Note Brevi di Elettromagnetismo

Note Brevi di Elettromagnetismo

prof. G. Surace November 30, 2009

1 La carica elettrica

La carica elettrica ´e legata ad una propriet´a di alcuni corpi di attrarne o respingerne altri.

La materia, nella sua essenza, ´e costituita da atomi o raggruppamenti di atomi detti molecole. I costituenti dell’atomo si chiamano protoni p, neutroni n, ed elettroni e.

I protoni ed i neutroni sono responsabili della massa dell’atomo ed insieme formano quello che viene definito il nucleo atomico. La massa di un protone

´e circa uguale alla massa di un neutrone, (m

∼ m

), ma mentre il protone

´e una particella carica, il neutrone ´e una particella neutra.

Gli elettroni hanno una massa circa mille volte pi´u piccola del protone.

Essi, sono responsabili, quindi, in minima parte della massa di un atomo. Gli elettroni hanno una carica opposta a quella del protone. Convenzionalmente si assume positiva la massa del protone e negativa la carica dell’elettrone.

Un atomo imperturbato ha lo stesso numero di protoni ed elettroni. In queste condizioni un atomo si dice neutro. Se per qualche motivo un atomo acquista o cede qualche elettrone, il numero delle cariche positive e negative non ´e pi´u bilanciato. L’atomo non si trova pi´u nella sua forma neutra ma si dice ha assunto una carica. L’atomo neutro ´e diventato uno ione.

2 Forme di elettrizzazione di un corpo

Un corpo si dice elettrizzato se su di esso ´e presente un eccesso o difetto di carica elettrica. E’ possibile elettrizzare un corpo per:

1. Strofinio

2. Induzione 3. Contatto

3 L’elettroscopio

L’elettroscopio ´e lo strumento con cui si rivela se un corpo ´e carico o neutro.

Uno dei pi´u semplici elettroscopi ´e l’elettroscopio a foglie. L’elettroscopio a foglie ´e costituito da una sfera consuttrice a cui sono legate (attraverso un conduttore) due lamine d’oro. Quando si tocca la sfera conduttrice con un corpo carico la sfera si carica per contatto. La carica acquistata dalla sfera si traferisce alle foglie dell’elettroscopio che in virt´u della repulsione elettrostatica tendono a divergere. Chiaramente l’angolo di divergenza delle foglioline sar´a proporzionale alla loro repulsione elettrostatica.

4 La Forza di Coulomb

L’attrazione o la repulsione elettrostatica tra cariche ´e descritta da una forza detta Forza di Coulomb, ~ F

. La direzione della forza di Coulomb ´e individ- uata dalla retta che congiunge le due cariche supposte puntiformi. Il verso di questa forza dipende dal segno delle cariche interagenti. Il suo modulo (o intensit´a) ´e direttamente proporzionale alle cariche interagenti (Q e q) ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza, r, tra le due cariche:

| ~ F

| = K Qq r

La costante K che compare nella formula ´e una costante universale detta costante d’interazione eletttrostatica. Essa vale: k = 9 · 10

.

Si noti come la struttura matematica di questa forza sia simile alla forza di attrazione gravitazionale di Newton:

| ~ F

| = G Mm r

La forza di gravitazione universale ´e , tuttavia, solo attrattiva e dipende dalle

masse interagenti.

5 Il vettore campo elettrico

Il campo elettrico ~ E ´e un vettore, o meglio un campo vettoriale nel senso che esso ´e definito, punto per punto nello spazio. Matematicamente esso si configura come una applicazione ~ E : R

→ V che associa ad ogni terna di numeri reali (coordinate del punto nello spazio) un vettore (cio´e il campo elettrico).

Il campo elettrico ~ E ´e definito come rapporto tra la forza elettrostatica F e la carica q (detta carica di prova): ~

E = ~ F ~ q

Un campo elettrico pu´o essere generato da una carica elettrica Q (o da una distribuzione di carica). Per rilevare l’esistenza del campo elettrico ´e neces- saria, tuttavia, la presenza di un’ulteriore carica, la gi´a citata carica di prova o carica esploratrice q.

Essendo ~ E un vettore dobbiamo conoscerne non solo il modulo ma anche direzione e verso. Per questo motivo si usa un espediente grafico, il metodo delle linee di forza (”lines of forces” o linee di campo) , che permette di ricavare direzione e verso del vettore in ogni punto dello spazio. Questo metodo, che si fa risalire al fisico britannico Michael Faraday, si basa su poche regole (vedi figura 1):

• il campo elettrico ´e tangente, punto per punto, alla linea di forza (linea di campo);

• a cariche positive si associano ”linee di campo uscenti” dalla carica (sorgenti), a quelle negative ”linee entranti” (pozzi);

• le aree in cui le linee di campo si infittiscono (aumenta la densit delle linee) sono sedi di campi elettrici pi´u intensi.

• le linee di forza del campo elettrico generato da una carica puntiforme sono semirette (campo radiale - linee aperte) mentre quelle generate da un dipolo (sistema di due cariche di segno opposto) sono linee chiuse.

Ribadiamo che le linee di forza non sono entit´a fisiche ma sono espedienti

matematici, quindi astratte ed ideali. Tuttavia, esistono delle situazioni reali

in cui queste linee di campo diventano addirittura osservabili, ad esempio

Figure 1: Linee di forza di campo elettrico generato da una carica puntiforme positiva b) da una carica puntiforme negativa c) da un dipolo

nel caso di granelli di semolino in sospensione nell’olio in prsenza di cariche elettriche.

Per quanto concerne il modulo, invece, esso si calcola facilmente con la relazione (| ~ E| =

). L’intensit´a del campo elettrico si misura, pertanto, nel S.I. , in

.

5.1 Campo elettrico generato da particolari distribuzioni di carica

• campo elettrico generato da carica puntiforme Q, ad una certa distanza r dalla carica:

| ~ E

| = K Q r

dove K ´e la costante di interazione elettrostatica (K =

).

Si noti come il modulo del campo | ~ E| dipenda solo dalla carica che

ha generato il campo (e non dalla carica esploratrice). La direzione

del campo geneerato ´e radiale ed il verso dipende dalla carica che ha generato il campo (se positiva o negativa)

• campo elettrico generato da una lastra piana indefinita uni- formemente carica (con densit´ a superficiale di carica σ):

| ~ E

| = σ 2²

dove ²

si ricava dalla formula inversa di K, ovvero ²

=

.

Si noti come il campo | ~ E|, in questo caso, non dipenda dalla distanza ma solo dalla densit´a superficiale di carica. La direzione del campo elettrico ´e perpendicolare alla superficie della lastra ed il verso dipende dalla distribuzione di carica che lo ha generato (se positiva o negativa)

• campo elettrico generato da un condensatore:

(

| ~ E

| =

0

, (all’interno del condensatore);

| ~ E

| = 0, (all’esterno del condensatore).

All’interno del condensatore, la direzione del campo elettrico risul- tante ´e perpendicolare alle armature del condensatore con verso che va dall’armatura carica positivamente a quellla carica negativamente.

5.2 Principio si sovrapposizione del campo elettrico

”Gli effetti di pi´u campi elettrici si sommano vettorialmente in un certo punto P dello spazio”.

6 Teorema di Gauss

Il teorema di Gauss ´e una delle 4 equazioni di Maxwell che descrivono l’intero elettromagnetismo.

Definizione 1 (di Flusso di un campo vettoriale ~v) Il flusso Φ

(~v) del

vettore ~v attraverso una superficie chiusa S ´e definito come il prodotto tra

il modulo del vettore ~v, la superficie S e il coseno dell’angolo α formato dal

vettore ~v e la normale (cio´e la perpendicolare) alla superficie. Con ovvio significato di simboli si ha:

Φ

(~v) = |~v|S cos(α) .

Teorema 1 (di Gauss (per l’elettrostatica)) Il flusso Φ

( ~ E) del vettore campo elettrico ~ E attraverso una qualsiasi superficie chiusa S ´e proporzionale alla somma delle cariche elettriche, Q

, contenute nella superficie. In parti- colare vale la relazione:

Φ

( ~ E) =

P

i

Q

ε

dove ε

´e la costante dielettrica del vuoto.

Proof : dimostreremo questo teorema nel caso particolare di una sola carica elettrica Q che ha generato il campo ~ E. La superficie chiusa S attraverso cui calcoleremo il flusso sar´a per semplicit´a una sfera (pu´o risultare utile ricordarsi che la superficie, S, di una sfera di raggio R si calcola come: S = 4πR

). La scelta di una particolare superficie sferica non inficia la validit´a generale del teorema.

Primo step: consideriamo una supericie sferica ”centrata nella carica Q” che supporremo positiva ;

secondo step: osserviamo che le linee di forza del campo elettrico sono radiali, cio´e sono semirette uscenti a raggiera dalla carica Q. Esse risultano, pertanto, perpendicolari, punto per punto alla superficie S (ovvero, in altre parole, esse risultano parallele alla normale alla superficie S). Ne consegue che l’angolo α tra il vettore ~ E e la normale alla superficie ´e 0gradi per cui cos(α) = 1 terzo step: per calcolare il flusso totale del vettore ~ E attraverso la superficie S dobbiamo sommare tutti i ”flussi parziali”, ∆Φ, del vettore ~ E attraverso superfici infinitesime, ∆S. Si consideri che l’intensit´a del campo elettrico non cambia su una sfera di raggio R fissato (Infatti l’intensit´a del campo dipende solo dalla distanza r e quindi assume lo stesso valore su tutti i punti della sfera che per definizione distano R dalla carica Q. Questo significa che per ogni ∆S possiamo considerare lo stesso valore di E, senza scrivere E

, E

, ...

E

). In altre parole:

Φ

( ~ E) = ∆Φ

+ ∆Φ

+ ... + ∆Φ

= E∆S

+ E∆S

+ .... + E∆S

= E(∆S

+ ∆S

+ ...E∆S

)

= E · 4πR

= 1

4πε

Q

R

· 4πR

= Q

ε

(c.v.d)

7 Conseguenze del teorema di Gauss

Aggiungere paragrafo.

7.1 Campo elettrico all’interno di un conduttore in equilibrio elettrostatico

7.2 Campo elettrico generato da una lastra piana in- definita carica uniformemente

7.3 Campo elettrico generato da un condensatore

8 Teorema di Coulomb

Il teorema di Coulomb ´e una conseguenza del teorema di Gauss. Esso esprime una propriet´a dei conduttori carichi in equilibrio elettrostatico: il campo elettrico ~ E in prossimit´a della superficie del conduttore vale

0

in modulo ed

´e perpendicolare alla superficie del conduttore.

9 Potere dispersivo delle punte

10 Sistemi di conduttori: i condensatori 11 Lavoro di una Forza

Il lavoro ´e una grandezza scalare che dimensionalmente ´e equiparabile ad una energia, pertanto esso si misura in Joule (come tutte le forme di energia).

Il lavoro, L, di una generica forza ~ F (o pi´u propriamente di un campo vettoriale ~v) ´e definito nella maniera seguente:

L = ~ |F | ~ |s| cos(α) dove:

|F | ´e il modulo del vettore forza; ~

|s| ´e il modulo del vettore spostamento; ~

cos(α) ´e il coseno dell’angolo formato dalla direzione del vettore forza e il vettore spostamento.

Si hanno, pertanto, i seguenti casi particolari:

• se α = 0 (cio´e il vettore forza e il vettore spostamento sono allineati) allora le implicazioni sono le seguenti: cos(α) = 1 =⇒ L = ~ |F | ~ |s| =⇒

L > 0

• se α = 90 (cio´e il vettore forza e il vettore spostamento sono perpen- dicolari)

allora : cos(α) = 0 =⇒ L = 0

• se α = 180 (cio´e il vettore forza e il vettore spostamento sono opposti) si ha, invece: cos(α) = −1 =⇒ L = − ~ |F | ~ |s| =⇒ L < 0

Si noti come il lavoro della forza dipenda dall’angolo tra i due vettori.

Il lavoro risluta positivo per 0 < α < 90, nullo per α = 90, negativo per 90 < α < 180. Il lavoro positivo viene detto anche ”lavoro motore”, quello negativo, invece, ”lavoro resistente”

Non ´e superfluo osservare che il lavoro di una forza ´e un numero nonos-

tante esso si riferisca a vettori (in realt´a ai loro moduli). Volendoci es-

primere meno puerilmente potremmo dire che ”il lavoro, (L), di una forza ´e

un’applicazione che associa un numero (R) ad una coppia di vettori (V ×V )”, che tradotto equivale a: L : V × V −→ R

12 Esempi di calcolo di lavoro

12.1 Il lavoro della forza peso

Il calcolo del lavoro, L, della forza peso, F

~ , per spostare un corpo di massa m dalla quota h

alla quota h

nello spazio ´e abbastanza semplice se supponiamo che forza e spostamento siano allineati. Sapendo, infatti, che

|F ~

| = m ~ |g| e detto (h

− h

) il modulo del vettore spostamento ~ |s|, si ha:

L = |F

~ | ~ |s|

= m ~ |g|(h

− h

)

Si noti come il lavoro della forza peso dipenda dalla sola posizione iniziale e finale del corpo (infatti m ´e fissata e ~ |g| ´e una costante)

Ad esempio, per spostare una sfera di massa m = 10Kg dalla quota h

= 5m alla quota h

= 2m, la forza peso compie il seguente lavoro:

L = 10kg · 9, 8

· (5m − 2m) = 294J

12.2 Il lavoro di una forza elettrica costante

Il calcolo del lavoro, L, di una forza eletrica costante, ~ F

, per spostare una carica elettrica q da un punto h

ad un punto h

nello spazio ´e analogo al caso precedente se supponiamo che forza e spostamento siano allineati.

Prendiamo il caso della forza elettrica tra le armature di un condensatore.

Perch´e tale forza dovrebbe risultare costante? Perch´e il campo elettrico, ~ E, all’interno di un condensatore ´e uniforme (non cambia da punto a punto all’interno delle armature) e di conseguenza la forza elettrica , ~ F , che da esso ne deriva ( ~ F = q ~ E), pure sar´a uniforme, ovvero costante.

Sapendo che all’interno di un condensatore ~ |E| =

0

, e che di conseguenza

|F | = q ~

, detto (h

− h

) il modulo del vettore spostamento ~ |s|, si ha:

L = |F ~

| ~ |s|

= q σ

²

(h

− h

)

Si osservi, come anche in questo caso, il lavoro di una forza elettrica costante dipenda dalla sola posizione iniziale e finale del corpo (infatti q e σ sono fissate, mentre ²

´e una costante che vale 8.85 · 10

)

Ad esempio, per spostare una carica q = 0, 001C all’interno di un conden- satore avente σ = 0, 000005

, dalla quota h

= 5µm alla quota h

= 2µm, la forza elettrica costante compie il seguente lavoro:

L = 0, 001C · 0, 000005

8.85 · 10

· (0, 000005m − 0, 000002m) = 0, 0017J

12.3 Il lavoro della forza di Coulomb 12.4 Campi conservativi

13 Energia potenziale elettrostatica

Perch´e un sistema di cariche elettriche dovrebbe avere una certa energia elet- trostatica? Sulla base della definizione di lavoro, unaa forza compie lavoro ogni qual volta c´e uno spostamento del corpo (sia esso un punto materiale, un corpo rigido, una carica elettrica ecc.) nella direzione della forza. Con- sideriamo allora un sistema di due cariche elettriche. Sappiamo che queste due cariche interagiscono per effetto della forza elettrostatica, in virt´u della quale esse non occuperanno una posizione fissa nello spazio ma si muoveranno (accelereranno) nella direzione della forza. La forza elettrostatica, proprio per questo motivo, necessariamente compie lavoro. Quanto vale questo la- voro della forza elettrostatica? Se non conoscessimo nessuna propriet´a delle forza elettrostatica potremmo dire, in base al teorema delle forze vive (o dell’energia cinetica), che il lavoro ´e uguale proprio alla variazione di ener- gia cinetica assunta dalle cariche (variazione di energia cinetica dovuta alla variazione di velocit´a). In formule: L = ∆K dove K ´e proprio l’energia cinetica.

Sappiamo, tuttavia, che la forza elettrostatica ´e una forza conservativa per cui per essa vale vale il noto teorema sulle forze conservative, ovvero il lavoro ´e uguale alla variazione di energia potenziale, U, cambiata di segno:

L = −∆U. Dunque, la variazione di energia potenziale ∆U = U(a) − U(b) ha significato fisico: essa esprime il lavoro di una forza.

Come dobbiamo interpretare, allora, l’energia potenziale in un singolo

punto dello spazio, ad es. U(a) e U(b)?. Apparentemente in nessun modo.

Se per´o fissiamo, convenzionallmente, un livello ”zero” di energia potenziale potremmo ancora interpretare questi U(a) e U(b) come differenze di energia rispetto ad un livello ”zero” di energia. ´ E proprio quello che si f´a:

U(a) = U(a) − 0 U(b) = U(b) − 0

Dove fissiamo il livello ”zero” di energia potenziale? Abbiamo detto in precedenza che la scelta ´e arbitraria per cui la risposta dovrebbe essere:

”OVUNQUE”. ´ E ragionevole, tuttavia, fissare il livello ”zero” di energia potenziale elettrostatica all’infinito perch´e a distanza infinita la forza elet- trostatica tra due cariche tende a zero. Infatti:

r→+∞

lim K Qq r

= 0

. La convenzione su cui si regger´a tutto il nostro ragionamento sar´a dunque:

U(a) = U(a) − U(∞) U(b) = U(b) − U(∞)

Cos´ı facendo, per´o, siamo riusciti ad interpretare l’energia potenziale in un punto come una differenza di energia potenziale, ovvero come un lavoro, in particolare come il lavoro della forza elettrostatica per spostare una carica elettrica dall’infinito fino al punto r = a, in accordo con la definizione di lavoro

L

= −∆U = −[U(2) − U(1)] = −[U(∞) − U(a)] = U(a) − U(∞) = L

.

13.1 Il Potenziale Elettrostatico

La differenza di potenziale ∆V

´e definita come il lavoro, per unit´a di car- ica,per spostare una carica q da un punto b ad un punto a:

∆V

= L

q Per forze conservative, quindi,

∆V

= ∆U

q

Analogamente a quanto visto in precedenza con l’energia potenziale in un punto, possiamo definire il potenziale in un punto come: V (a) =

. L’unit´a di misura del potenziale elettrico , dunque,

. Questa unit´a di misura di misura, in letteratura, prende il nome di V olt. La differenza di poten- ziale di 1V olt si pu´o interpretare, allora, come l’equivalente del lavoro di un 1Joule compiuto dalla forza elettrostatica per spostare una carica elettrica di 1Coulomb (con le convenzioni adottate fin ora ´e come se stessimo suppo- nendo che la carica q si sposti per effetto dell’interazione con la carica Q.

Tuttavia, potremmo fare un discorso analogo invertendo le cariche. In altre parole, la carica q che compare nella definizione di potenziale assume lo stesso ruolo della ”carica di prova” nel caso del campo elettrico).

13.1.1 Osservazione Fondamentale

Affinch´e tra due punti dello spazio sia presente una certa differenza di poten- ziale ∆V ´e necessario che la forza elettrostatica compia lavoro, il che ´e equiv- alente a dire che il campo elettrico compia lavoro. Dunque ci pu´o essere una differenza di potenziale se c’ ´e lavoro del campo elettrico. Se il campo elettrico | ~ E| = 0 allora ∆V = 0 (cio´e non c´e variazione di potenziale ovvero il potenziale rimane costante nel tempo).

Il discorso appena fatto resta valido anche se tra due punti A e B non c´e il vuoto ma un conduttore. Affinch´e vi sia una certa differenza di potenziale tra due punti A eB del conduttore ´e necessario che tra A e B agisca un campo elettrico in modulo diverso da zero. Se tra i due punti del conduttore non vi ´e differenza di potenziale significa che il potenziale ´e costante. Se questo discorso vale per tutte le infinite coppie di punti appartenenti al alla superficie di un conduttore allora diremo che ”la superfie del conduttore ´e una superficie equipotenziale”, intendendo dire con questo che essa ´e costituitta di punti che si trovano tutti allo stesso potenziale. Si noti che ∆V = 0 o quando | ~ E| = 0 oppure quando ~ E ´e perpendicolare al vettore spostamento

∆s (anche in questo secondo caso, infatti, il lavoro risulterebbe nullo poich´e ~ se ~ E ⊥ ~ ∆s allora cos(α) = 0 e quindi L = 0). Questa osservazione ´e molto importante perch´e ci permette di stabilire che il vettore campo elettrico

´e sempre perpendicolare alle superfici equipotenziali. In pratica, quando

noi riusciamo ad individuare una superficie equipotenziale, automaticamente

abbiamo individuato la direzione del campo elettrico.

14 Capacit´ a di un conduttore

Si definisce capacit´a C di un conduttore generico il rapporto tra la carica Q presente sul conduttore ed il suo potenziale V :

C = Q V

L’unit´a di misura della capacit´a elettrica di un conduttore si chiama farad ed esprime il rapporto

.

Non ´e superfluo osservare che potenziale e capacit´a di un conduttore sono inversamente proporzionali, a parit´a di carica presente sul conduttore.

Consideriamo due sfere di raggio R

e R

con R

> R

su cui ´e presente la stessa carica. Il potenziale sulle due sfere sar´a diverso per il semplice fatto che le due superfici sferiche si trovano a distanze diverse dal centro. Il potenziale dipende dall’inverso dellla distanza quindi esso sar´a maggiore sulla sfera di raggio pi´u piccolo (R

). Dunque V

> V

. Siccome capacit´a e potenziale sono inversamentee proporzionali allora la sfera di raggio pi´u piccolo, che ha potenziale maggiore, si ritrover´a ad avere una capacit´a maggiore (C

> C

).

14.1 Capacit´ a di un condensatore

In maniera del tutto analoga si definisce capacit´a C di un condensatore il rap- porto tra la carica Q presente sulle armature del condensatore e la differenza di potenziale tra le armature ∆V :

C = Q

∆V

Questa definizione vale per ogni tipo di condensatore (piano, cilindrico, sferico). La capacit´a di un condensatore ´e una quantit´a che dipende solo dalla geometria del condensatore. Per un condensatore piano, ad esempio, la capacit´a ´e direttamente proporzionale alla sezione S del condensatore ed inversamente proporzionale alla disttanza d tra le armature:

C = ²

S

d

(dove ²

´e la costante dielettrica del vuoto)

14.2 Calcolo della capacit´ a di un condensatore piano

Vediamo di ricavare la formula C = ²

che rappresenta la capacit´a di un condensatore piano con carica Q distribuita sulle armature che produce un campo elettrico ~(E). Ricordiamoci che nel caso di un condensatore piano

| ~ E| =

0

e che σ =

. Pertanto ssi ha:

∆V = Ed =⇒ ∆V = ( σ

²

)d =⇒ ∆V = ( Q

²

S )d

Sostituendo il risultato trovato nella definizione di capacit´a si trova:

C = Q

∆V

= Q

Q

²0S

d

= 1

1

²0S

d

= ²

S d (c.v.d)

15 Effetto di un campo elettrico su una carica puntiforme

L’effetto di un campo elettrico ~ E su una carica (di prova) q ´e l’accelerazione della stessa carica. Infatti, per effetto del campo elettrico, la carica q subisce una forza F

, e quindi anche una accelerazione, nella direzione della forza.

Supposto che la carica q abbia massa m si ha:

(

F ~

= m~a F ~

= q ~ E Dal confronto tra le due equazioni discende che

m~a = q ~ E =⇒ ~a = q ~ E

m

Figure 2: Effetto di un campo elettrico su una carica puntiforme

Come si pu´o osservare ~a ed ~ E sono due vettori proporzionali (~a =

E) ~ e quindi risultano paralleli. Il coefficiente di proporzionalit´a ´e proprio il rapporto tra carica e massa

. Se definissimo

= λ, si avrebbe ~a = λ ~ E e la relazione di parallelismo tra i due vettori sarebbe lampante (il vettore ~a ´e λ volte il vettore ~ E). Osserviamo, infine, che il coefficiente di proporzionalit´a

λ=q

m

pu´o essere positivo o negativo a seconda della carica. Pertanto se λ > 0 (ad esempio nel caso di un protone) i due vettori saranno paralleli e concordi, se λ < 0 (ad esempio nel caso di un elettrone) i due vettori saranno paralleli e discordi. Nel primo caso la particella accelerer´a nel verso del campo, nel secondo caso in verso opposto. (Vedi figura 2)

15.1 Esperienza di Millikan

16 La corrente elettrica

La corrente elettrica non ´e altro che un flusso ordinato di elettroni all’interno di un conduttore elettrico. Ma da quali elttroni ´e costittuito questo flusso e per quale motivo questi elettroni dovrebbero muoversi? In realt´a gli atomi (e quindi gli elettroni) che sono presenti in un conduttore non sono fermi. Essi si muovono in maniera confusa come conseguenza della loro agitazione termica.

E’ noto che la media delle velocit´a quadratiche di questi atomi/molecole ´e

proporzionale alla temperatura del conduttore. Tuttavia, come gi´a prean- nunciato, questo moto ´e del tutto caotico e non costituisce pertanto una corrente.

All’interno del conduttore tutti gli elettroni (essendo cariche elettriche) risentono dell’azione di un campo elettrico esterno. E’ ragionevole, tuttavia, ritenere che gli effetti maggiori dovuti al campo elettrico vengano risen- titi dagli elettroni che pi´u debolmente sono legati ai loro nuclei atomici.

Definiremo questi elettroni elettroni di conduzione. Pertanto se all’interno del conduttore ´e presente un campo elettrico allora gli elettroni di conduzione accelereranno , sulla base dei principi della dinamica, come conseguenza della forza eletttrica ( ~ F

) risultante (vedi l’equazione 15).

Dunque la corrente ´e un flusso ordinato di elettroni di conduzione che accelerano per effetto di un campo elettrico presente all’interno di un con- duttore. Nasce allora la domanda: ”Come si fa a creare un campo elettrico all’interno di un conduttore”. Il modo pi´u semplice ´e quello di collegare le estremit´a del conduttore ai morsetti di una pila (generatore di tensione).

Una pila ´e, infatti, un dispositivo capace di creare una differnza di potenziale (e quindi un campo elettrico) tra le estremit´a del conduttore. Quando il conduttore ´e collegato ai morsetti di una pila, all’interno di esso inizia a cir- colare una corrente elettrica, i, il cui effetto pu´o essere facilmente osservato attacando una lampadina al conduttore.

Non ´e superfluo osservare che le velocit´a acquisite dagli elettroni di con- duzione per effetto del campo elettrico esterno (velocit´a di deriva o di drift, v

) sono sensibilmente inferiori alle velocit´a dovute all’agitazione termica (v

). Le velocit´a di drift degli elettroni sono dell’ordine di qualche cen- timetro per secondo (v

∼ 10

) mentre le velocit´a di agitazione termica sono dell’ordine di centinaia di kilometri al secondo (v

∼ 10

)

Osservazione: Come verso convenzionale della corrente si assume quello di una carica positiva, ovvero il verso contrario a quello degli elettroni di conduzione. In base a questa mera convenzione possiamo affermare che la corrente elettrica circola sempre verso zone che si trovano a potenziale inferiore (in analogia a quello che avviene nel moto di un fluido).

Essendo un flusso di elettroni di conduzione, possiamo definire la corrente elettrica come il rapporto tra la carica ∆Q (che attraversa la sezione S di un conduttore in una certo intervallo di tempo ∆t) ed il tempo ∆t:

i = ∆Q

∆t

La sua unit´a di misura nel S. I. ´e l’Amp`ere (A):

1A = 1C 1s

Parliamo di una corrente di 1A quando la carica di 1C attraversa in 1s la sezione di un conduttore.

Lo strumento che rileva il passaggio di corrente in un conduttore mis- urandone l’intensit´a si chiama amperometro.

16.1 La resistenza elettrica di un conduttore (R)

Il passaggio di corrente all’interno di un conduttore dipende essenzialmente da tre macro - aspetti: la tipologia di conduttore, la sua sezione e la sua lunghezza. Tutti e tre questi macro apetti dipendono a loro volta da un as- petto fondamentale che ´e la temperatura del conduttore (ovvero un indice macroscopico di ci´o che avviene a livello microscopico). Conduttori di ma- teriali differenti offrirannno resistenze differenti al passaggio di corrente, cos´ı come conduttori di lunghezza o sezione differente. La dipendenza della re- sistenza R di un conduttore dipende dai fattori sopra citati nella maniera espressa dalla seconda legge di Ohm:

R = ρ `

S (seconda legge di Ohm)

dove ` ´e la lunghezza del conduttorre, S la sua sezione e ρ un coefficiente caratteristico della tipologia di materiale detto resistivit´a. L’unit´a di misura della resitenza si chiama Ω (”leggi Ohm”) mentre lo strumento che ne misura il valore ´e detto ohmetro.

Dalla formula inversa di R sappiamo che ρ = R

per cui la sua unit´a di misura ´e Ωm. La dipendenza della resistenza dalla temperatura ´e insita nel fattore ρ che non ´e costante ma variabile in funzione della temperatura (ρ 6= (cost); ρ = f (T )). (In realt´a, la temperatura inciderebbe anche su lunghezza e sezione del conduttore giacch´e all’aumentare della temperatura entrebbero in gioco fattori di dilatazione termica o addirittura passaggi di stato).

16.2 La prima legge di Ohm

La prima legge di Ohm altro non ´e se non la formalizzazione a livello matem-

atico di quanto detto a proposito della corrente elettrica. Essa esprime,

quindi, la proporzionalit´a diretta fra la differenza di potenziale ai capi di un conduttore (∆V ) e la corrente, i, che in esso circola. La costante di pro- porzionalit´a ´e proprio la resistenza elettrica, R:

∆V = Ri (prima legge di Ohm)

Non tutti i conduttori obbediscono alle leggi di Ohm. Quei conduttori per cui la legge ´e verificata sono detti conduttori ohmici.

Remark : Un possibile significato geometrico della resistenza:

In un grafico ∆V (i) (in cui osserviamo la dipendenza della d.d.p in funzione della corrente), posto ∆V = y e i = x, si ha:

y = Rx

cio´e una retta che passa per l’origine in cui R rappresenta il coefficiente angolare, ovvero la pendenza della retta (maggiore pendenza =⇒ maggiore resistenza).

16.3 Primo principio di Kirchoff

Il primo principio di Kirchoff ´e un utile espediente (insieme alla prima legge di Ohm) per risolvere i circuiti elettrici. Esso fa riferimento ai nodi circuitali, dove per nodo circuitale si intende un punto del circuito in cui convergono almeno due conduttori (due resistenze). La sua formulazione elementare ´e la seguente:

”in un circuito elettrico la somma delle corenti entranti in un nodo ´e uguale alla somma delle correnti uscenti”.

Se usassimo la convenzione di assumere positive le correnti entranti e negative quelle uscenti (o viceversa) esso potrebbe essere espresso anche nella maniera seguente:

”in un circuito elettrico la somma delle correnti entranti ed uscenti da un nodo ´e nulla”.

In formule

:

1il simboloP

k´e quello di sommatoria su indice k. Esso rappresenta un modo compatto per esprimere una somma estesa a tutte le k correnti del nodo: i1+ i2+ i3+ . . . + ik

Figure 3: Esempi di circuiti con resistenze in serie ed in parallelo. Si osservi con attenzione il ruolo dei nodi n

, n

P

k

i

= 0

Remaarks: Il primo princiipio di Kirchoff non esprime altro che il prin- cipio di conservazione della carica elettrica: la quantit´a di carica elettrica elettrica che giunge in un nodo ´e esattamente uguale alla quantit´a di carica che esce dal nodo. In altre parole nel nodo non viene creata o distrutta carica elettrica. Il nodo non ´e una sorgente di cariche elettriche (Quanto appena detto ´e vero solo per le correnti stazionarie in cui il campo elettrico non ´e fortemente variabile nel tempo).

16.4 Resistenze in serie ed in parallelo

Due o pi´u resistenze si dicono in serie se sono attraversate dalla stessa corrente (collegate di seguito).

Due o pi´u resistenze si dicono, invece, in parallelo se ai capi di tutte le resistenze ´e presente la stessa differenza di potenziale (ci´o accade quando i capi di pi´u resistenze sono attacati agli stessi nodi circuitali).

Ai fini dello studio e della risoluzione di un circuito pi´u resistenze in serie,

R

, R

, R

, . . . R

possono essere trattate come una unica resitenza equiva-

lente R

. Si pu´o dimostrare che per calcolare la resistenza equivalente di

una serie basta sommare tutte le resistenze:

R

= R

+ R

+ R

+ . . . + R

Analogamente pi´u resistenze in parallelo, R

, R

, R

, . . . R

possono essere trattate come una unica resitenza equivalente R

. Si pu´o dimostrare che per calcolare la resistenza equivalente di un parallelo basta sommare i reciproci di ogni resistenza e prendere il reciproco del risultato ottenuto

:

1

R

= 1 R

+ 1

R

+ 1

R

+ . . . + 1 R

A titolo esemplificativo se R

= 2Ω e R

= 100Ω si ha:

R

= R

+ R

= 2Ω + 100Ω = 102Ω 1

R

= 1 R

+ 1

R

= 1

2Ω + 1

100Ω = 50 + 1 100 = 51

100 = 0, 51Ω

⇓ R

= 1

0, 51 = 1, 96Ω

Remarks: si osservi come il valore della resistenza equivalente in serie sia sempre maggiore dei valori delle singole resistenze (essendo una somma) men- tre il valore della resistenza equivalente in parallelo sia intermedia tra i valori delle varie resistenze. In particolare ponendo in parallelo due resistenze, una molto grande, l’altra molto piccola, si ottiene un resistenza equivalente molto bassa, che coincide quasi con quella pi´u piccola. Nell’esempio precedente R

= 1, 96Ω ≈ R

= 2Ω. E’ proprio sulla base di queste osservazioni, e delle specifiche tecniche di una apparecchiatura, che i costruttori di circuiti decidono di usare dei collegamenti in serie o in parallelo.

2Si noti come effettuando il calcolo della resistenza equivalente in parallelo si trovi il valore reciproco di quello che noi stiamo cercando!