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Instabilità Rotodinamiche
L’accettabilità e l’affidabilità delle moderne turbomacchine dipende fortemente dal rumore e dalle vibrazioni che tali macchine producono. Tra le più comuni sorgenti delle vibrazioni che affliggono questa tipologia di macchine abbiamo la dinamica dell’albero e dei componenti ad esso associati.
Tenuto conto di questo, il progettista dovrà fare particolare attenzione al minimizzare le vibrazioni oltre ad assicurare che le velocità critiche avvengano a certi determinati valori.
Inoltre non tutte le vibrazioni sono dovute alle instabilità rotazioni dell’albero, alcune forze radiali sono prodotte da oscillazioni del flusso, specie negli induttori cavitanti (Rosenmann).
Aspetti generali
3.1
Una turbomacchina lavora in condizioni ideali, quando indipendentemente dalla velocità di rotazione, l’asse del rotore coincide perfettamente con l’asse di rotazione della macchina. Questa particolare situazione avviene quando tutti gli elementi del rotore e dello statore sono rigidi e ben allineati e i carichi agenti sono posizionati in maniera simmetrica rispetto all’asse di rotazione. Ovviamente questa particolare situazione non avviene mai e ci sarà sempre una certa inflessione del rotore che da origine al cosiddetto moto di whirl.
Questo fenomeno è accettabile fino a quando l’inflessione non raggiunge una misura tale da provocare malfunzionamenti strutturali o danneggiare le parti interne per aver annullato i giochi radiali. Questa inflessione limite dipende dal rapporto tra la velocità di rotazione dell’albero e le velocità critiche e dal bilanciamento delle forze eccitatrici con quelle smorzatrici.
A questo punto è utile introdurre il concetto di velocità critica mediante lo studio di un semplice sistema fisico che abbiamo schematicamente rappresentato nella Figura 3-1.
Un rotore di massa m, viene portato in rotazione mediante un albero di massa nulla, in modo che il baricentro G si trovi ad una distanza d dall’asse dell’albero. Con velocità di rotazione ω il sistema è in equilibrio sotto l’azione di due forze, la forza centrifuga
2c
F
m
d
(3.1)Dove con
si indica l’inflessione laterale dell’asse rispetto alla sua posizione nominale, e il richiamo elastico dato dal prodotto dell’inflessione laterale
per la rigidezza k dell’albero, che è uguale58 3 EJ k l (3.2)
Dove E è il modulo di Young, J è il momento d’inerzia trasversale e l è la lunghezza dell’albero.
Figura 3-1 Sistema ideale contenente un rotore con centro di massa sbilanciato rispetto all'asse di rotazione
Imponendo l’equilibrio tra le due forze è possibile ottenere la relazione che lega
con la velocità di rotazione
2 2 md k m
(3.3)Come si vede dalla relazione, esiste un valore di
per cui il valore dell’inflessione tende ad infinito e quindi l’albero tende a rompersi. Tale valore, che viene indicato con
c viene dettovelocità critica del sistema. Il suo valore, scritto in maniera esplicita
c
k
m
(3.4)Possiamo notare che il periodo di rotazione dell’albero, alla velocità critica, coincide con quello della sua vibrazione flessionale libera. Dallo studio della stessa equazione possiamo notare che quando
c il valore dell’inflessione cambia segno e che all’aumentare del valore il suomodulo diminuisce.
Supponiamo a questo punto che nel modello che abbiamo preso in esame precedentemente venga messo uno smorzatore esterno. Nella figura che segue guardiamo come si modifica la situazione.
Lo smorzatore causa uno sfasamento tra il vettore forza centrifuga e il vettore spostamento, e che viene indicato con l’angolo
. Quando
c, l’angolo di sfasamento
90
e la forzacentrifuga ha direzione tangenziale. Questo sta indicare che la presenza di uno smorzatore riduce il picco di vibrazione ma non ne modifica la frequenza. Questo si può avere però solo quando si trattano modelli ideali come quelli studiati in precedenza. Per le turbomacchine le cose cambiano decisamente dal momento che molte delle ipotesi semplificative che abbiamo
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utilizzato non possono più essere considerate attendibili. Infatti in un modello reale non possiamo ipotizzare il peso dell’albero trascurabile, ne le forze applicate considerate come tutte concentrate in un punto preciso. La modellizzazione quindi richiede calcoli complessi con più carichi distribuiti. Tuttavia, per il calcolo delle velocità critiche in un modello ideale, possiamo assumere ipotesi di validità generale.
Figura 3-2 Sistema ideale di un rotore con centro di massa sbilanciato rispetto all'asse di rotazione, in presenza di smorzamento
Una prima considerazione è quella che in un sistema reale le velocità critiche sono infinite (e per ciascuna di queste esiste un proprio modo di vibrazione flessionale), quindi è impossibile calcolarle tutte con precisione. Il metodo migliore per affrontare il problema è quello di calcolare una stima delle prime frequenze modali, che sono anche le più importanti, mediante una modellizzazione che discretizza il problema tramite un insieme di masse, molle e smorzatori. Una volta che abbiamo il modello, l’informazione più importante che possiamo ottenere è la prima velocità critica, dal momento che per definizione è quella a cui si accompagnano le maggiori inflessioni.
In sede di progetto, una volta conosciute le velocità critiche, devono essere presi in considerazione sufficienti margini di sicurezza che tengano conto di possibili incertezze di calcolo ed eventuali transitori di velocità e di carico. Progettare il rotore in modo che abbia sufficiente smorzamento da far in modo che i principali modi vibratori restino sotto livelli accettabili. In più, è possibile far attraversare al rotore un valore di velocità critica, facendo però in modo che venga attraversato con sufficiente rapidità, in modo da non far sviluppare del tutto la massima inflessione di tale modo vibrazionale.
Come detto in precedenza questa inflessione genera il cosiddetto moto di whirl che la letteratura divide in due tipi di moto. Un whirl forzato e un whirl autoeccitato. Il primo è una
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forma di whirl sincrono, che come tutti i processi di vibrazione forzata raggiunge il suo valore massimo in condizioni di risonanza ed è un moto sempre positivo. Il whirl autoeccitato invece ha una frequenza non sincrona, che si trova vicino a quella delle velocità critiche del rotore, ma la sua ampiezza non raggiunge valori importanti fino a quando la velocità del rotore non raggiunge un preciso valore, detto velocità di inizio instabilità (o come viene detto in inglese Onset Speed of Instability, OSI), inoltre pur essendo nella maggior parte dei casi positivo, questo moto di whirl può assumere anche valori negativi. Di questi due tipi di moto, il whirl forzato è il più semplice da studiare dal momento che è un classico tipo di moto forzato, e quindi da prevedere. Il whirl autoeccitato invece non è molto chiaro, dal momento che è molto più instabile e poiché, essendo non sincrono è soggetto a continue inversioni del verso della sollecitazione.
Conoscenze Teoriche e Sperimentali
3.2
La forza
F t
che il fluido impartisce al rotore, in un piano perpendicolare all’asse di rotazione viene schematizzata assumendo un modello di perturbazione lineare. Tale forza quindi viene rappresentata dalla seguente equazione
0 0
( )
RD( )
F t
F
F
F
A
t
(3.5)Il termine F0 , viene chiamato Forza radialeo spinta radiale, rappresenta la media temporale
della forza
F t
ed è l’unica forza presente in caso di rotore perfettamente centrato. Per quanto riguarda il termine FRD invece, che viene chiamato forza rotodinamica, rappresenta la forza causata dallo spostamento del rotore rispetto alla sua posizione ideale. Questo è il termine alla base della rotodinamica, dal momento che tramite la matrice
A
lega il termineF t
al termine
t
.La matrice
A
detta matrice rotodinamica, è indipendente dal tempo ed è funzione della geometria della turbomacchina oltre che delle sue condizioni operative dal momento che dipende dal valore della frequenza di whirl
.61
Figura 3-3 Forze laterali agenti su un rotore in presenza di un moto di whirl
In un sistema di riferimento fisso, la forza idrodinamica
F t
può essere rappresentata come0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x RDx x xx xy y y RDy y yx yy F t F F t F A A x t F t F F t F A A y t (3.6)
Dove
x t
ey t
rappresentano lo spostamento.Sul rotore agiscono anche dei momenti flettenti indotti dal fluido, oltre alle forze che abbiamo considerato, e vengono indicati con
M
x
t
eM
y
t
0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x Rx x xx xy y y Ry y yx yy M t M M t M B B x t M t M M t M B B y t (3.7)
Dove
B
è conosciuta come matrice del momento rotodinamico.Degna di nota è una particolare caratteristica delle matrici rotodinamiche,
A
e
B
: sono entrambi operatori che trasformano il vettore
t
nei vettori FRD e MRD . Dal momento che entrambi i vettori sono nello stesso piano, la matrice che li rappresenta avrà le seguenti caratteristiche, tipiche delle matrici di rototraslazione:xx yy xy yx A A A A (3.8) xx yy xy yx B B B B (3.9)
Come indicato nella Figura 3-3 un modo alternativo per definire le forze rotodinamiche è quello di usare le due forze
F
N
t
eF t
T
che sono le componenti normale e tangenziale all’orbita di62
whirl, istante per istante. I versi delle due forze, vengono assunti positivi quando rivolta verso l’esterno la componente normale, e quando nella direzione della rotazione quella tangenziale. Questo tipo di notazione riveste un’importanza particolare poiché i versi dei componenti permettono di determinare la stabilità locale del moto di whirl. Infatti la componente normale è instabile se è diretta verso l’esterno dell’orbita, tende cioè ad aumentare il valore di
t
, mentre la componente tangenziale è instabile se tende ad sostenere il moto di rotazione.Per studiare meglio i fenomeni rotodinamici, il metodo più utilizzato è quello di scomporre la matrice rotodinamica
A
, nelle matrici di “massa aggiunta”, di “smorzamento” e di “rigidezza” in accordo con la seguente equazione
A
x
M
m
x
C
c
x
K
k
x
y
m
M
y
c
C
y
k
K
y
(3.10)Dove il punto rappresenta la derivata rispetto al tempo, in modo che la matrice di massa aggiunta
M
moltiplichi il vettore accelerazione, la matrice di smorzamento
C
moltiplichi il vettore velocità e la matrice di rigidezza
K
moltiplichi il vettore spostamento. Inoltre abbiamo supposto l’invarianza alla rotazione delle matrici
M
,
C
e
K
dove M e m rappresentano la massa aggiunta diretta e cross-coppiata, C e c rappresentano lo smorzamento diretto e cross-coppiato e K ed k rappresentano la rigidezza diretta e cross-coppiata.I coefficienti rotodinamici giocano un ruolo fondamentale, e per capirlo meglio è necessario fare un semplice esempio. Supponiamo che il centro del rotore si muova solo lungo l’asse x. Ad un certo momento potremo indicare di tale punto la posizione , la velocità e l’accelerazione. Se si trascurano i termini di ordine superiore le forze indotte dal fluido saranno
0 0 ( ) ( ) x x y y F t F M C K F t F m c k (3.11)
Possiamo facilmente notare che la forza non agisce esclusivamente nella direzione del moto, ma anche nella direzione perpendicolare. La seconda componente è fortemente imparentata con la componente tangenziale nel moto di whirl. Se un rotore opera con una leggera inflessione statica, può essere soggetto ad una forza laterale, ortogonale al piano di deflessione che può innescare il moto di precessione. Basta infatti che la matrice
K
abbia qualche termine non nullo fuori dalla diagonale principale affinché questa situazione si verifichi. Una volta innescato il moto di whirl, il suo andamento nel tempo non sarà però più solo in funzione della matrice
K
, ma dipenderà anche da
M
e da
C
.La rappresentazione dell’equazione precedente è equivalente ad assumere una dipendenza quadratica con gli elementi della matrice
A
dalla frequenza di whirl o dal rapporto
, ma questo fatto non trova riscontro nelle attività sperimentali.Studiare le instabilità rotazionali di una macchina quindi, significa studiare i meccanismi da cui si originano le forze trasversali, e il modo con cui i coefficienti rotodinamici influenzano la stabilità globale del moto del rotore.
Attualmente lo studio dei fenomeni rotodinamici viene effettuato in apparati sperimentali in cui si impone dall’esterno al rotore un moto di whirl circolare in modo da studiarne gli effetti. Nelle
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turbopompe reali però il moto di precessione della girante e lontano dall’essere perfettamente circolare. Praticamente, l’imposizione al rotore di un moto di whirl forzato permette di correlare le forze che agiscono su questo in funzione della velocità e della posizione lungo l’orbita. Possiamo inoltre determinare, almeno in linea teorica, le forze radiali e la matrice rotodinamica rispetto alle condizioni di moto che sono state scelte. L’imposizione del moto di whirl equivale ad un esperimento di vibrazione forzata in un sistema meccanico. Da questo segue che i coefficienti rotodinamici ottenuti possono essere impiegati per un’analisi dinamica più generale del sistema, finalizzata ad esempio alla determinazione delle velocità critiche o alla OSI.
Altro approccio è quello di studiare la macchina in situazione di vibrazione libera, che consiste nel misurare le forze indotte che agiscono sulla macchina in condizioni di whirl direttamente sulla macchine che ne è affetta. L’approccio della vibrazione libera fornisce sicuramente risultati più veritieri, dal momento che non vengono imposti sul moto limiti di alcun genere. Di contro però non permette di tenere sotto controllo la posizione del rotore e quindi una correlazione con i valori delle forze.
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