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1) Una particella libera di massa m, in una dimensione, si trova inizialmente in uno stato per il quale

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Academic year: 2021

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Corso di laurea in Fisica

Esame di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 6 Febbraio 2014

studente/ssa:

matricola:

1) Una particella libera di massa m, in una dimensione, si trova inizialmente in uno stato per il quale

|ψ(x)|

2

= A

2

e

2σ2x2

Inoltre, su tale stato, < p >= p

0

.

- Determinare la funzione d’onda dello stato iniziale con la sua corretta normalizzazione.

- Determinare i seguenti valori medi in istanti di tempo t > 0:

< x(t) >,< p(t) >,< x

2

(t) >,< p

2

(t) >

Per la funzione d’onda bisogna includere il fattore di fase e

ikx

con ¯ hk = p

0

. Il teorema di Eherenfest ci determina facilmente < x(t) >, < p(t) >. Per quanto riguarda < x

2

(t) >,<

p

2

(t) > conviene passare alla rappresentazione di Heisemberg, in tal modo si determina che ˆ

x(t) = ˆ x(0)+

p(0)ˆm

t mentre per una particella libera ˆ p(t) = ˆ p(0) e da questo facilmente i valori medi in esame.

2) Un oscillatore armonico tridimensionale di frequenza propria ω ` e perturbato da un termine anarmo- nico

V (x, y, z) = λ(x y)

3

- Determinare la correzione all’energia al primo ordine dello stato fondamentale.

- Determinare la correzione all’energia al primo ordine degli stati corrispondenti al primo livello eccitato.

Gli autostati sono il prodotto dei tre autostati dell’oscillatore unidimensionale nelle tre diverse coordinate. Lo stato fondamentale si ottiene con n

x

= n

y

= n

z

= 0, lo stato eccitato

`

e tre volte degenere dunque bisogna calcolare gli elementi di matrice del potenziale su tai stati degeneri. Dipendendo il potenziale dalle sole variabili x, y in realt` a la matrice da diagonalizzare ` e 2x2.

3) Un condensatore cilindrico ha per piastre le due basi di superficie S esse sono poste a distanza ` e

`. Nello spazio fra le piastre si trova un gas perfetto a temperatura T costante. Ogni particella di questo gas ha carica +q.

- Determinare in funzione della d.d.p. ∆V , a cui sono sottoposte le piastre, la posizione del baricentro delle cariche assumendo che il gas sia all’equilibrio per ogni potenziale dato.

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(2)

Il problema ` e formamelte simile a quello di un gas perfetto immerso in un potenziale gravitazionale.

Suppenendo che la polarizzazione delle piastre e l’asse z del cilindro siano orientati in modo tale che la forza che agisce su ogni carica sia F

z

= −qEz, dove E ` e il campo elettrico costante all’interno del condensatore allora E = ∆V /` con ∆V d.d.p. e possiamo associare

ad ogni particella un potenziale pari a +q∆V z/`. Da questo ` e facile determinare la distribuzione lungo z delle particelle ρ(z), e normalizzandola ad uno ottenere la posizione lungo z come

< z >=

R0`

dzρ(z)z.

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Riferimenti