative al salto di pressione ottenendo:

- -

Si pone senza perdere di generalità:

Mediando in un periodo la (11.20) dopo aver sostituito le (11.21) si ottiene:

Si ricorda che nella (11.22) la quantità rappresenta la lunghezza dell’elettrodo.

A questo punto si è in grado di esprimere la portata di liquido in funzione dei parametri che stabiliscono le prestazioni della pompa MHD; in particolare, sostituendo la (11.22) nella (11.13) si ottiene:

Sostituendo nella (11.23) la resistenza idrodinamica R espressa dalla (11.17), relativamente ad un condotto rettangolare, si è in grado di stimare l’ordine di grandezza della portata

Sostituendo le seguenti quantità scelte come riferimento:

1 Le forze viscose sono proporzionali alla lunghezza del condotto L su cui agiscono; quindi

con

(α < 1 ) dove e rappresentano rispettivamente la risultante delle forze viscose agenti nel tratto di

condotto che contiene la pompa MHD e di quello esterno ad essa.

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valore ottenuto dalle prove sperimentai con elettrodi di acciaio

si ricorda ipotesi semplificativa viscosità dell M

si ottiene:

Ovviamente questo è un valore di riferimento che dipende in maniera marcata dalle dimensioni geometriche del condotto; basti pensare che dimezzando l’altezza la portata diventa un ottavo del valore di riferimento. Si possono in ogni modo ottenere valori inferiori di portata semplicemente diminuendo la corrente nel liquido o anche il campo magnetico.

Per confronto, in base alle prove effettuate presso il laboratorio di micropropulsione di Alta SpA con i liquidi ionici, il consumo di propellente si aggira intorno ai

Riprendendo la definizione di efficienza:

Utilizzando la (11.24) e la (11.22), la (11.25) diviene:

La potenza in ingresso (11.1) si può scrivere come:

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con che rappresenta il rapporto tra la potenza richiesta dall’elettromagnete e quella richiesta dal sistema liquido/elettrodi.

Ricordando che

, si può scrivere:

La corrente nel liquido si può esprimere come:

Sostituendo la (11.28) e la (11.29) nella (11.26) si ottiene:

Osservando la (11.30), si capisce come al diminuire della sezione trasversale, quindi andando verso dimensioni geometriche più piccole, l’efficienza diminuisce in modo non lineare. Per stimare l’ordine di grandezza della (11.30), così come l’ordine di grandezza della (11.22) che esprime il salto di pressione medio offerto dalla pompa MHD, resta ancora da esplicitare il valore della densità di corrente . Per fare ciò, si utilizzano i risultati ottenuti nel capitolo 7, dove si è dimostrato che l’espressione della densità di corrente assume la seguente forma:

con

Ciò permette da una parte di ridurre il numero di variabili nell’espressione dell’efficienza e del salto di pressione: infatti la distanza d tra gli elettrodi e la

Superficie elettrodo

249 conduttività elettrica del liquido non influenzano in modo apprezzabile il valore di corrente.

L’espressione dell’efficienza, utilizzando la (11.31) diviene:

quindi:

α

mentre il salto di pressione medio diviene:

-

Si stima ora l’ordine di grandezza della (11.3 ) e della (11.33) tenendo conto dei limiti che le prove sperimentali hanno messo in luce riguardo alla densità di corrente

. A causa della loro maggiore stabilità chimica dal punto di vista dell’elettrolisi si considera il caso in cui vengano utilizzati elettrodi in acciaio nonostante i valori di corrente raggiunti sono minori rispetto al caso in cui si utilizzino elettrodi in rame.

Sostituendo nella (11.33) i seguenti valori:

per tensioni poco inferiori di

e per lunghezza elettrodo

quindi:

Supponendo di voler raggiungere valori di salto di pressione più alti, osservando la

(11.33) si possono fare alcune considerazioni. Le tre grandezze che ivi compaiono

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( ) sono tra di loro indipendenti e quindi massimizzare il equivale a massimizzare tutti e tre i termini:

 è limitato dal valore di saturazione del nucleo ferromagnetico dell’elettromagnete, che nel caso del ferro puro ARMCO (ideale per applicazioni con campi magnetici alternati), si aggira intorno ai 2 T,

 rappresenta la lunghezza dell’elettrodo il cui vincolo è imposto dagli ingombri,

 la densità di corrente invece, può essere incrementata (come al solito nei limiti dell’elettrolisi) utilizzando per gli elettrodi un materiale che presenti maggiore stabilità chimica nei confronti dei liquidi ionici in modo che aumenti il potenziale di elettrolisi e affinché si possano raggiungere valori di corrente maggiori.

Considerando invece l’espressione dell’efficienza (11.3 ), sostituendo le seguenti quantità:

per tensioni poco inferiori di

e per

si ottiene: